一道模擬題的解法探究與背景探源*

重慶市長壽中學 (401220) 蘭祥平 田 鵬

1.試題呈現

圖1

(I)求橢圓C的方程;

(II)設橢圓的左右頂點分別為A,B,M是橢圓C上異于A,B的任一點,直線MF交橢圓C于另一點N,直線MB交直線x=4于點Q,求證:A,N,Q三點在同一條直線上.

2.解法探究

評注：證明三點共線的常用方法有向量法和斜率法,本質是將幾何問題轉化為代數問題.解法1將三點共線問題轉化為向量共線問題,然后將向量問題轉化為代數問題,體現了轉化思想的應用.

評注：解法3同樣采用的是同一法,將直線MN的方程設成參數形式.

評注：解法4采用面積證法.要證三點共線,只需證明由這三點圍成的三角形面積為0.由三角形三個頂點的坐標求三角形面積可采用行列式的方法.

評注：解法5利用橢圓的參數方程,設出點M和N的參數坐標,再利用M,F,N三點共線構建關系,再利用三角恒等變換化簡證明.

3.試題推廣

著名數學家波利亞說過:“好問題同某種蘑菇有些相似,它們大都成堆地生長,找到一個以后,你應當再在周圍找一找,很可能在附近就有幾個.”

實際上,性質1只是問題的初步推廣,站在高等幾何的角度,該問題還可以進一步推廣.首先從方程的角度給出二次曲線極點與極線的定義.

圖2