明晰算理 掌握算法*
——從一道模考題談運算素養的培養

江蘇省常州市第二中學 (213000) 許 兵

羅增儒教授指出:一個數學問題,只有在得出多個解法之后,才會對問題的實質有真正的了解,才能體會不同的思維所引起的不同運算方式,學生的運算能力會在不同的思維中得以比較和提升.好的問題會蘊含多種審視視角,能幫助學生鞏固基礎知識,訓練基本技能,明了在問題處理過程中會遇到的困惑、障礙及易錯處.筆者以江蘇省無錫市高三期末解析幾何題為例,引導學生從設線和設點兩個角度正確理解運算對象,選擇合適的運算方法,優化運算程序,提高模型識別能力,提高運算能力,從而提升學生的數學運算素養.

一、試題呈現

圖1

本題屬于直線與橢圓的綜合問題,主要考查橢圓的標準方程、直線的方程、直線與橢圓的位置關系等基礎知識,考查學生推理論證能力和運算求解能力,以橢圓的定值問題為載體考查學生分析問題和解決問題的能力．立意深刻,有內涵,是一道很經典的解析幾何題．

二、解法探究

三、性質推廣

“好的問題如同某種蘑菇一樣,它們都是成堆地生長的,找到一個以后,你應該在周圍找一找,很可能附近就有好幾個”.波利亞的比喻形象而生動地說明了數學問題之間存在著緊密聯系.無錫?？碱}可謂是2016年北京高考文科卷中解析幾何題的變式,根據題干信息可以證得四邊形ABDC的面積是定值,因此求ΔPCD面積的最大值即求ΔAPB面積的最大值,由于AB的長度已知,所以求ΔAPB面積的最大值便迎刃而解．筆者經過探究發現,當點P在其他象限時,此類四邊形ABDC的面積有如下性質．

(1)當點P在第四象限時,凸四邊形ACDB的面積為ab;

(2)當點P在第一、三象限時,凹四邊形ACDB的面積為ab;

(3)當點P在第二象限時,A,B,C,D四點與點P構成蝴蝶型,且SΔPCD-SΔPAB=ab．

四、反思感悟

《普通高中數學課程標準(2017年版)》中提出,數學運算是指在明晰運算對象的基礎上,依據運算法則解決數學問題的素養．數學運算主要表現為:理解運算對象,掌握運算法則,探究運算思路,求得運算結果．但在日常的數學解題過程中,學生往往關注的是運算法則、運算結果的正確性,但對運算對象的理解、運算思路的探究、算法的設計與優化往往容易忽視,因此“設線還是設點、變元怎么消、表達式怎么化簡”成為解析幾何求解的“三重門”．線參法和點參法是解決動直線與圓錐曲線相交問題的基本方法．在解題過程中要有目標意識,將問題中的信息、目標元有機聯系起來,確定題設變元、構建變元之間的關系,是設點還是設線的運算核心,也正是學生算法思想的體現．

在用設點法或設線法求解時,若能用某個點的坐標或某直線方程中的某一個或幾個變量去表示其余的點的坐標或直線的方程,問題就迎刃而解了．選取什么量將題目中的信息聯系起來,如何才能將已知信息轉化到所設變量上去．教師要引導學生直面困難,在求解過程中要學會將算理和算法結合起來,逢山開路,遇水搭橋．既要會從代數角度運算,也要學生會觀察圖形特征;既要能直接“硬算”,也要會選擇“方法”簡算;既要能選好求解切入點,又要會中途調整方向、追根溯源、優化解法﹑把握本質．解題中因思考而行動,因行動而理解,因理解而優化,促進解析幾何中代數與幾何的綜合能力的升級與發展,從而提升學生的數學運算這一核心素養．