指向概念性理解的數學單元學習群設計策略

莊惠芬

摘 ? ?要：基于兒童數學概念理解的現狀，需要分析厘定數學概念內在的脈絡，而數學單元學習群可以通過大觀念、大問題、大任務的建立，在以概念理解為本的單元學習目標設計、以概念進階為路線的單元活動設計、以概念結構為框架的單元學習支架、以概念遷移為結果的單元學習評價四個維度為路徑，促進兒童數學概念性理解、促進素養的發展。

關 鍵 詞：方程 ?概念性理解 ?數學單元學習群

此文為全國教育科學“十三五”規劃2020年度教育部重點課題“指向學科核心素養的數學單元學習群的實踐研究” （DHA200373）的階段性成果

數學概念是對一類對象本質屬性的表達，也是兒童數學思維發展的重要載體，兒童數學學習是否順暢，很多時候是從是否能清楚地理解數學概念開始的。在“簡易方程”是的學習過程中，我們發現學生普遍出現“不想用方程解”“不會找等量關系”“不知設誰是未知數”等問題。數學概念形成的思維過程在于對數學對象充分感知的基礎上能通過比較、分析、歸納得出它們的共同屬性。而數學單元學習群的建立，通過結構化的知識、系統性的思維、體系化的眼光，能從碎片的數學知識中梳理出概念的脈絡，促進兒童對數學的概念性理解。數學單元學習群為載體，把握數學學科的本質，形成具有學科中心地位、廣泛的實用性和解釋力的概念模型；并能將這樣的概念模型作用于新的問題情境，形成可遷移的應用價值。本文就以小學數學五年級“方程”單元為例談一談：

一、觀念統領：以概念性理解為本的單元目標設計

現有“簡易方程”教材編制中存在一定的內在缺陷，學段之間的銜接、之間知識的融通、以及教材生成兒童的思維定勢導致數學學習的難點。為了突破難點，我們采用數學大觀念統領，數學大觀念不是簡單知識的堆砌，是立足于概念內核基礎上的重新架構，以少而精的觀念促使學生達成對于數學學科的深度理解①。

（一）確立單元具體觀念

單元具體觀念依據本單元內容的核心本質，指向的是學生的理解和遷移，是單元教學設計的靈魂。在“方程”這一單元中，我們確定單元具體觀念，上位的觀念為培養學生的符號意識、函數思想、數學建模等數學思想；中位的觀念為在探索現實世界的數量關系的過程中，感受等號既可以表示結果又可以表示等價關系，積累將等量關系符號化的活動經驗；在表達等量關系的過程中，通過生生和師生交流、評價，初步發展代數思維；下位具體觀念為學生體會用字母表示數與關系，且體會其需要與必要性；能夠借助生活情境中的故事中找出等量關系、并且能用方程表達關系；借助天平秤的平衡原理理解等式性質、學會解方程。從三位視角確定本單元的大觀念，大觀念有著中心地位，是數學學科之核心，同時也可遷移，大觀念具有在新情境下的遷移價值、對后續的學習也有著更持久的影響，內化到兒童的認知結構中。

（二）設計單元核心問題

單元的核心問題一定是圍繞著單元具體觀念制定的，核心問題能夠引領兒童探究學習內容的本質，在探究活動中體悟數學思想方法，在反思回顧整理中涵育數學思維方式，在過程的探索中積累數學活動經驗。一方面第一學段的小學生基本運用算術方法解決實際問題，學習方程時基本上是第一次接觸代數思想；另一方面，小學階段方程的學習效度需要為中學的方程學習銜接做好準備。我們把這一單元的核心問題設為：你能用字母表示事物之間的關系嗎？方程到底有怎樣的意義和價值呢？你會通過事物之間建立等量關系來解決實際問題嗎？如何有需要并建立方程體會方程的優越性？你會用方程解決生活中較為復雜的實際問題嗎？等等作為單元核心問題。

（三）制定學習任務目標

單元任務序列要對應單元核心問題，同時也指向單元具體觀念，以保證學習任務的目標指向內容的本質，指向學生的素養的發展。在“簡易方程”這一單元學習中我們圍繞“關系建構”這一本質屬性設計了三個大任務：我能用字母表示事物間的關系、我能找出天平秤里的等量關系、我能在生活場景中找到等量關系；三大任務立足“關系”聚焦概念本質，指向兒童理解方程的意義和本質，使兒童的思維和能力得到發展。在三大任務驅動中形成圍繞學習目標形成具體的任務：我會用字母可以表示任意數、一類數、數量關系、特定的未知數等等，我會通過不同情境中尋找等量關系理解方程的意義、我會借助天平秤探究等式的性質，我會用方程解決問題。

數學大觀念不僅僅指向于某一個簡單知識，而是承載著數學知識、方法、思想與價值，并以統領思想、結構思維形成了模型，并成為落實數學素養的重要橋梁。數學單元學習群的教學設計與實施是基于單元具體觀念的，而核心觀念又是與核心問題密切關聯的，核心問題要緊扣學習內容的核心本質，與單元的具體觀念對接。

二、梳理圖譜：以概念進階為路線的單元活動設計

對簡易方程的理解程度直接影響小學后一階段方程的學習，甚至更大程度影響著學生今后關于方程與函數間的區分、認識與理解。因此我們很有必要關注教材的編排邏輯和學生認知斷層，通過對不同版本教材研究，重新設置例題的教學方式、內容呈現以及編排容量。

（一）以教材比對厘定概念的內在脈絡

“天平”是否反應方程的本質？“用字母表示未知數”這一定義是否表達的是方程的本質？這些問題如何突破，從不同版本教材比對切入，從知識點的分布、方程概念的引入方式、以及建立起來的模型結構，以及解方程依據和列方程解決實際問題的編排，對比分析、類化整理，讓我們對簡易方程的概念的脈絡有了清晰的認識。

通過對比，可以取長補短，從等量關系引入作為方程概念的本質屬性，同時對“用字母表示數”與“認識方程”板塊重組，在用字母表示數中降低學習起點，不把函數或對應關系作為教學材料；強化學習重點，整體推進用字母表示一步運算和兩級運算的數量關系，融入常見數量關系的代數式訓練；在“認識方程”中利用不變量理解等量關系、重視等量題組情境變式、以等量關系作為建立方程概念的主要線索。

（二）以思維線索驅動概念的進階過程。

對于方程的概念性理解，從“含有未知數的等式”這一形式化定義拓展為“方程表示已知數與未知數的等量關系”。把等量關系作為方程概念理解的核心，真正把兒童的方程思維在真實的情境中得到激發，凸顯方程的價值與意義。對方程的概念理解，從找未知數開始，再到如何在已知數未知數之間建立聯系，突出“找等量關系”這一核心要素。在這個基礎上，讓孩子比較不同情境背后等量關系的邏輯線索，然后抽象概括，剝離情境之后概括出方程的意義，建立了方程的模型，其中包含兩條思維線索交融推進：一是讓學生經歷“設未知數——找等量關系——列出方程”的這樣的模型建構過程，二是讓學生在方程建模過程經歷了觀察、分析、比較、歸納、概括、建模等數學化過程，實現了從形式到內涵的第二次嬗變，促進了學生數學高階思維的發展②。

（三）以認知匹配深化概念的本質理解。

兒童在“方程”單元學習過程中存在的學習障礙，主要來自于受算術思維定勢過深、列方程局限在一種形式化的模仿，缺少整體的建模意識。學生對于方程認識基于表層，并未感受到方程的出現是基于解決問題。以及解方程的程序繁瑣、容易出錯，利用方程解決問題的優越性不明顯，很難構建與新內容相匹配的認知圖式。究其原因，從兩個學段的編排來看，第一學段少方程思想，多算術思想與逆向思維、數學教學沒有對方程做好鋪墊，扼殺了學生早期代數的萌芽；第二學段從逆向思維到順向適應度不夠，初學方程比較簡單用算術容易；造成學生對方程的學習動機不高，興趣也不大，逆向向順向轉化不適應。不注重建模與方程思想，讓學生會列、會解方程就行，教師的解方程教學時規則過多，使學生感受不到方程妙處，反而認為求解方程既繁瑣又易錯。為了促進兒童的認知匹配，采用第一學段提前孕伏，在算術與代數的割裂處補上天橋；第二學段基于兒童的認知基礎，叩問方程本質，創造性使用教材。

三、貫通思想：以概念結構為框架的單元學習支架

數學的單元學習群是圍繞基本概念而進行的，以幫助學生建構概念模型的思維發展，使兒童獲得主要概念的本質屬性和概念性觀念，從而發展兒童對概念的理解力為目標的教學，用貫通的思想采用縱向和橫向的學習支架策略建立概念框架。

（一）縱向貫通策略

數學知識點之間往往有縱向關系，如果這樣的縱向關系更需要和兒童的經驗聯結，與數學概念理解的差異性相貫通。

1.從兒童經驗與概念之間的差異中確定認識線索。

分析學生已有的認知經驗與所要理解的“方程”概念之間的差異，兒童已有經驗算術法是倒推著尋找線索，獲得一個小結論再進一步倒推直到獲取真相。方程概念是順著事件的發展順序去梳理線索，找到線索之間的相互關聯獲得前因后果。在求方程的解的過程又是一個體現了逆運算的過程。在分析學生的已有認識中，進一步聯系學生已有的知識經驗與對數學概念的理解之間差異，在對比中不一樣的體驗：比如區分“式”“等式”，厘清“量”“等量”，先要幫助學生建立“等量”的概念，之后建立“等式”概念。如此調整認知、建構并理解概念的機會，以對學生前期經驗的了解和認知線索的設計為基礎，教師提取出基本問題推動教學，為學生提供調整認知、建構并理解概念的機會，數學概念需要設計層層遞進的認知線索以促進理解。

2.在數學問題與學習活動的對應中順應思維過程。

兒童對數學概念的深化理解，需要順應兒童的認知過程、思維方式并產生積極的反應，在對現實情境中問題探索中深化概念理解。五年級上冊教材中經過版本比較，蘇教版教材編排中對于“用字母表示數”內容全面，但是對于特定的未知數的認識不夠深入，因此增加此內容方能與方程概念認識奠定基礎；對于“等式性質”“解方程”和“列方程解決問題”的內容編排相對比較單一化，調整增加等式兩邊均有未知數的內容，滲透消元、守恒思想。因此“等式必須基于等量關系”，不僅要認識方程“形”，還要領會方程之“神”，才能形成對方程的本質認識，進入學科認知體系，通過算術思維與代數思維對比，體會代數思維的優越性。總體上而言，在設計這些問題的時候要注意幫助學生經歷檢驗原有觀念、拓展經驗、形成新的觀念的過程，從而促進學生對概念的真正理解。

因此

（二）橫向貫通策略

概念的知識點之間往往有縱向關系，概念還需要揭示知識之間的橫向關系。

對數學概念橫向貫通策略主要體現三個維度：

一是“概念核”的析取。在一個概念系統中，有一些概念處于核心位置，在“簡易方程”中“等量關系”就是概念核心，重視等量題組情境的變化，以等量關系作為建立方程概念的主要線索，在已知數和未知數之間建立等量關系，突出代數“還原”和“對消”的本質，依據等式性質擴展“兩邊含有未知數”的解方程技能，為列方程解決問題掃清障礙。二是“概念體”的結構。概念系統的結構性分析，其中包括概念系統的成分及其組織方式③。在簡易方程概念模式中，強化“用字母表示特定未知數”的意義理解，整體推進用字母表示一步運算和兩級運算的數量關系，進一步融入常見數量關系的代數式訓練。三是“概念域”的框架。利用概念域這種框架，對相互聯系的概念的獲得分別地進行研究，如用字母表示運算定律、平面圖形面積和周長公式，這樣處理不能很好地突出“用字母表示特定未知數”的教學重心；如一些學生列方程解決問題時不會設定未知數或設定未知數有困難，其根源就在于前期學習“用字母表示數”時缺乏對未知量識別必要訓練，將學生引入一定的概念框架中的某個節點。

四、相似模塊：以概念遷移為結果的單元學習評價

數學單元學習群的評價是長在教-學-評一致性的貫通鏈條上，單元學習群是否有成效，取決于評價的逆向設計，取決于是否讓兒童在數學學習中更好的形成自己認知的、方法的、思想的相似模塊，讓學習的概念系統能遷移、能舉一反三。數學素養評價框架可分為“內容維度”“過程維度”“情境維度”，抓住課堂評價的關鍵因素是：課堂活動為介質、目標達成檢驗為環節、在場性評價為方式，真正實現優化學習的評價和促進學生學習的評價。

（一）情境維度：運用好“課堂活動”的評價介質

在“簡易方程”單元目標的指引下，先進行目標分類，再來編擬評價指標體系，將目標導向的達成評價融入到課堂學習的全過程，讓整個教學不偏離“簡易方程”的單元目標，讓嵌入評價植入在兒童書序學習活動中。學習評價必須以目標作為參考，比較學生學習的實際效果、人格發展與目標之間一致性程度。通過思維導圖、單元知識整理、核心素養的量規設計，確立方程的思想觀念，并能在目標制定、探究活動、練習設計與反思整理中形成自己的學習方式以及學習作品成果展示等等。在單元學習群活動路徑的新序列中，比如在用字母表示數維度，研究班學生在用字母表示數維度具有更強地進行字母參與運算的能力、具有更強的借助字母探索、表征規律的能力，能有效提高學生綜合運用方程相關知識能力。

（二）內容維度：把握好“素養目標”的檢驗指向

結構、聯系和遷移是大概念內涵的本質，單元學習群的評價尤其要強化對數學知識的本質理解，提煉出能打通數學知識之間的關聯，發揮核心作用的數學概念。由此確立合適的學習主題，我們對單元學習群學習與選取水平相當的班級作為參照，參照班用原教學序列展開，研究班采用新的單元學習群的教學序列進行對照研究，簡易方程評價的主題內容主要包括：用字母表示數中側重考查學生設定未知數、代入未知數并求值、以及字母參與運算等能力水平；解方程這一版塊中側重考查學生對等式性質的理解以及運用等式性質采用消元、對應等方式靈活求解方程；用方程解決實際問題側重考查學生設定未知數、尋找等量關系、解方程、以及解決實際問題的能力。通過圍繞“方程”數學學習主題的素養評價量規，形成脈絡清晰，條理分明，相互聯系的數學知識體系，通過單元學習群，使學生形成簡化的、本質的、內在邏輯性較強的數學基礎知識結構。

（三）過程維度：采用好“逆向設計”的評價方式

基于單元學習群的學習評價，需要設計指向關鍵能力的有意義的表現性評價任務，圍繞評價的目標要素貫穿在課堂評價的每一個環節，通過達成評價來觀察、分析、診斷、完善、優化，尋找實證性證據，通過對過程中搜集的信息判斷是否達成預設目標。以學習結果開啟的逆向設計，首先確定學生在本單元需要達成的學習結果（即簡易方程的意義、價值以及作用等等），其次確定了證明兒童達成學習目標可以評估的要素、量規和方式（聚焦本單元的內容為載體需要達成的關鍵能力與思維品質設計）；第三是設計相應的學習周期、情境活動和學習方法的設計；第四是通過學習記錄、思維可視化等方式呈現人人參與的表現性評價和結果性評價，最終指向的數學概念的可遷移性，實現概念性理解。

數學單元學習群的建構，學習活動是探究式的，它要求學生能主動發現問題、主動探究、交流和討論，從而獲得對數學概念性理解。在這一過程中，學生的數學概念、探究能力、思維品質、數學情感等的發展是同步的。讓兒童的數學學習從知識覆蓋到觀念統領，建立知識間的聯系促進新情境下的遷移。

參考文獻：

1.張丹、于國文，大觀念的研究評介——以數學學科為例〔J〕，比較教育學報，2020年2期，137-149；

2.吳恢鑾，沈美蓮，從表面感悟走向本質理解——《方程的意義》教學設計與解讀〔J〕，小學教學設計（數學），2017年1期，48-50；

3.鮑建生，周超，數學學習的心理基礎與過程[M]，上海教育出版社，2009年10月。

責任編輯：陳國慶