系統觀下“平行四邊形及其性質”的教學設計

陳琳

摘要：在系統觀的引領下，教師通過將所學知識置于學科體系中設計教學，使學生通過回顧已有的經驗和方法，獲得研究對象并能有序思考提出值得研究的幾何問題，構建“前后一致，邏輯連貫”的學習過程，從而提升學生的數學素養.

關鍵詞：系統觀；理性思維；平行四邊形性質

系統觀下的數學學習，指的是將所學知識置于學科知識體系的角度來設計學習過程，讓學生通過梳理以往學習的相關內容，提煉研究經驗和方法，在運用同樣的方法做相似的事情，一以貫之地學習新知識，構建“前后一致、邏輯連貫”的學習過程，形成良好的認知結構.初中幾何教學中，往往可以借助“類比”建構知識，是系統觀下學生學習活動開展的典型.本文以“平行四邊形及其性質”為例談談對系統觀下進行教學設計的認識與理解.

1備課過程中的相關思考

1.1以“系統觀”為指導的內容解析

本節課是在學生已經完整學習了三角形的內容后，對特殊四邊形——平行四邊形進一步的研究.在以“系統觀”為指導的數學學習過程中，平行四邊形的研究可以以特殊三角形的研究思路“定義——性質——判定——應用”為參照.在具體的研究內容上，平行四邊形的定義依然采用特殊三角形的定義方式即屬加種差，而性質的研究是對其構成的要素（基本要素、相關要素）特征的揭示這一經驗指導下，平性四邊形的性質研究就是要找出邊、角、對角線不變的數量關系和位置關系，從而歸納得到性質定理.平行四邊形的性質定理也為證明兩條線段相等、兩角相等以及兩條直線平行提供了新的方法和依據.因此，本節課的內容既是平行線的性質、全等三角形、特殊三角形等知識的延續和深化，同時也是后續學習特殊平行四邊形的基礎.基于以上分析，本節課的重點是平行四邊形的性質及其應用.

1.2目標建構與難點分析

基于課標要求，確定本節課的教學目標為：（1）理解平行四邊形的概念；（2）探索并證明平行四邊形的性質；（3）能根據定義或性質解決相關數學問題；（4）進一步體會幾何研究的一般思路與方法.

達成目標（1）的標志：能用文字語言、圖形語言、符號語言來描述平行四邊形的定義，知道平行四邊形與四邊形的區別與聯系.達成目標（2）的標志：能通過觀察、操作發現其性質，能發現一條對角線把平行四邊形分成兩個全等的三角形，并對性質進行證明，能用文字語言和符號語言準確表述性質的含義.達成目標（3）的標志：能利用性質進行簡單計算或證明.達成目標（4）的標志：明確對幾何圖形性質的研究就是對其構成的要素特征的揭示；在平行四邊形性質的探索過程中經歷觀察度量（當然還有實驗操作、圖形變化等方式），通過合情推理發現結論，形成猜想，運用演繹推理證明猜想這一研究事物的一般方法.

在小學階段，學生已經學習過平行四邊形的相關內容，進入初中研究的最大不同就是從感性認識上升到理性邏輯推理上，通過利用平行線和全等三角形的性質和判定來研究推導證明平行四邊形的性質和判定，發展合情推理和演繹推理能力.教學中要以“系統觀”為指導，讓學生在以往經驗的指導下自主探索，在特殊研究對象的思考中有新的發現，最終有序而又完整地得到平行四邊形的性質.

2教學過程

環節1確定研究對象

問題1：前面我們已經學習了三角形，也學習了兩個特殊的三角形，請同學們回憶一下從三角形到特殊三角形的研究思路是什么？

追問1：在初步了解四邊形后，你能否用類比的方法得到一些特殊的四邊形？請說說你的研究思路.

追問2：能根據剛才的特殊化過程，說出平行四邊形的定義嗎？

師生活動：師生共同回憶從邊的大小特殊化研究了等腰三角形，角的大小特殊化研究了直角三角形，總結得到對要素進行特殊化處理可以獲得新的研究對象.學生通過以上經驗可能對四邊形從要素邊特殊化，一組對邊平行得到梯形、兩組對邊平行得到平行四邊形；從要素角特殊化，角相等得到矩形；從對角線特殊，對角線垂直得到箏形……，選擇其中兩組對邊平行的這一類進行研究，介紹平行四邊形的符號表示.

設計意圖：數學學習不該是碎片化、孤立的知識的堆積的，而是有邏輯、有結構的生長.在“系統觀”思想下，充分考慮學生已有的認知經驗，通過激活三角形的學習過程，類比構建研究路徑，由學生自己對四邊形進行特殊化.用相似的路徑研究不同的問題，使他們在后續的學習中能夠“見木見林”，增強學生學習的預見性和主觀性.

環節2探索性質研究

問題2：明確定義后，接下來研究什么？

追問1：平行四邊形的性質又要研究什么？

追問2：怎樣研究平行四邊形的性質？

師生活動：學生可能不知如何回答，教師引導學生回憶等腰三角形和直角三角形的學習過程，得出幾何研究的一般路徑：定義——性質——判定——應用.例如等腰三角形性質研究的內容是：要素（邊、角）、相關要素（高、中線、角平分線）的定性關系.學生思考后得到平行四邊形的性質是研究其邊、角、對角性的定性關系.教師進一步指出性質的研究就是邊、角等基本要素和相關要素的研究.根據小學時的經驗，學生很容易會對邊、角、對角線進行度量，得到兩組對邊相等、兩組對角相等，對角線互相平分的猜想.

設計意圖：在“系統觀”視角下，平行四邊形性質的探索應該是一氣呵成的，并不像教材中局限于邊與角的性質，這樣使得性質的獲得更有整體性和連貫性，符合認知規律.在平行四邊形性質的探索過程中經歷觀察度量（當然還有實驗操作、圖形變化等方式），通過合情推理發現結論，形成猜想，這也是數學學習中非常重要的方法.

環節3證明性質

問題3：我們已經猜想得到了平行四邊形的三個性質，現在我們先把問題聚焦到如何證明對邊相等.

追問1：通過上述證明，我們得到了平行四邊形關于邊角的兩個重要性質，請你能用符號語言描述.

追問2：平行四邊形對邊、對角的性質有什么作用？

師生活動：證明線段相等或者證明角相等，有了八上學習的經驗同學很自然地會想到就是證明他們所在的三角形全等，而題目中沒有三角形，在上一課研究四邊形的內角和時，我們已經初步體會了通過連接對角線將四邊形問題轉化為兩個三角形的問題的思想，此處得到再一次的體驗，教師要及時提煉總結化四邊形問題為三角形問題的基礎思路，化未知為已知的基本思想.學生在證明角相等時，也可能會用到兩直線平行同旁內角互補，進而得到同角的補角相等等其他方法，教師要鼓勵學生一題多解.

設計意圖：經歷性質定理的探索與發現過程即通過觀察、度量形成猜想，運用演繹推理證明猜想，實現幾何教學“始于直觀，終于推理”.在證明的過程中體會執果索因的分析題目的方法和將四邊形轉化為三角形來解決的化歸思想.追問1加強了幾何推理書寫習慣的培養.追問2幫助學生理解平行四邊形的性質是證明線段和角相等的又一利器.

環節4應用性質

例1已知：如圖1，E，F分別是ABCD的邊AD，BC上的點，且AF∥CE.求證：DE＝BF，∠BAF＝∠DCE.

師生活動：出示題目后先讓學生獨立思考，再請學生交流展示，說明理由.教師適當補充，幫助學生一起用分析法獲得證明思路.學生分析完后，再讓學生思考是否還有其他證明方法，讓學生展示不同的證法.

設計意圖：在證明時學生會更習慣于將問題轉化為證明三角形全等，這是符合認知規律的，但是隨著知識的豐富，學生解決問題的途徑也增多了，老師需要引導學生有時可以直接運用這些知識解決問題，幫助學生完善自己的數學知識結構體系.對于幾何證明，我們可以引導學生回答下列問題“要證明什么——有什么——缺什么——補什么”.

環節5總結梳理

問題4：我們是如何獲得研究對象的？

問題5：我們是如何研究平行四邊形的性質的？

問題6：對于平行四邊形，你覺得還需要進一步研究什么？

師生活動：師生一起回顧在“系統觀”引領下平行四邊形及其性質的獲得過程，形成特殊幾何圖形的研究體系（如圖2）.

設計意圖：問題串的形式引導學生回憶總結本節課的全部過程，再次進行整體構建，既達到了總結知識點的目的，又形成體系，形成問題研究的“基本套路”，為后續的學習提供路徑和方法.

3教學反思

3.1“系統觀”引領下幾何性質的探究，是構建研究內容整體性的需要

知識是有內在聯系的結構與系統.教師從系統的角度設計教學，目的就是喚醒學生已有的認知經驗，使新知的學習有生長的根基.本節課研究對象獲得以圖2所示展開：梳理特殊三角形獲得方式，即將三角形的要素特殊化，通過屬加種差的方式得出等腰三角形和直角三角形，同樣也可以獲得平行四邊形，而下一章的矩形、菱形、正方形就是在平行四邊形（屬概念）的基礎上附加一些條件（種差）.這樣引出新的概念既能幫助我們理解他的特性，也能弄清他們的共性，凸顯知識的整體邏輯結構.

3.2“系統觀”引領下幾何性質的探究，是體驗研究方法連續性的需要

系統視角下的數學學習，將同質事物的學習研究經驗進行重組再利用，讓學生用相似的路徑研究不同的問題.在三角形性質學習中學生已經明確確定幾何圖形構成要素之間的相互關系就是研究幾何性質的基本方法，把三角形的性質研究方法遷移到新的研究對象上去，學生很自然地就想到平行四邊形的性質研究就是研究邊、角以及對角線的位置關系和大小關系.在明確性質研究內容后，通過思考、操作、猜想、證明這一研究事物的一般方法，獲得性質定理并進行簡單應用.后續研究特殊平行四邊形的性質我們仍可以如此操作，真正實現數學學習返璞歸真、以簡馭繁的目的，實現研究路徑和方法的遷移.