比較大小型高考試題的解法探究

山東省德州市陵城區第一中學 (253500) 侯懷有

比較大小型試題是高考試題的常客,也是同學們解題的難點,本文從三方面對這類問題進行精析,幫助同學們掌握這類問題的解法.

一、同構構造

同構構造針對的是條件給出一個等式或不等式的問題,將等式或不等式的兩邊整理為結構一致的代數式,從中歸納總結抽象出母函數,再利用函數的單調性比較大小.在整理時,先將兩個變量分別置于式子的兩邊,若結構相同,即可構造函數;若結構不相同,再將其中一個式子通過放縮法轉化為結構完全相同的式子.

例1 (2020新課標Ⅰ)若2a+log2a=4b+2log4b,則( ).

A．a>2bB．a<2bC．a>b2D．a

構造精析：觀察所給的等式,兩個變量位于等號的兩邊,兩邊結構類似,都是冪和對數的和;但又不完全相同,等號前面的底數都是2,而后面都是4.能不能把底數4化為底數2呢?可以,根據指數和對數的性質可得4b+2log4b=22b+log2b,但是結構還是不完全相同,再將22b+log2b放縮一下22b+log2b<22b+log22b,就得到了結構完全相同的式子2a+log2a<22b+log22b,再構造函數就水到渠成了.

例2 (2020新課標Ⅱ)若2x﹣2y<3-x-3-y,則( ).

A．ln(y-x+1)>0 B．ln(y-x+1)<0

C．ln|x-y|>0 D．ln|x-y|<0

構造精析：由于變量x、y沒有位于式子兩邊,先移項將其變形為2x-3-x<2y-3-y,此時兩邊結構完全相同,可構造函數f(x)=2x-3-x進行求解即可.

解：由2x-2y<3-x-3-y,可得2x-3-x<2y-3-y,令f(x)=2x-3-x,則f(x)在R上單調遞增,且f(x)0,由于y-x+1>1,故ln(y-x+1)>ln1=0．

二、作差構造

比較三個數大小的問題難易不一,對于比較簡單的問題,通過直接運用函數的單調性和中間值即可確定大小,而較難的問題需要先作差,然后再根據式子中數與數之間的聯系,選擇合適的變量,構造恰當的函數.

A．a

C．c

A．a

C．b

三、根據零點的關系構造

此類問題與函數的零點有關,根據兩個零點的取值范圍以及兩零點之間關系將雙變量式子轉化為單變量式子,然后構造函數進行解題

“授之以魚,不如授之以漁”.通過以上三個方面的精析,引導同學們從已知代數式或已知數的結構特征出發,細心觀察,大膽猜想,通過構造函數函數并利用其單調性解決問題.另外,構造函數體現了分類討論思想,轉化化歸思想,函數思想等數學思想方法的具體運用,有效地鍛煉同學們的觀察能力,直觀想象能力,抽象概括能力,推理論證能力,使同學們在解題過程中,不斷經歷感知、想象、認同、抽象、重構等思維過程,而這正是數學新課程核心素養不可或缺的重要內容.