培養提問能力 發展推理意識
——“有關0的運算”教學實踐與思考

文|張國梅 俞 杰

與0 有關的運算，在人教版數學教材里，三年級及之前的學習中，學生就已多次遇到過。“一個數加（減）0 等于原數”“0 和任何數相乘都得0”“0 除以任何不是0 的數都得0”，這些結論（運算規則），借助具體情境的支撐，學生較容易接受和理解。但學習第三個結論時，學生心中是有疑問的：除數為什么要“任何不是0 的數”呢？

學生有這樣的疑問是好事情，是批判性思維的萌芽。但是，課堂上學生不見得有機會提出來，即使提出來，教師也往往會以“這是規定”或“以后你就會知道原因”等理由來應對，并再次強調“要記住，0 不能作除數”。

教師“屏蔽”學生的問題也并非沒有道理，因為學生的思維水平還未到合適時機，教材也是因為如此考慮，而將相關內容設置在了四年級下冊“四則運算”單元，且特意編制一道例題教學“有關0 的運算”。（如下圖）

該題對0 的四則運算作了集中呈現，并指出了“0 不能作除數”的兩個原因。仔細閱讀例題圖文后，我們意識到，這個例題是一個絕好的教學契機，既可激發學生提出有意義的數學問題，得到提問能力的培養，又可借此引發高質量的數學思考，獲得推理意識的發展。

為何該題會有如此功效？從圖中可見，與0 有關的結論，加減乘除中都有，且不止這四個。之前這些結論，都是單個單個學的，沒有相互比較的機會，而如今，四個結論一起呈現了，那么它們表述上的明顯差異，就一定會促使學生自覺地進行比較。比較之后，從差異處引發的豐富問題一定會自然產生，包括之前曾經疑惑過的“除數為什么不能是0”。要理解此結論，學生不能再依托生活情境來分析，而是要從數學的角度，借助被除數、除數、商之間的關系，運用假設法來反推出商的具體情況，這樣才能獲得深度理解。

【教學實踐】

一、教學引入

1.直接揭題，口算熱身

板書課題“有關0 的運算”，逐題板書題目，引導學生邊口算邊理解課題含義。

3+0=0+99=5-0=

17-0=4×0=0×7=

0÷4=0÷3=

2.回憶舊知，喚醒經驗

（1）經驗分享

師：同學們都算得非常快！那么做這些題目，你有什么經驗能介紹嗎？

根據學生回答，教師在算式右邊相對應位置，板貼逐條呈現學生的經驗：一個數加0 等于原數；一個數減0 等于原數；一個數乘0 等于0；0 除以一個不為0 的數等于0。

（2）原理解釋

師：為什么一個數加0 等于原數？

生1：0 表示沒有，所以加0還是原數。

生2：0 表示沒有，一個數減0，也就是沒減，當然也等于原數。

師：那為什么一個數乘0 等于0？你能不能選一個算式為例來說明？

生1：因為0 就是沒有，比如4×0 就是4 個0 相加，還是等于0。

生2：4×0 也可以想成0 個4，那也是等于0。

師：除法呢？

生：比如0÷4，表示0 個物體平均分成4 份，結果肯定還是0。

師：這些規則其實原來我們都已經學過，大家也明白這些規則背后的道理，這節課就讓我們更深入地來思考新的問題吧。

二、新知探索

1.學生提問

師：請同學們仔細觀察黑板上這四條運算規則和四組算式。關于0 的運算，你心中有沒有產生一些疑惑或者感興趣的問題？

生：為什么0 只能除以一個不為0 的數，而不能除以0 呢？

師：好問題！這位同學敢于質疑結論，對這句話中的關鍵詞提出了自己的疑問。

生：為什么是0 除以一個不為0 的數而不是一個不為0 的數除以0 呢？

師：你能舉個例子嗎？

生：比如說，0÷3 倒過來變成3÷0，這樣可以嗎？

師：能夠倒過來想，這是逆向思維，非常棒！

師：有的同學對結論提出質疑，有的同學從算式里面發現問題。有了問題，我們就有了研究的方向，接下來讓我們一起來研究這些問題吧。

2.探究釋疑

（1）研究3÷0

①猜想結果

讓學生猜測計算結果，大部分同學認為是0，也有認為是3，或者認為算式不成立，沒有答案。

②自主探究

組織學生根據各自的結果，畫一畫、寫一寫，想辦法說明。

③匯報方法

生1：有0 元錢，要平均分給3 個人，每人分到0 元，所以答案是0。

生2：3÷0 就是把3 平均分成0 份，就是相當于不分，所以答案是3。

生3：3÷0 沒有答案，因為除法可以用乘法來解答，但是0 乘任何數都等于0，所以這道題沒有答案，算式不成立。

師：請大家討論一下，誰的理由正確，誰的理由不對呢？

生：第一位同學說“0 元錢平均分給3 個人，每人0 元”，如果按照他的意思，算式應該是0÷3而不是3÷0。

師：那么第二位同學的說法是不是就對了？

（有的學生認為對，但有的學生反對“3”這個答案，但是又覺得沒有反駁生2 的理由）

師：那我們一起做個小游戲，邊玩邊思考吧。

教師拿出3 支粉筆，請3 位同學協作表演。3 支粉筆，平均分給3 個人，3÷3，每人1 支；如果平均分給2 個人，3÷2，每人1 支半；如果分給1 個人，3÷1，可得3 支；最后，沒有人了……

師：如果沒有人，就根本無法分，更不存在每人拿到幾支的說法。所以，答案是3 是不對的。

師：那我們再來討論第三位同學的說法吧。贊成他觀點的同學能不能再來詳細說明一下？

學生上黑板寫了：3÷0=?。并解釋道“商乘除數等于被除數，?中不存在這樣的一個數，乘0后得3”。教師借助板書，將商和除數連線示意（強調“假設”），并寫出假設后進行思考的算式（如圖）。師生對話，引導其他學生看懂如此推理的過程，并請所有學生在本子上像這樣自己寫一寫、說一說。

師：的確，通過推理，我們發現找不到一個數乘0 等于3，所以3÷0 這個算式根本沒有答案，我們也可以說這個算式沒有意義。

（2）研究0÷0

①自主嘗試

師：現在我們來研究第二個問題。0÷0，你能不能借用剛才這樣的思考方法，先假設，再推理，試著研究研究。

學生探究，同桌交流。

②匯報展示

通過反饋，學生理解到此題的情況很特別：任何數乘0 都得0，所以這個算式的答案不唯一。

③教師引領

師：是的，一個除法算式，卻有無數個答案，結果不確定，那這樣的算式同樣沒有意義。

④歸納小結

教師引導學生回顧3÷0 和0÷0，使學生看到兩個算式“無意義”的不同情況，同時歸納提煉出“0不能作除數”。

三、課堂總結

回顧“發現和提出問題，分析和解決問題”的過程，強調“推理”的重要意義。再次引導學生提出新的問題，感受提問的價值，適度研討問題。

【課后思考】

非常簡單的數學內容，卻展現出了出人意料的教學效果。分析其原因，那就是課前所預想的“培養提問能力、發展推理意識”兩大素養目標的較好達成。

1.材料精設，點撥恰當

有意義的數學問題往往藏在現實或數學的情境中，需要學生以敏銳的眼光或個性的思維才能“看”出來。因此，設計好的學習情境，本質上是在訓練學生用“數學的眼光”發現問題的能力。在本課中，我們精心設計了學習材料（四組口算題、四條運算規則及其呈現方式），有意將很多可比較、可質疑、可聯想的元素蘊藏其中，以此“誘發”學生萌生批判性思維、創造性思維、發散性思維，自主發現有意義的數學問題。

學生發現了問題，還需要以勇氣和智慧，清晰準確地表達出問題（即提出問題）。對學生提問的回應，是提問能力培養的重要契機。在本課中，學生提出了好問題，教師并沒有止步，而是以一系列行為予以跟進：讓其他學生再來表述這個問題，以指向精準的評價語表揚學生的提問，用簡單的文字和符號記錄下問題，鼓勵學生再提其他的問題。這樣的做法，就是在點撥其他學生感受好問題的特征，引導更多學生明晰提問的方向和方法，大膽積極地提問。如此做法，使學生對提問方法獲得了深刻感悟，提問能力得到了切實提升。

2.過程合理，指導到位

發展小學生的推理意識，需要借助具體的推理活動，需要依托合適的學習過程和教師的精心指導。本課中學生所提的問題（主要是3÷0 和0÷0），都是富含推理元素的好素材，問題的解決直接指向推理意識的發展。但是，這兩個問題雖形式相似，內涵上卻有區別（一個是沒有答案，一個是有無數個答案），從推理的角度來說有難易之分。因此，課堂上有意設計成兩個過程：先是抽象度略低一點的3÷0，并且分兩個層次展開（先用以前的方法解釋，再用“假設”的方法分析）；再是抽象度更高的0÷0。如此過程，從“舊經驗說理→感受推理→運用推理”，學生的思維活動（推理）是真實發生、拾階而上的。

在兩次推理活動中，教師及時講解、示范和幫助，促使每一位學生真理解、能運用。如當學生提出3÷0=?來作解釋時，為讓更多學生進入這樣的思維模式，教師及時用板書將商和除數連線示意，強調“假設”并寫出假設后進行思考的算式；然后通過師生對話，引導其他學生看懂如此推理的過程，并請所有學生在本子上像這樣再寫一寫、說一說……正因為有如此到位的指導，所以當學生面對0÷0 時，他們就能夠自己開展清晰的推理并作出準確的解釋。學生推理意識的發展，也在這樣的學習活動中顯露無遺。

一個極簡單的教學內容，卻因內涵的彰顯而煥發亮麗色彩，這再次讓我們意識到：在新課程強調核心素養的背景下，我們要更深入地挖掘教材，更科學地設計教學，更好地服務于學生核心素養的發展。