借助問題鏈設計，發展“后建構”推理
——“圓”復習課教學設計與反思

■王 琳 薛 鶯

一、教學目標

對“圓”整個單元知識進行歸納，使學生在活動中形成知識網絡，通過練習，提高學生分析問題、解決問題的能力，同時滲透分類討論、數形結合思想；使學生在課堂活動中，勇于探索圖形間的相互關系，培養學生的空間觀念，發展學生的合情推理能力。

二、教學重難點

理解圓及其有關概念、性質定理、判定定理；運用相關知識解決實際問題；滲透數形結合、分類討論思想。

三、教學片段

1.選好切入點

本節課以教材中本章開頭引用的“一中同長”為切入點，復習圓的概念。

師：什么是圓？確定一個圓需要幾個條件？

生1：圓是到定點的距離等于定長的點的集合。

生2：確定一個圓需要兩個條件——圓心和半徑。

師：平面內的點和圓有幾種位置關系？（由此引出“點與圓的位置關系”。）

生3：有三種位置關系。當點到圓心的距離等于半徑，則點在圓上；當點到圓心的距離小于半徑，則點在圓內；當點到圓心的距離大于半徑，則點在圓外。

探究1：圓內一點P到圓上哪個點距離最小？到哪個點距離最大？

（學生直觀感知這兩個點都在過點P的直徑上。）

探究2：如果點P在圓外呢？

（學生發現這兩個點仍舊在此直徑上。）

設計意圖：選擇合適的知識點作為切入點。一是注重基礎性，即低起點，課堂剛開始能讓更多的學生積極參與；二是注重生長性，即高落點，學生以此知識點為起點，結合已有的基礎和經驗，在解決問題過程中能夠不斷生長出其他數學知識。相比新課的教學，復習課不僅要注重知識的鞏固，還需關注能力的提升。

2.排好“明暗線”

（1）請學生動手操作探究，嘗試畫出過圓內一點的最長弦與最短弦。此為“明線”，目的是復習圓的垂徑定理及有關圓的一些計算。

師：過圓內的一點P可以畫多少條弦？

生（齊）：無數條。

師：這無數條弦中，有最長的嗎？有最短的嗎？

生（齊）：最長的弦是過點P的一條直徑。

學生分小組討論最短的弦是否存在？若存在，如何畫？

學生經討論發現：最短弦是與過點P的直徑垂直的弦。

設計意圖：過圓內一點P，畫最長弦與最短弦，構建垂徑定理的基本圖形，然后設計圓這一章的計算類問題。筆者安排了這樣一條“明線”，試圖讓這個知識點生長蔓延，串聯起章節中的其他知識點，以便于學生構建完整的知識體系。

（2）請學生細致觀察探究，尋找圖中相等的角。此為“暗線”，目的是復習圓周角定理及結合相似三角形的知識進行綜合應用。

例1 在圖1 中的上取一點E，使連接AE，分別交CD、CB于點F、G。連接AC。

圖1

師：由垂徑定理，可以得到相等的弧，再結合圓周角定理，由相等的弧可以得到相等的角。此圖中你能找出哪些角相等嗎？

小組討論，教師板書，學生得出結論：

AB為直徑→∠ACB=90°=∠APC=∠BPC；

對頂角相等→∠AFP=∠CFG，∠CGF=

∠BGE。

師：通過你所找到的相等的角，能試著說明F為AG的中點嗎？

生4：可以。因為∠ACD=∠CAE，所以FA=FC；因為∠ACB=90°，所以∠ACD+∠FCG=∠CAE+∠CGF=90°，所以∠FCG=∠FGC，所以FC=FG。又因為FA=FC，所以FA=FG，即F為AG的中點。

師：這位同學結合“等角對等邊”“等角的余角相等”的知識，證明了F為AG的中點。

師：若已知AC=6，BC=8，你能計算出圖中哪些線段的長？

小組進行討論，教師板書、總結。

師：通過相似、勾股定理等知識的綜合運用，同學們求出了此圖中的每條線段的長。

設計意圖：由尋找圖中相等的角這條“暗線”，圍繞知識要點，讓學生發散思維。再用知識點編題，設置開放性問題，讓學生說緣由，談解法，在探究的過程中逐步形成知識“明線”。

3.拓展知識面

例2在平面直角坐標系中，點A與點B的坐標分別是（2，0）、（12，0）。

（1）若點P在y軸上，且∠APB=45°，滿足條件的點P有幾個？試求出點P的坐標。

（2）若點Q在y軸上移動，當∠AQB最大時，求點Q的坐標。

師：題目難度有點大，同學們能否在平面直角坐標系內先找一個點M，滿足∠AMB=45°？

生5：可以作一個以AB為腰的等腰直角三角形ABM，這樣就可以構造出一個45°角了。

師：此時的點M并不在y軸上，怎么辦？

生6：可以作△ABM的外接圓，所對△ABM的外接圓，優弧與y軸的交點的圓周角都能滿足45°的條件，所以只要作即為我們所尋找的點P。

師：滿足條件的點P有幾個？

生8：不對，由對稱性可知，可以在y軸的正負半軸上各找到2個，所以滿足條件的點P有4個。

師：該同學考慮問題很全面！請同學們結合數據，課后求一下點P的坐標。同學們利用圓周角的性質，構造圓，來解決“定邊對定角”問題，那么，同學們能不能再嘗試利用“同弧所對的圓內角、圓周角、圓外角”之間的大小關系，來解決第（2）小題呢？

生：……

設計意圖：通過前面的復習鋪墊，題目的難度逐步加大，學生無法清楚地表達思路，需要教師給予適當的點撥、啟示。最后，以構造圓的問題結束課堂，大大提高了學生的逆向思維能力。圓不僅可以作為題目的背景，也可以成為我們解決其他數學問題的工具。同時（2）又在（1）的基礎上增加了角的最值問題，拓展了學生的知識面，提升了學生的思維維度，體現了數學知識之間是處處關聯的。

四、教學反思

1.連點成線，形成知識網絡

本節復習課采用2道例題題組，將圓中的相關知識容納其中，既幫助學生復習了圓中的基本概念和基本技能，又幫助學生理清了分散的知識是如何相互關聯的。這種關聯的建立有助于學生在解決復雜問題時能夠高效且快速地提取到所需要的信息組，并在已有信息的基礎上開拓出一些創造性的思路。

2.設問開放，培養發散思維

例1屬于開放題，充分調動了學生已有的知識儲備。在由淺入深的解決問題的過程中，在相互討論的過程中，學生吸取思維碰撞中產生出的思維火花，從而生成對已有知識新的理解，建立知識之間更緊密的聯系，使得思維向著更高階的方向發展。

3.變式練習，破解思維定式

通過一題多變，即數學上的變式教學來幫助學生理清基本概念。學生對基本知識和技能理解和掌握后，教師再有目的和計劃地改變題目的非本質特征，在“以不變應萬變”中，提高課堂的教學效率，培養學生思維品質。這里的不變指的是基于教材的基本概念、定理和公式。