把握指向數學理解的真實情境特征

曹彬

摘要：數學理解是數學課程和數學學習的重要目標，真實情境反映了人們在真實生活與工作中的真實挑戰，能給予學生更多探索的機會，能高質量地考察學生運用所有知識技能協作解決任務、問題的能力。創設適合具身認知的、飽含豐富情感的、具有復雜任務的、體現社會合作的真實情境，在真實的情境中開展數學學習，可以提升學生的數學理解，有利于學生實現認知與情感的協調統一。

關鍵詞：真實情境 數學理解

數學理解是數學課程和數學教學的重要目標。數學理解不是簡單的概念記憶或方法重現，而是要利用已有知識和經驗從新信息中創生意義，通過分析推理和實踐練習獲得更深層次的理解，并且能將理解后的知識和技能有效運用到新的情境之中。小學階段學生的認知發展尚處于具體運算階段，需要借助于一定的表象，也就是具體的生活場景或已有經驗來支撐。真實的情境更有利于學生提取知識線索、厘清知識脈絡、重視理解過程，提升數學理解的能力。

一、數學理解離不開真實情境

1. 情境與真實情境

情境在教育學習領域具有豐富的語境意義。情境認知理論中的情境更多指向客觀外在環境，認為知識是活動、背景和文化的產品，知識必須在情境活動、生活文化中才能被運用發展，學習、知識和情境是相互緊密聯系。 教育現象學專家馬克思·范梅南認為教育教學的時空里都是教育的情境：“我們可以將這類似的情境叫做‘教育‘撫養孩子‘教學‘幫助孩子發展和成長。 也許， 針對某一具體軼事，某一具體名稱會更恰當一些，但我們可以看到一些共同點：每一個情境都是講述一件發生在年長者和年幼者之間的事兒。在每一個實例中都有某種相互影響的復雜性。年長者和年幼者之間相互影響。在這兒，我們對年長者之于年幼者的影響有著特別的興趣。它具有形成孩子生存和成長的各種可能性的品質。”

從認知的角度來看，數學學習和數學理解的出發點來源于數學問題。數學學習中的情境大多屬于問題情境。問題情境是指由個體面臨的數學問題和它所具有的相關經驗構成的系統。 與人文類學科不同，數學學科的問題情境既包含了純數學的問題情境也包含了具有現實因素的現實情境。比如“畫出三角形底邊上的高”、“按規律填數”、“用簡便方法計算”等就是直接呈現數學問題的純問題情境。而對現實生活進行數學化的加工，再用相對簡潔的語言改編的數學問題就屬于數學化的現實情境。如果在呈現的數學問題中又摻雜有更多的現實的、多方面的、非數學的因素，使學生在解決問題的過程中需要綜合運用多方面的思維進行篩選、整理、判斷、分析、推理等，就屬于基于現實生活的真實情境。

真實情境既體現了真實的的現實環境，也包含了當下的教育現實，還涵蓋了學生已有的知識技能和生活經驗，是一個寬泛、多元的教育場景。真實情境反映了真實的生活與工作中的真實挑戰，還給予學生探索主題的機會，能高質量地考察學生運用所有知識技能協作解決任務、問題的能力。因此我們應該給學生提供在真實情境中學習的機會，讓他們感受知識在真實世界中的存在，展示他們的創造力和解決復雜問題的能力，并在復述、檢查中得到反饋，進而促使他們自主判斷、加深理解。

2. 數學理解是認知與情感的共同活動

李吉林老師創立的“情境教育”特別重視情感的作用。她認為應該“擇美構境，境美生情，以情啟智，把情感活動與認知活動結合起來，引導兒童在境中學、思、行、冶。” 數學理解的過程也應發生在“有情之境”中，通過教師的鼓勵或誘導，激發學生憤悱的學習熱情，構建一個蓬勃積極、有情有境的心理場，在師生互相聯動、相互感染的學習情境下，向著理解的目標共同前進。

美國課程研究專家格蘭特·威金斯和杰伊·麥克泰在《追求理解的教學設計》一書中出了理解的六個側面： 解釋、闡明、應用、洞察、神入、自知。 數學理解除了要有“解釋、闡明、應用”這些知識層面的技能、方法，也應該包含“洞察、神入、自知”這些情感層面的因素。在學習的過程中，我們應該鼓勵學生站在別人的立場上， 分析他人的想法，肯定他人的亮點，包容不同的觀點， 也要提出富有批判性的的意見，從多個角度發表獨特且深刻的觀點。學生也要有機會對自己的學習進行回顧和反思。教師應留給學生思考的時間，讓學生在“我是如何想的？”“這里用了哪些數學思想、方法、技巧？”“ 我能提出哪些問題？”這些問題中反思自己的理解過程，提升理解的層次。

3. 在真實情境中理解

小學階段的學生習慣從熟悉的事物中獲取數學知識，在理解的過程中逐步建立起具體形象與數學表達之間的聯系。如果具體事物或者具體事件來源于學生熟悉的真實情境，就能促使學生更好地構建心理表象，從而生成數學理解。學生在真實的情境中把發現的問題數學化，再到數學的世界中規律化，最后還運用到現實世界中，這就是數學理解的過程。《義務教育課程標準（2022年版）》中指出：“引導學生在真實情境中發現問題和提出問題，……促進學生理解和掌握數學的基礎知識和基本技能……” 加德納認為：“要檢驗理解，不是讓學生重述所學內容，也不是看實踐行為。確切地說，要看是否能夠將相應的概念或原理應用到新的問題情境之中……” 國內也有學者指出：“學生的數學理解，通常是從外在形式認識事物開始，構建初步的心理表象，在逐漸深入認識事物屬性特征的過程中，修改相關數學知識的表象，逐層遞進、反復地提高水平，逐漸使心理表現一致于數學知識本身，直至數學知識的形式化表達。”

正因為數學學習與理解過程中的情感既包含了感性的學習熱情，也蘊含了理性的思考情智。所以在真實的情境中開展學習，才能更好地激發學生的積極情感和數學思考，更有利于實現認知與情感的協調統一。

二、把握情境特征 滋養數學理解

1.真實的情境應該是適合具身認知的

具身認知理論認為心智的發展必須借助身體的動作。心智是身體的心智，認知是身體的認知，身體是認識的主體。認知不僅僅只是大腦的活動，而是大腦、身體、學習情境互相交互的產物。身體在塑造精神的過程中扮演著一個具有構成性影響的特別角色。 在教學中要將數學知識轉化為學生的數學理解，既需要學生全身心的參與，也不可能脫離真實的情境，是一個“身心一體”的認識過程。

我們接受的信息來自于5個不同的感官——視覺、聽覺、味覺、嗅覺、觸覺，在教育的情境中，我們應該重視身體和生理的體驗，要把除了視覺與聽覺之外的其它感官也運用起來，特別是觸覺。嬰幼兒在學習數字時，大人總是會拿著具體數量的物品，比如用3塊積木、3個玩具告訴孩子這是“3”。但是到了小學數學的課堂上，學生卻缺少了很多操作、擺弄、動手實驗的機會。蘇教版一年級上冊有這樣一道圖文題：五只猴子倒掛金鉤在撈水中的月亮，問題是：戴帽子的是第幾只猴？低年級的老師也常會用這樣一個數學問題來試探學生的數學思維水平：“假如你正在排隊做操，你的前面有3個小朋友，后面有4個，你們這一隊一共有幾個小朋友？”這兩道題都和“順序”有關。在教學的過程中，與其讓孩子通過描述、想象的思維活動來思考，還不如依照實境具身的方式，讓學生實際演一演，在具身認知的學習視角下，提高了學生參與參與數學活動的興趣，促進了學生對于序數概念的理解。

對于小學中高年級的學生同樣如此。如果僅僅通過文字的描述，就告訴學生“10個一百是一千”、“長方體和正方體都有6個面、8個頂點、12條棱”，學生就缺少了知識與實體世界的聯系，不會產生身體與思維的動態交互。反之，如果我們在數學課堂上，給學生小棒、黃豆等實物，通過10捆100根的小棒、通過10盒100粒的黃豆等來感知1000，學生對“千”這個計數單位的理解會與真實世界更加緊密，才“能夠在真實情境中理解數的意義” ，也更有利于學生發展從真實世界中獲取數學知識的能力。在學習長、正方體時，通過對真實的長、正方體及其框架開展觀察與對比、把紙盒展開等操作與研究，學生才能產生超越記憶的理解。

有一項心理學研究發現，大腦當中存在“鏡像神經元”，當自己做出動作或者看到別人做出相同的動作時，這個神經元都會被刺激。 也就是說，當看到別人的動作時，自己也會想象、感覺這樣的動作，并產生興奮。這也可以理解，為什么我們的課堂當中，幾個學生上臺展示（或者參與數學游戲、活動）時，下面的學生同樣很興奮。比如在蘇教版四年級上冊“確定位置”一課的教學時，教師設計了一個坦克發射炮彈打擊某個位置的游戲，下面觀察的學生與臺上操作電腦的學生同樣的緊張、雀躍、欣喜。現在很多教室里運用了希沃多媒體白板，當指定的學生參與希沃白板的PK游戲時，全班學生同樣表現得十分積極。

2.真實的情境應該是飽含真實情感的

在強調課程育人，重視立德樹人的教育背景下，教師不僅要作為學生知識的引路人，更要做好學生情感的引導者，創設具有豐富情感的真實情境，以情激情，以情啟智，激發學生學習的熱情，同時用數學獨有的學科特質，喚醒學生的的嚴謹、理性、堅韌的數學品格。

《情境影響力》的作者薩姆·薩默斯在書中舉了一位“人群秘語者”的例子。一位體育比賽的DJ，通過呼號、節奏、誦念來點燃觀眾的熱情，他把自己比作“交響樂團的指揮”。 在我們的課堂中，教師理所當然地要充當指揮這一角色。要使課堂情境更吸引學生的投入、更有利于理解的發生和發展，教師必須投入自己的真情實感，促使學生進入“憤悱”的學習狀態。華應龍老師在課堂上，總是用發自內心的笑容與爽朗的笑聲表達情感并鼓勵學生；不少老師鼓勵學生用響亮的掌聲回應精彩的課堂表現；有些班級把“你真棒！”訓練成為夸獎某位學生的口號。這些行為就是在激發學生的學習熱情，激勵學生更主動積極地投入到課堂情境中去。有些時候，只需要有幾個甚至一個學習者的精彩表現，就會啟動更多的學生期待自己也有精彩的表現。就如這位“秘語者”所說：“身處群體之中，一旦有一個人行動了起來，就會具有傳染性，好像每個人都在等待歡呼的許可。”

源自東方文化和智慧的“情境教育”一開始就特別重視師生情感的互動和作用，強調“認識與情感的結合”、“以情啟智”，在課堂教學中重視以情為紐帶，以思為核心，既突出“情切”，又講究“理寓其中”，讓兒童在積極情感的驅動下學習，引導兒童在情境中學、思、行、冶。 教師和兒童的言語交流、思維碰撞和情感互動構成了學習的整體。

豐富的情感還包含了數學學科特有的思想和態度。在教學設計之時，我們就要分析知識可承載的情感、態度及價值觀，以追求數學理解為核心，以真實情境為載體，教師要引導學生在研究的過程中產生良好態度，體驗積極情感，提升數學學科特有的嚴謹邏輯和理性精神，建構并發展數學理解。在《認識圓》一課中，教師通過古往今來各種圓的表象，激發學生來探索圓中蘊含的“一中同長”的道理，理解圓為什么被稱為“世界上最美的圖形”。在小數的計算中，教師用俄羅斯宇航局因為小數點的失誤而導致的一次航天事故的例子，引導學生在悲憤之情中產生要嚴謹計算各類數據的情感。

真實的情境一定是飽含真情的，是能讓老師和學生都感到興奮的、幸福的。在這樣的情境中，老師對孩子個人的關心一定遠遠超過對學習效果的關心，除了要關注布魯姆的認知目標分類要達到的層次，更會關注馬斯洛的人類需求動機。這樣的真實情境已經不只是一種教學手段，也不只是一種知識的載體，而是在真實情境中將知識的學習、能力的發展、與情感的凝練、觀念的建構融為一體，是一種綜合的場域。這樣才能實現“孩子的幸福感和學習能力的結合，能夠產生1+1大于2的疊加效果。”

3.真實的情境應該是具有復雜任務的

研究表明，太難的學習任務會讓學生感到挫敗，最能激發學生而且對學業最有幫助的，是那些富有挑戰性但又不至于讓學生感到束手無策的任務。 因此“復雜”指的是任務的設計和過程，而不是任務的難度水平。從設計者的角度來看，復雜的任務，是指在真實情境中既要包含多重的目標，也要具有多樣的意義組塊，并能產生多元的學習結果的學習任務，大多數學生通過努力都能完成。從學習者的角度來看，這些任務需要他們進行多方面的活動和深層次的思考，需要花費較長的時間和一定的協作。

美國課程設計專家威金斯和麥克泰格認為真正的真實情境任務必須具備以下特征：真實性，要在現實或模擬現實中面臨混亂復雜的真實問題情境；創新性，不是僅僅重復教師傳授的內容，而是要在分析問題之后，依據顯示情況制定一個解決方案；綜合性，需要綜合運用多項知識、技能和策略（如問題分析能力、人際溝通能力、信息篩選能力、協同合作能力）解決復雜問題；反饋性，要能讓學生通過老師給出的評估反饋，發現自己的不做并加以完善。他們還開發了設計的設計工具“GRASPS”，包含了以下要素：G（目標）、R（角色）、A（對象）、S（情境）、P（成果）、S（標準）。

隨著時代的發展和進步，我們要相信現在孩子的能力遠遠超過我們的預期。給他們提供合宜、真實的情境，以評價為導向，以任務為驅動，設計好數學活動，讓他們把最真實的一面表現出來。比如以蘇教版六年級上冊百分數單元為載體設計的“跳蚤市場”活動，就可以結合核心概念，在創設的真實情境中，開展紙筆、言語表達、合作交流、實踐與操作、情感與態度等多維度、多層次的探究學習活動，促進兒童多元智能的發展、問題解決能力的提升、合作意識的優化以及創造性思維的加強。

蘇教版四年級下冊有一個數學活動《數字與信息》，主要目的是讓學生體會到數字編碼在社會生活中的應用和作用。在教學活動中，我們除了要讓學生理解不同編碼的含義，還應該基于真實情境設計一些較復雜的任務，幫助學生進一步提升對編碼的數學理解。比如對汽車車牌的設計：每一輛汽車都有自己的身份證一一車牌，車牌通常由文字、字母和數字組成，請分析這樣組合的特定含義和規則，并推理說明：隨著科技發展汽車數量的不斷增加，車牌編碼的規則是否能滿足汽車數量的增加。通過分析車牌編碼的規則、了解車牌編碼規則的元素表示的意思等任務來理解車牌所表示的信息，再計算編碼中的五位字符共可編多少中不同的車牌、調查本市近幾年增加的汽車數量來預測車牌夠不夠用、是否需要增加新的編碼等實際問題。這樣的任務來源于真實生活，反映了社會發展變化過程中對數學理解的需求，在完成任務的過程中，學生對數字、編碼、含義等理解都更加深入了。

4.真實的情境應該是體現社會合作的

真實的情境同樣離不開人與人之間的互動與合作。在真實的情境下學習，不僅要關注學習者與情境、與學習活動之間的關系，也要關注學習者與學習者之間的關系、學習者與學習共同體之間的關系——這樣學習者的身份逐漸變成參與者、發現者、創造者。 美國人類學家萊夫把“合法的邊緣性參與”看做是情境學習的核心特征。“合法的邊緣性參與”是指學習或實踐共同體不是簡單、松散的學習組織，而是要讓每一個學習者都能主動積極地參與共同體的學習活動，并且要求組織者應該引導成員從邊緣參與走向“充分參與”。如果借用“合法的邊緣性參與”的概念來理解真實情境，這里的真實不僅僅指真實的世界或接近真實的世界，而且包含了參與者的真實參與、學習活動的真實發生。因此我們在理解“真實情境”時，同樣不應該簡單理解為“情境活動”、“在情境中學習”等，而應該重視每一位參與者在情境活動中從旁觀到同伴到實踐到示范到引領這樣的情境學習脈絡。例如，在數學實踐活動“大樹有多高”中，學生必須要借助同伴合作的力量，分工完成數據的測量收集、工具的選擇與操作、紙筆的計算與檢驗等活動。每個人能否合理地分工、能否正確地認識自己的角色并理解自己的任務、能否準確地應用數學的規律最終解決問題，成為了評價社會合作方面的重要參考。

很多在真實情境中的社會合作研究可以給我們的教學帶來啟示。一項研究表明，責任感和義務感會在群體中擴散，同樣的，推諉與不作為也會成為一個群體在合作過程中的普遍現象，群體的人數越多，推諉與不作為的概率越大。 因此，在體現社會合作的真實情境中，教育者必須設計、安排好每一位學習者的任務。比如，小組合作不是亂哄哄的隨意發言，在小組合作交流時可以使用一塊發言牌，發言者手持發言牌，其他人認真聆聽，發言者講完再把發言牌傳遞給下一位發言的學習者，讓每一位學習者都有發表簡介的機會。組長負責整理并記錄下所有有見地的發言，期待在全班的交流中匯報。在互相合作、勁兒往一處使的社會化學習的情境中，學生學習的“向量”會統一朝著正方向延伸。如果我們的學習情境是虛偽的、脫離學生實際的、表演的，學生只會沉默地等著有人來站出來單獨承擔壓力，從而逃避應該在群體中的責任。

美國一個行為科學研究小組通過“韋斯特蓋特”（Westgate）研究發現，人們更容易與住在附近的鄰居成為朋友，住的越近，就越有可能成為朋友。并且他們的公寓之間的距離每增加5.8米，建立起親密友誼的可能性就減少了近一半。這樣的研究結論對社會化合作學習有很大的啟示。在我們的社會化學習中，孩子們除了跟固定的小組成員一起活動，還應該盡量與更大范圍的同學展開互動。比如在一開始，我們的學習小組人數控制在2～4人，在需要更多合作時，再把不同的小組進行合并，例如把教室前面的小組與最后面的小組合并，不同的課堂讓不同的學生組成學習小組，爭取有更多的孩子能在一起討論問題、解決問題，從而產生更多思維的碰撞，對數學理解的提升也會具有更加積極的影響，同時還能提升同學之間的熟悉程度與親密關系，對整個班級的學習也會有所幫助。

情境是途徑，知識是載體，理解是目標。在目標驅動和評價導向的教育背景下，確定理解目標、創設真實情境，有利于發展數學理解，同時基于學生的數學理解優化下一步的教學情境，進而又可以提升理解目標。“情境理解”的課堂應該在理解目標的驅動下，確定合適的評估證據，創設合宜的情境，開發恰當的任務，采用一種“逆向設計”的方向，在真實情境中通過完成理解任務，獲得數學理解能力的建構和核心素養的提升。

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