基于深度學(xué)習(xí)的小學(xué)數(shù)學(xué)單元教學(xué)實踐
——“植樹問題”單元教學(xué)的思考與實踐

文/呂素芬

引 言

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022 年版）》（以下簡稱《課程標準》）指出，教師要改變過于注重以課時為單位的教學(xué)設(shè)計，推進單元整體教學(xué)設(shè)計，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系，以及學(xué)習(xí)內(nèi)容與核心素養(yǎng)表現(xiàn)的關(guān)聯(lián)[1]。本文以人教版五年級（上冊）第七單元“數(shù)學(xué)廣角——植樹問題”為例，探討基于深度學(xué)習(xí)的小學(xué)數(shù)學(xué)單元教學(xué)的實踐樣態(tài)。

一、研讀教材，整體把握

教師可以從知識領(lǐng)域的視角切入，整體了解教材，系統(tǒng)梳理和分析單元、課時教學(xué)目標、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法等，厘清知識間的本質(zhì)聯(lián)系，抽象出知識背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)與關(guān)鍵要素，實現(xiàn)對單元教學(xué)的整體把握。

本單元教材安排了3 個例題。例1 是關(guān)于在一條線段上植樹，并且兩端都栽的情況。例2 是關(guān)于在一條線段上植樹，并且兩端都不栽的情況。例2 下面的“做一做”第2 題是關(guān)于在一條線段上植樹，并且只栽一端的情況，探究的都是線段上的植樹問題。例3是關(guān)于在一條首尾相接的封閉曲線上植樹的問題，相當于在一條線段上的植樹問題中的“只栽一端”的情況。

植樹問題的三種類型的本質(zhì)是探究點與段之間，也就是棵數(shù)和間隔數(shù)之間的關(guān)系。教材中的問題題材豐富，都是學(xué)生熟悉的生活問題，這些都有助于教師創(chuàng)設(shè)真實的學(xué)習(xí)情境，引導(dǎo)學(xué)生立足幾何直觀，通過畫線段圖，探索解決植樹問題的思路與方法，促進學(xué)生思維能力的發(fā)展。此外，教材習(xí)題設(shè)計大多涉及已知總長和間隔長度，求棵數(shù)、個數(shù)、根數(shù)、盞數(shù)等問題。因此，解決問題的關(guān)鍵是先用總長除以間隔長度，得到間隔數(shù)，也就是“總數(shù)÷每份數(shù)=份數(shù)”。

二、分析學(xué)情，思考策略

教師只有通過分析學(xué)情找準學(xué)生的學(xué)習(xí)起點，確定單元教學(xué)主題，設(shè)定單元教學(xué)目標，重組單元教學(xué)內(nèi)容，形成整體教學(xué)規(guī)劃，才能使學(xué)生實現(xiàn)深度學(xué)習(xí)[2]。

植樹問題知識較抽象。小學(xué)生的思維以具體形象思維為主，較難理解和記憶植樹問題的三種類型。在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生往往會將“兩端都栽”“兩端都不栽”“只栽一端”三種類型混淆。學(xué)生的抽象邏輯思維需要借助直觀思維逐步形成。因此，教師可以引導(dǎo)學(xué)生畫線段圖，通過觀察、思考，對比植樹問題三種類型的異同，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)本質(zhì)，理解和建立植樹問題的數(shù)學(xué)模型，這一教學(xué)策略應(yīng)貫穿本單元教學(xué)的全過程。

三、合理優(yōu)化，結(jié)構(gòu)重組

基于以上對本單元教材的研讀和學(xué)情分析，教師的單元教學(xué)目標確定如下：（1）經(jīng)歷植樹問題三種類型的探索過程，建立不同情況下棵數(shù)與間隔數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，初步體會植樹問題的模型思想；（2）學(xué)生會自覺畫線段圖，嘗試用植樹問題的方法解決實際生活中的簡單問題，習(xí)得方法，提升思維品質(zhì)；（3）感受數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活的密切聯(lián)系，獲得學(xué)習(xí)成功的愉悅感。

例1、例2 及例2 下面的“做一做”，探究的都是線段上的植樹問題，涵蓋了植樹問題的三種數(shù)學(xué)模型。對此，教師可以整合成一節(jié)課進行教學(xué)，便于學(xué)生比較異同，領(lǐng)會植樹問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)都是棵數(shù)和間隔數(shù)之間的關(guān)系，清晰構(gòu)建植樹問題的三種數(shù)學(xué)模型。這節(jié)課是本單元的關(guān)鍵。在第二課時，教師可講解例3，繼續(xù)突出線段圖的教學(xué)，讓學(xué)生通過畫示意圖，理解在一條封閉曲線上植樹的規(guī)律是棵數(shù)等于間隔數(shù)，有幾個間隔就有幾棵樹。教師可以設(shè)計核心問題“在一條封閉曲線上的植樹問題可以轉(zhuǎn)化成在一條線段上的植樹問題嗎？你能找到其中的規(guī)律嗎？”，鼓勵學(xué)生積極思考，自主驗證，交流想法，讓學(xué)生理解在一條封閉曲線上的植樹問題實質(zhì)上屬于在一條線段上的植樹問題中的“只栽一端”的情況。教師運用課件直觀演示，可以幫助學(xué)生理解、建構(gòu)這一知識聯(lián)系。這時，對于植樹問題三種類型的完整建構(gòu)便水到渠成。后續(xù)的練習(xí)課、單元整理復(fù)習(xí)課，有利于達成鞏固提升的教學(xué)預(yù)期。重新整合后的教學(xué)和整合前相比，優(yōu)勢是能實現(xiàn)教師有結(jié)構(gòu)地教、學(xué)生有關(guān)聯(lián)地學(xué)，有利于學(xué)生深度學(xué)習(xí)，提高教學(xué)效率。以下是整合前和整合后的“植樹問題”單元教學(xué)框架對比（見表1）。

表1

四、課堂實踐，培養(yǎng)素養(yǎng)

以下是重新整合后，本單元的關(guān)鍵課“植樹問題”第1 課時的課堂實踐。

（一）直觀體驗，感知“間隔”

師：同學(xué)們都有一個聰明的腦袋瓜和一雙靈巧的小手。你能找到手上的數(shù)學(xué)知識嗎？

生：一只手有5 根手指，每兩個手指之間有個“空”。

師：2 個手指之間有個“空”，在數(shù)學(xué)上，我們把這個“空”叫“間隔”。（板書：間隔）也就是說，5 個手指之間有幾個間隔？4 個間隔是在幾個手指之間？

師：我們可以把一個手指想象成一個點，我們一起來數(shù)數(shù)有幾個點？幾段？也就是幾個間隔呢？（5 個點，4 個間隔）也就是說點數(shù)是5，間隔數(shù)是4。（師畫出線段圖，引導(dǎo)理解。）那4 個點之間有幾個間隔？3個點呢？2 個點呢？請你和同桌說一說。

師：今天我們一起研究與間隔有關(guān)的有趣的數(shù)學(xué)問題。（板書：植樹問題）

（二）大膽猜測，化繁為簡

出示例題：同學(xué)們在全長100 米的小路一邊植樹，每隔5 米栽一棵，一共要栽多少棵樹？

師：你怎么理解題目的數(shù)學(xué)信息？

生：小路全長100 米，只栽一邊，另一邊不栽，每隔5 米栽一棵。（生借助尺子比畫）“每隔5 米栽一棵”的意思是每兩棵樹之間的距離都是5 米，兩棵樹之間間隔5 米。

師：對了，5 米是兩棵樹之間的間隔長度。請你猜測一下，一共要栽多少棵樹？

（生猜測：20 棵、21 棵、19 棵、18 棵……）

師：這是大家的猜測。該如何解決問題呢？

生2：畫線段圖分析

師：線段圖是我們學(xué)習(xí)的好幫手。用一條線段表示100 米的小路，每隔5 米栽一棵，每隔5 米栽一棵（畫線段圖展示），照這樣一棵一棵種下去，是不是很麻煩？

生：100 米這個數(shù)據(jù)有點大，畫圖時會比較麻煩，因此我們可以選擇較小數(shù)據(jù)來分析。

師：把大一些、稍復(fù)雜的數(shù)據(jù)變小，便于思考、探究，在數(shù)學(xué)上稱為“化繁為簡”。

（三）經(jīng)歷探究，建構(gòu)模型

教師出示植樹問題學(xué)習(xí)單（如圖1）：

圖1

師：請同學(xué)們認真思考，完成學(xué)習(xí)單后，四人為一小組交流、討論。（教師巡視、指導(dǎo)，收集代表性作品，指名上臺回答，相機板書）

生1：假設(shè)小路全長20 米，每隔5 米栽一棵，頭尾都栽，一共要栽5 棵樹。因為20 米里有4 個5 米，也就是有4 個間隔，棵數(shù)比間隔數(shù)多1，所以要栽5 棵樹。列式：20÷5=4（個）， 4 ＋1=5（棵）。

師：你能給這種植樹方法取個名字嗎？

生1：兩邊都栽。

師：有不同意見嗎？

生2：是兩端都栽，就是起點栽，終點也栽。“兩邊都栽”的意思是路的兩側(cè)都要栽樹。

師：理解透徹，分析到位！用詞精準！你們還有問題要問這位“小老師”嗎？

生2：為什么是4“個”，而不是4“棵”？

生1：因為20÷5=4，求的是間隔數(shù)，4表示的是4段，是4 個間隔，而不是4 棵樹。

生2：那我們要怎么求出間隔數(shù)？

生1：總長÷間隔長度=間隔數(shù)。

師：兩端都栽是植樹問題的一種類型。還有不同的植樹方法嗎？

生3：假設(shè)小路全長20 米，每隔5 米栽一棵，但起點栽，終點不栽，我發(fā)現(xiàn)有4 個間隔，4 棵樹，棵數(shù)和間隔數(shù)相等。20÷5=4（棵）。這種植樹方法可以叫“一端栽，一端不栽”吧！

師：你說得真好！我們也可以說是“只栽一端”。這又是植樹問題的另一種類型。

生4：我的栽樹方法和他們的都不一樣。萬一小路的兩端有障礙物呢？假如我們在兩棟樓之間栽樹，那兩端都不能栽?。∪绻÷烽L還是20 米，20 米里有4個5 米，有4 個間隔，但只能栽3 棵樹，棵數(shù)比間隔數(shù)少1。20÷5=4（個），4-1=3（棵）。

師：有思考、有探究就有收獲?。ㄖ钢鍟┻@節(jié)課我們探究了在一條線段上植樹的問題，有這三種類型：兩端都栽，只栽一端，兩端都不栽。請你認真觀察線段圖，理解算式，思考這三種類型有什么聯(lián)系和區(qū)別，在小組中交流想法。

生5：我發(fā)現(xiàn)都是先求出有4 個間隔，也就是間隔數(shù)，不同的是：兩端都栽，棵數(shù)＝間隔數(shù)＋1；只栽一端，棵數(shù)＝間隔數(shù)；兩端都不栽，棵數(shù)=間隔數(shù)-1。

生6：要先計算“總長÷間隔長度=間隔數(shù)”，都是先求出總長里有幾個間隔長度。

師：那為什么間隔數(shù)相同，栽樹棵數(shù)卻不同呢？你能借助線段圖找到棵數(shù)和間隔數(shù)關(guān)系的奧秘嗎？

生5（上臺比畫線段圖）：大家看，我們從第一棵樹開始，一棵樹對應(yīng)一個間隔，最后一棵樹沒有間隔對應(yīng)，就多出來了，所以棵數(shù)比間隔數(shù)多1。

生6（上臺比畫線段圖）：大家從最后一棵樹看起，一棵樹對應(yīng)一個間隔，起點處的這棵樹落單多出來了?？脭?shù)比間隔數(shù)多1，也就是間隔數(shù)比棵數(shù)少1。

師：同學(xué)們用一一對應(yīng)的方法理解了“棵數(shù)=間隔數(shù)+1”。請你用這樣的方法和同桌互相說說，怎么理解“棵數(shù)＝間隔數(shù)”，“棵數(shù)=間隔數(shù)-1”？（再借助課件直觀演示，促進理解）

師（展示作品）：有的同學(xué)選擇的數(shù)據(jù)不是20 米，而是10 米、15 米、25 米、30 米……總長變了，間隔長度5 米不變，什么會變？但什么不變？

生7：總長變了，間隔長度不變，間隔數(shù)會變，棵數(shù)也會變，但相同種樹情況的規(guī)律不變。

師：如果小路的全長是n 米呢？你會列式嗎？

生7：兩端都栽，棵數(shù)=n÷5+1；只栽一端，棵數(shù)=n÷5；兩端都不栽，棵數(shù)=n÷5-1。

（四）應(yīng)用模型，驗證猜測

學(xué)生獨立完成例題，教師巡視指導(dǎo)，指名回答，呈現(xiàn)三種解法。

（五）解決問題，內(nèi)化模型

教師給出兩道習(xí)題，要求學(xué)生獨立完成，可以同桌交流解題思路及注意點，再全班交流。

（六）全課總結(jié)，提升感悟

師：通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，同學(xué)們肯定收獲滿滿，和大家分享分享！

生1：遇到復(fù)雜的問題，可以化繁為簡。

生2：我們可以用畫線段圖的方法解決植樹問題。

生3：我們要認真審題，根據(jù)題中的已知條件先判斷是植樹問題的哪種類型，再用對應(yīng)的規(guī)律解答。

生4：植樹問題的三種類型反映的都是棵數(shù)和間隔數(shù)之間的關(guān)系，可以用一一對應(yīng)的方法來理解記憶。

結(jié) 語

總之，教師要立足《課程標準》的要求，以全局視角，整體把握單元教學(xué)，根據(jù)單元教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生學(xué)情，把零散的、關(guān)聯(lián)的知識點進行整合，設(shè)計教學(xué)活動，引導(dǎo)學(xué)生主動探究，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，獲得學(xué)習(xí)能力的提高，達到核心素養(yǎng)的階段培養(yǎng)目標。