巧裂項，妙放縮

趙玉輝

摘要：解決一些涉及函數類型的數列遞推關系式的求和問題，關鍵是抓住數列遞推關系式的實質，進行合理變形與轉化，巧妙結合不等式的性質加以放縮處理，綜合數列求和的裂項相消法來解決，結合模擬題實例，從不同視角加以裂項處理，總結裂項放縮變形的基本策略與方法，引領并指導數學教學與解題研究.

關鍵詞：數列；遞推；求和；裂項；放縮

涉及數列遞推關系式an+1=f（an）背景的數列求和的取值范圍問題，一直是高考數學試卷中的一類比較熟悉的題型.此類問題合理綜合數列的求和以及通項的放縮，將數列中的兩個重點與難點加以合理交匯與整合，難度較大，具有較高的選拔性與區分度，倍受命題者青睞.

1問題呈現

問題：（2021—2022學年浙江省寧波市慈溪市高三（上）期末數學試卷·10）已知數列{an}的前n項和為Sn，a1=1，且an+1=?an?6an+5?an?+1?（n∈WTHZN*），則（）.

A.1

B.?7?5?

C.?12?5?

D.?17?5?

此題是具有浙江省高考數學特色的數列選擇壓軸題，從an和an+1的遞推關系不好直接放縮為等比數列，所以可以考慮裂項處理，而要自然地想到如何使用裂項破解此題，必須讓學生掌握常見的裂項類型，這樣才能在考場上快速想到解決本題的策略，比如?1??n??如何放縮裂項等.另外，也有其他背景，比如蛛網圖法、數列與函數的綜合考慮等，也能很好得以解決問題.

2問題破解

方法1：（裂項放縮——分式裂項法）

解析：由a1=1，且an+1=?an?6an+5?an?+1?>0，

兩邊取倒數有?1?an+1?=?6an+5?an?+1?an?=6+?5??an??+?1?an?=（ 1??an??+?5?2?）2－?1?4?<（ 1??an??+?5?2?）KG-*32，

可得?1??an+1??

所以?1??an??

可得an≥（ 2?5n-3?）KG-*32，當且僅當n=1時等號成立，

又由于an+1=?an?6an+5?an?+1?

所以an=?an?an-1?·?an-1?an-2?·?an-2?an-3?·…·?a3?a2?·?a2?a1?·a1

則有an≤?14?（5n+2）（5n-3）?=?14?5?（ 1?5n-3?－?1?5n+2?），當且僅當n=1時等號成立，

所以Sn≤?14?5?JB<2［（ 1?2?－?1?7?）+（ 1?7?－?1?12?）+…+（ 1?5n-3?－?1?5n+2?）JB>2］=?14?5?（ 1?2?－?1?5n+2?）

又a1=1，故Sn≥1，當且僅當n=1時等號成立；

綜上分析，可得1≤Sn

所以1

解后反思：根據數列的遞推關系式對數列通項an的取值范圍進行估計，綜合一些相關的方法（如累加法、累乘法等，這里利用的是累乘法）得以確定數列通項an的上界或下界的估計，利用數列求和的裂項相消法（這里是通過分式裂項）加以合理放縮與處理，是解決此類問題最為常見的思維方式之一.

方法2：（裂項放縮——根式裂項法）

解析：由a1=1，且an+1=?an?6an+5?an?+1?>0，

可得an+1=?an?6an+5?an?+1?

由an+1=?an?6an+5?an?+1?去分母，可得an+1（6an+5?an?+1）=an，

移項并整理可得an+1=?an-an+1?6an+5?an??

所以Sn=an+an－1+…+a2+a1

又a1=1，故Sn≥1，當且僅當n=1時等號成立；

綜上分析，可得1≤Sn

所以1

解后反思：根據數列的遞推關系式特征確定數列前后項的大小關系以及取值范圍的估計，并會巧妙進行恒等變形處理，轉化為根式關系，進而利用根式裂項變形，通過數列求和的裂項相消法（這里是通過根式裂項）加以合理放縮與處理，對數學運算能力與關系式的變形能力要求更高，具備較好的函數化思維以及放縮嗅覺.

方法3：（裂項放縮——待定系數法）

解析：以上部分中方法1，可得?1??an+1??

而an+1=?an?6an+5?an?+1?

由an+1=?an?6an+5?an?+1?，兩邊取倒數有?1?an+1?=?6an+5?an?+1?an?=6+?5??an??+?1?an?≥（ 1??an??+kJB））2，其中k>0，而上式6+?5??an??+?1?an?≥（ 1??an??+kJB））2展開，整理可得?5-2k??an??+6－k2≥0對任意的0

由?1??an+1??≥-?1??an??+k，可得?1??an??≥?1??an-1??+k≥?1??an-2??+2k≥?1??an-3??+3k≥…≥?1??a1??+（n－1）k=k（n－1）+1，

則有?an?≤?1?kn+1-k?，即an≤?1?（kn+1-k）2?=?1?［（2?3?-1）n+2-2?3?］2?

所以S2021=a1+a2+a3+a4+a5+…+a2021<1+?1?12?+?1?18+10?3??+?1?4?（ 1?42?+?1?52?+…+?1?20212?）<1+?1?12?+?1?35?+?1?4?JB（［（ 1?3?－?1?4?）+（ 1?4?－?1?5?）+…+（ 1?2020?－?1?2021?）JB）］=1+?1?12?+?1?35?+?1?4?（ 1?3?－?1?2021?）<1+?1?12?+?1?35?+?1?12?=?251?210?

又0

所以1

解后反思：根據數列的遞推關系式的變形，合理引入參數進行待定系數法處理，進而結合不等式的性質加以放縮變形，再通過數列求和的裂項相消法（這里是通過平方分式裂項）加以合理放縮與處理.這里主要是通過猜想上界的形式，結合待定系數法作為中介來過渡與轉化，對數學思維能力要求非常高.

方法4：（裂項放縮——數學歸納法）

解析：由a1=1，且an+1=?an?6an+5?an?+1?>0，

可得an+1=?an?6an+5?an?+1?

構建函數f（x）=?x?6x+5?x?+1?，易知函數f（x）在區間（0，1）上單調遞增，

下面利用數學歸納法來證明：an≤?1?（2n-1）2?，

（1）當n=1時，可得a1≤?1?（2-1）2?=1，而a1=1，不等式成立；

（2）假設當n=k（k∈WTHZN*）時不等式成立，即ak≤?1?（2k-1）2?，

那么ak+1=?ak?6ak+5?ak?+1?≤??1?（2k-1）2???6?（2k-1）2?+?5?2k-1?+1?=?1?（2k-1）2+5（2k-1）+6?=?1?4k2+6k+2?

根據（1）和（2）可知不等式an≤?1?（2n-1）2?對于任何n∈WTHZN*都成立，

所以an≤?1?（2n-1）2?

所以S2021=a1+a2+a3+a4+…+a2021<1+?1?12?+?1?4?JB<2［（ 1?2?－?1?3?）+（ 1?3?－?1?4?）+（ 1?4?－?1?5?）+…+JB<2（?1?2020?－?1?2021?JB>2）JB>2］=1+?1?12?+?1?4?（ 1?2?－?1?2021?）<1+?1?12?+?1?8?=?29?24?

又0

所以1

解后反思：根據數列的遞推關系式特征確定數列前后項的大小關系以及取值范圍的估計，通過先猜后證，對數列通項an的變化速度有一個初步的判斷，結合猜想并利用數學歸納法加以證明，得以確定數列通項an的上界估計，最后通過數列求和的裂項相消法（這里是通過分式裂項）加以合理放縮與處理.其實，該方法中的不等式也可以是an≤?1?n2?，結合該方法也可以得以解決.

3鏈接高考

以上模擬題類似于2021年高考數學浙江卷第10題，而且數列的遞推關系式更加復雜，難度也比高考真題有所提升與深入，解決問題的技巧與方法基本相當.

高考真題：（2021年高考數學浙江卷第10題）已知數列{an}滿足a1=1，an+1=?an?1+?an??（n∈WTHZN*）.記數列{an}的前n項和為Sn，則（）.

A.?1?2?

B.3

C.4

D.?9?2?

答案：A.

該高考真題的解決方式也是多樣，可參照以上模擬題的裂項放縮技巧與方法加以分析與解決，這里不多加以敘述與展開.

4教學啟示

4.1掌握裂項的基本類型，熟知裂項模式

裂項相消法是數列求和常用的解題方法，常見的數列通項的裂項類型有：①利用分式的基本性質進行裂項；②利用根式的分母有理化進行裂項；③利用其他相關等式的運算進行裂項等.

4.2善于裂項的基本步驟，把握裂項“三關”

裂項相消法進行數列求和需過的“三關”：第一關是定通項關，即會利用求通項的常用方法，求出數列的通項公式；第二關是巧裂項關，即能將數列的通項公式準確裂項；第三關是消項求和關，即把握消項的規律，求和時正負項相消，準確判斷剩余的項是哪幾項，從而準確求和.

參考文獻：

［1］俞文銳.基于數學抽象的“裂項法”教學設計探析［J］.中學數學月刊，2022（7）：37-39+61.

［2］王翠娜.基于建構主義的數列裂項求和探析［J］.教學考試，2022（2）：55-59.