STEM教育理念下高中數學深度學習探究

徐華

摘要：在STEM教育理念下，以物理學科知識為背景、數學概念學習的認知過程為參照，結合數學實驗活動，應用動態數學軟件geogebra，設計并實施了《橢圓的標準方程》這節課，引導學生通過實際操作深入理解橢圓的定義，在討論辨析中深化橢圓標準方程的推導過程，在課后作業中繼續強化理論和實踐的能力，讓學生的核心素養落地生根.

關鍵詞：STEM教育；核心素養；geogebra

《普通高中數學課程標準（２０１７年版）》指出：高中數學教學的培養目標是六大核心素養，包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析等六個方面.數學抽象是數學的基本思想，是形成理性思維的重要基礎，反映了數學的本質特征，貫穿在數學的產生、發展、應用的過程中.

STEM教育的核心理念強調以概念為主，通過科學、技術、工程和數學之間的合并和融合，培養學生利用數學基礎工具科學精準地描述世界.在實際的高中數學教學中，它要求數學教師盡可能營造一種積極的、活躍的教學氛圍，設計真實的問題情境，盡可能提出一些有挑戰性的問題，來激發學生的興趣和探究欲，讓學生真正主動參與到數學學習中來.同時它也要求數學教師應該改變固有的教學經驗，把應試教育下的碎片化教學設計整合更新為STEM教育理念下的綜合研究型項目式學習.

下面以“橢圓的標準方程”為例，探索在高中數學教學中如何實施STEM教育，促進學生的深度學習.

1設計思路

本節課的設計主要有以下六個環節：科學背景、工程逞威、技術融合、實操為要、數學建模、STEM再現.

科學背景：從物理學科行星運動軌跡中抽象出數學問題，使學生對橢圓形狀有直觀的印象；以視頻形式展示圓錐曲線數學史，激發學生學習的興趣.

工程逞威：學生通過小組合作自己動手制作簡易畫圖工具，體驗畫出橢圓的過程.

技術融合：運用geogebra軟件讓數學更嚴謹，突出重難點，幫助學生認識到數學問題的本質.

實操為要：以問題串引導學生思考，以模型實際操作為參照，以小組合作的形式探究并共同擬定橢圓的定義.

數學建模：類比圓的標準方程的推導，將方法遷移運用到橢圓上.

STEM再現：課后作業布置制作簡易橢圓規，書面說明原理，小組展示.

2教學過程

問題1：太陽系中行星的運動軌跡是什么圖形？生活中還有類似的圖形嗎？請舉出一些例子.

學生：橢圓，實例有：橄欖球，香皂盒，浴盆等

教師：人們最初是如何認識到橢圓的？請觀看視頻《圓錐曲線的發展歷史》，了解橢圓的研究的歷史過程，明確有哪些方法可以快速準確的畫出橢圓.

設計意圖：直觀感受橢圓的形狀，在生活中尋找大量實例，建立數學和實際的聯系，通過視頻了解數學發展的歷史，引出橢圓的畫法.

教師：橢圓有哪些畫法，哪一種最簡單？

學生：園藝師畫法，橢圓規畫法，前者更簡單.

根據園藝師畫法的要求，教師課前將學生分成兩人一組，每一組都準備好方形泡沫板，淺色卡紙，雙面膠，長度為定值的細繩，釘子，塑料吸管，鉛筆.

教師：請按照園藝師畫法自己動手畫出橢圓.

小組合作：教師指導學生將卡紙貼在泡沫板上，把釘子套上一段小吸管，釘在板上的兩點F1、F2（小于繩長）處，將繩子固定在吸管上（學生的小創意，畫圖時更方便），用筆尖把細繩拉緊，并使筆尖在畫板上移動一周，畫出一段封閉的曲線.

問題2：畫圖過程中哪些量在變化，哪些量是不變的？

學生：∠F1MF2在不斷變化，MF1和MF2此消彼長，繩子總長度不變.

設計意圖：小組合作，讓學生自己動手體驗，直觀感受畫圖過程中量的變化和最終的形狀.

教師利用geogebra軟件展示：首先繪制兩個定點F1、F2，作為橢圓的兩個焦點.其次繪制一條線段AB，固定其長度.在線段AB上取一動點C，作為橢圓動點軌跡的控制點.以F1為圓心，AC長為半徑畫圓和以F2為圓心，BC長為半徑畫圓.取兩圓的交點為P，Q，選擇交點的軌跡即可得到橢圓.選定設置為虛線，然后拖動C點在線段AB上移動，點P跟隨點C一起在如圖的橢圓上移動.

引導學生結合畫圖變化中的不變量，師生一起總結得出：

橢圓的定義：平面內到兩個定點F1，F2的距離之和等于常數（大于?F1F2?）的點的軌跡叫做橢圓，兩個定點F1，F2叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距.

設計意圖：利用技術手段，精準畫出橢圓，肯定小組合作得到的結果，感受和為定值這一特征，抽象概括出橢圓定義.

問題3：在定義中，如果?MF1?+?MF2?≤?F1F2?，動點的軌跡又是什么？

學生動手實際操作，得出結論：

當?MF1?+?MF2?=?F1F2?時軌跡為線段F1F2；

當?MF1?+?MF2?

設計意圖：學生通過分類辨析，深入理解橢圓的定義，體現了數學的嚴謹性.

問題4：觀察橢圓形狀，你認為怎樣建立橢圓的方程？

學生：觀察發現橢圓具有對稱性，而且過兩個焦點的直線是它的對稱軸，所以以兩焦點所在直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系.

設M（x，y）為橢圓上的任意一點，橢圓的焦距2c（c>0），則F1和F2的坐標分別是（-c，0）、（c，0），M與F1和F2的距離的和等于正常數2a（2a>2c），即|MF1|+|MF2|=2a.

代入坐標得：?（x+c）2+y2?+?（x－c）2+y2?=2a.

請學生展示化簡過程：

方案一：先移項得

（x+c）2+y2?=2a－?（x－c）2+y2?，

兩邊平方得

（x+c）2+y2=4a2－4a?（x－c）2+y2?+（x－c）2+y2，

整理得a?（x－c）2+y2?=a2－cx，

再平方整理得（a2－c2）x2+a2y2=a2（a2－c2）.

方案二：直接兩邊平方，整理得

（x2+2cx+c2+y2）（x2－2cx+c2+y2）?=2a－x2－y2－c2.

學生1：再平方，計算復雜，還沒算出最終結果.

學生2：?［（x2+c2+y2）+2cx］［（x2+c2+y2）－2cx］?=2a－（x2+y2+c2）.

把x2+y2+c2當一個整體，利用平方差公式化簡得：

（a2－c2）x2+a2y2=a2（a2－c2），

整理得：?x2?a2?+?y2?a2－c2?=1.

教師：方案一過程簡單，運算量少，方案二本來計算很復雜，但學生2巧用整體法簡化了運算過程.后續在處理運算問題時要多觀察運算式的形態，學會尋求最優算法.

設計意圖：數學運算能力一直是學生的弱項，學生先自己動手計算，再有不同運算思想的碰撞，讓學生真正動起來，變被動地接受為主動地獲取，培養數學運算和邏輯推理能力.

問題5：你能在圖中找出表示a，c，?a2－c2?的線段嗎？

學生：|PF1|=|PF2|=a，|OF1|=|OF2|=c，|OP|=?a2－c2?，若令|OP|=?a2－c2?=b，方程可簡化為：?x2?a2?+?y2?b2?=1（a>b>0），該方程叫做焦點在x軸上的橢圓的標準方程.

設計意圖：強化a，b，c三者之間的關系，滲透數形結合的數學思想，感受橢圓方程的簡潔美.

問題6：如果橢圓的焦點F1F2在y軸上，且F1和F2的坐標分別是（0，-c）、（0，c），a，b的意義同上，橢圓的方程是什么？

學生1：猜想方程?y2?a2?+?x2?b2?=1（a>b>0）

學生2：重復剛才的推導過程，不想算了.

學生3：比較焦點x軸上的橢圓圖形，兩者關于直線y=x對稱，所以只要將方程?x2?a2?+?y2?b2?=1中的x，y調換，可得

y2?a2?+?x2?b2?=1（a>b>0）.

這個方程叫焦點在y軸上的橢圓的標準方程.

設計意圖：利用類比對稱，化歸的思想讓學生深入理解問題的本質所在，圖形沒有變，只是位置發生了變化，進而通過對稱性得出焦點在y軸上的橢圓的標準方程，讓學生學會“偷懶”，避免了繁雜的計算.

問題7：橢圓的兩種標準方程有什么異同點？如何從橢圓的標準方程判斷橢圓焦點的位置？

學生：總結方程特征：

①形式上：平方+平方=1，且c2=a2－b2，a>b>0

②細節上：x和y順序交換（焦點位置不同）

③哪個變量下的分母大，焦點就在哪個軸上.

3總結反思

3.1以STEM教育理念為基，促進教學方法改革

本節課基于STEM教育理念設計和實施，融入了科學、技術、工程與數學的內容，這就要求教師不僅要有深厚的專業素養，還需要了解STEM教育的相關學習理論、教學理論、課程理論等，改變之前“填鴨式”的教學方式，充分發揮學生的主觀能動性.

由于施教對象為普通高中學生，學生能力差異較大，也因為概念生成的重要性，為了盡可能讓每一位學生都有發揮的空間，都有自己的收獲，本節課完成了橢圓標準方程的推導和簡單應用.

3.2通過STEM課程實施，讓學生多“動”多“思”，促核心素養落地生根

本節課對于橢圓概念的形成，讓學生動眼觀察，動手操作，動腦思考，動筆計算，體驗從具體到抽象的數學活動過程，深入理解數學概念的形成.通過抽象概括，掌握其中蘊含的數學本質，逐步提高學生的數學抽象能力，養成思考問題的一般習慣，為后續的數學學習打下堅實的基礎.

對于橢圓標準方程的推導，讓學生獨立動腦尋求最佳算法，給予充足的時間動筆運算化簡，逐步培養學生獨立的邏輯推理和數學運算的能力，讓學生感受數學的簡潔美和對稱美.

3.3以STEM教育應用效果為導向，促教學反饋和評價更及時有效

STEM教育應該注意學生能否高效地學到知識或技能，避免浮于活動表面.在本節課中，為了檢驗教學成效，我們通過學生個人展示或小組匯報的形式來了解學生知識掌握的情況，并且經常跟學生互動解釋相關問題，讓學生的學習情況能及時進行反饋.

3.4課后補償提升，STEM課程延續

為了激發學生的興趣和探究欲，課后作業選擇了一些具有挑戰性的問題：橢圓規的制作和原理說明.一方面給課堂內容掌握不足的學生在課下進行補償，另一方面也給學有余力的學生予以鞏固和提升，進一步延續STEM教育課程模式，為橢圓問題的深入學習打下基礎.

3.5反思教學過程，讓STEM教育和數學學習過程進一步融合

本節課，在引入橢圓概念時，以行星運動為背景，交叉融合了物理知識；在探究橢圓的畫法，融入了技術手段，使用了動態數學軟件geogebra；在歸納橢圓的定義時，設計了動手操作活動，聚焦于學生對實驗過程的觀察和理解；在推導標準方程時，放手給學生自主計算，讓學生真正體驗知識的形成過程.

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基金項目：南京市教研室第十三期教學研究重點課題《STEM教育視野下高中生深度學習型課程的開發與應用研究》（編號：2019NJJK13—Z19）.