例談“同構法”在高中數學解題中的應用

江蘇省南京市高淳區教師發展中心 (211300) 夏繼平

同構法就是對函數、方程、不等式進行適當變形,使之成為結構一致,便于抽象出本質屬性,進而解決相關問題的方法．在近幾年高考題、模擬題中屢屢出現．因此,筆者試圖從以下三個方面舉例說明,以饗讀者．

一．同構法在“ex,lnx”混合型函數中的應用

1．轉化為“y=ex±x”型函數

例2 (2021江蘇高三模擬卷)已知函數f(x)=lnx-ax．(1)討論f(x)的單調性;(2)設g(x)=ex-1+xf(x),若g(x)≥0,求a的取值范圍．

2．轉化為“y=x±lnx”、“y=xlnx”、“y=xex”型函數

例3 (2020山東卷)已知函數f(x)=aex-1-lnx+lna.(1)當a=e,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積;(2)若f(x)≥1,求a的取值范圍．

解：第(1)問略;

(法二)f(x)=aex-1-lnx+lna≥1可變為elna+x-1-lnx+lna≥1,即elna+x-1+lna+x-1≥lnx+x=elnx+lnx.設函數g(x)=ex+x,g′(x)=ex+1>0,所以g(x)在R上單調增,所以有lna+x-1≥lnx,即lna≥lnx-x+1,設h(x)=lnx-x+1,以求得h(x)最小值為0,所以有lna≥0,所以a的取值范圍為[1,+∞)．

3．轉化為“y=ax+logax”“y=ax+bx”型函數

例4 (2020全國Ⅰ理)若2a+ log2a = 4b+ 2log4b,則( ).

A．a>2bB．a<2bC．a>b2D．a

變式(2020全國2)若2x-2y<3-x-3-y,則( ).

A. ln(y-x+1)>0 B. ln(y-x+1)<0

C. ln|x-y|>0 D. ln|x-y|<0

答案:A.

說明：對于同時含lnx、ex的函數求最值范圍問題,或可轉化為求最值的恒成立能成立的問題,可考慮使用同構法,其法運用的本質是將常數、字母、代數式轉化指數式或對數式,即對數運算法則“a=lnea”,“a=elna”的一般化運用,只要熟練掌握代數式化指對的兩種基本運算法則,同構lnx、ex混合型函數就可迎刃而解．

二．同構法在方程中的應用

1．“ex-x=elnx-lnx”,“x-lnx=ex-lnex”型同構

例5 (2022新高考Ⅰ卷) 已知函數f(x)=ex-ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值．(1)求a;(2)證明:存在直線y=b,其與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有三個不同的交點,并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數列．

2．“Ax1+By1+c=0,Ax2+By2+c=0”型同構

例6 (2021全國甲文2)拋物線C的頂點為坐標原點O．焦點在x軸上,直線l:x=1交C于P,Q兩點,且OP⊥OQ．已知點M(2,0),且圓M與l相切．(1)求C圓M的方程;(2)設A1,A2,A3是C上的三個點,直線A1A2,A1A3均與圓M相切．判斷直線A2A3與圓M的位置關系,并說明理由．

變式(2021全國乙理)已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點為F,且F與圓M:x2+(y+4)2=1上點的距離的最小值為4．(1)求p;(2)若點P在M上,PA,PB是C的兩條切線,A,B是切點,求△PAB面積的最大值．

說明：出現在解析幾何中的同構方程,則可把x1,x2,y1,y2一般化,轉化為關于x、y的方程來解決問題.

三．同構在抽象函數中的應用

A．[-9,+∞) B．[-7,+∞)

C．[9,+∞) D．[7,+∞)

說明：在含抽象函數的方程或不等式中,常把含x1,x2的代數式分開移至兩邊,形成同構解決問題．

綜上知,同構法作為一種代數變形技巧能提升學生解決問題的效率;同構作為一種教學方式能彰顯教師的執教水平;同構作為解決問題的方法能體現數學美感及運算核心素養．