數學可以畫嗎
——兼論“數學畫”教學的方法論依據和目標導向

文|陳 昱（特級教師） 何玉聰

“數學畫”教學研究項目自2014 年由安徽省合肥市陳昱名師工作室作為研究主題正式推進以來，不斷發展精進，也遇到并逐步解決了諸多問題，其中比較普遍的質疑是：數學是很抽象的，可以畫嗎？本文試圖從“數學畫”教學的方法論依據和目標導向兩個層面來回答這個問題。

一、數形結合思想是“數學畫”教學的方法論依據

數學是研究數量關系和空間形式的科學，具有高度的抽象性、邏輯的嚴謹性和應用的廣泛性；由皮亞杰認知發展階段理論可知，小學生受其年齡和認知發展水平的限制，抽象思維和邏輯思維能力尚在發展中，比較薄弱，常常在學習數學時遇到困難。即小學數學教學存在一對主要矛盾：一方面是小學生薄弱的抽象、邏輯思維能力，另一方面是數學學科高度的抽象性和邏輯的嚴謹性。因此，小學數學教學面臨著一個無法回避的核心問題：怎樣引導小學生學好數學？

經過長期的實踐探索，我們找到的解決路徑是回到數學的研究對象，研究“數”和“形”的相互關系，利用數形結合的思想方法，引導小學生用直觀之“形”表征抽象之“數”，或用精微之“數”闡明簡達之“形”，從而幫助他們理解數學概念、解決數學問題、發展數學思維等，實現由“數學畫”到“數學化”的自然而有效的過渡，讓小學生在數學學習中發展數學核心素養。

數學有兩個最古老、最基本的研究對象：數與形。在一定條件下，數與形能夠互相轉化，數形結合思想就是利用數與形之間這種對應關系和相互轉化來解決問題的思想方法。它的應用一般有兩種情況：一種是借助數的程序性、可操作性和精確性來闡釋形的一些性質；一種是借助形的幾何直觀性來闡釋一些概念或數之間的某種關系。即數形結合包括兩個方面：“以數解形”和“以形助數”，數學家華羅庚說過：“數形結合百般好，隔裂分家萬事休”。在小學數學所有領域的學習中，數形結合思想都有著十分廣泛的應用，主要涉及：利用“形”的直觀性作為工具輔助小學生理解并掌握知識和解決問題，運用代數或算術方法解決幾何問題、幾何概念模型和統計圖表，在小學滲透數軸和平面直角坐標系等。

數形結合思想從方法論角度為“數學畫”教學提供理論依據，并突出畫數學的理論支撐更多源于數學學科本質，并非數學與美術的融合，雖然“數學畫”教學也有跨學科融合。“數學畫”教學通過“畫概念”“畫計算”“畫思路”“畫結構”“畫繪本”五種課型的教學研究將數形結合思想應用到小學數學概念教學、計算教學、問題解決教學、復習或預習教學、綜合實踐教學等多領域，并在大單元整體教學視角下分課型梳理出教學策略。

當然，“數學畫”教學也會應用到數學多元表征理論，即：運用兩種或以上的不同的表現形式對某一數學研究對象進行言語視覺化呈現；“數學畫”教學也會涉及圖示法，比如有學者認為圖示法是利用幾何的點、線、面、體，不同色彩等要素將所研究對象的內部特征、體系結構、相互關系、對比情況等方面的內容，繪制成清晰明了、通俗易懂的圖形，用來說明所要研究對象的量與量之間的對比關系的一種方法。如果我們仔細思考，可以發現，數學多元表征是從認知心理學角度、圖示法是從教學法角度來分析的。筆者以為，正因為數學具有這樣的數形結合思想，所以數學教學才可以廣泛應用以圖像表征為主的多元表征和圖示法?？傊?，數形結合思想是“數學可以畫”的根本原因，也是“數學畫”教學的方法論依據。

二、數學育人是“數學畫”教學的目標導向

立德樹人是教育的根本任務，以數學育人則是小學數學教學的不懈追求，必然指向小學生數學核心素養的培育?！皵祵W畫”教學主要依靠學科內部的數形關系，也高度重視數學學科特征之一即廣泛的應用性，注重溝通數學與生活的聯系，以“畫數學”為主要載體，聚焦小學生數學核心素養培育，分課型、分階段地探索“數學畫”教學的有效途徑與策略。

有了如上數學育人的目標導向，針對“抽象的數學能畫嗎？”這個問題，“數學畫”教學目前做得最多的一件事是“以形象表征抽象”。

（一）“以形象表征抽象”的重要性

數學知識因其抽象性而不易理解，數學思維因其內隱性而不易把握，因此表征數學在數學學習中就顯得尤為重要，基于表征數學進而理解數學?？梢哉f，沒有對數學的表征，就沒有數學學習。

關于表征，有兩種情況：

1.布魯納的表征模式

布魯納認為兒童思維活動依賴外在刺激，且刺激的程度決定著兒童的心智成長。他用動作的、圖像的和符號的不同表征代表思維活動的三種程度，兒童以線性方式來獲得數學概念，他們順著動作表征發展到圖像表征，最終上升為抽象思考。處于動作表征階段的兒童思維需要借助實物的具體操作來完成；圖像表征是當具體的實物消失后，兒童能夠根據具體實物的影像在其頭腦里制作心像來進行的內在思維活動；能抽象思考的兒童則可以對數學符號直接進行思維操作。

此類表征模式強調學生的認知水平及與之相配套的數學學習的心理過程。例如，二年級學生學習兩位數加兩位數進位加法時，對于筆算算法的掌握和算理的理解，不是一開始就面對豎式，而是先擺小棒、撥珠子等學具操作，屬于動作表征；再畫圖記錄這樣的操作，一般是教師利用板書或課件動態完成，化動為靜，類似于圖像表征，輔助理解操作；最后用豎式記錄計算的過程，圖式對應引導學生理解豎式筆算，輔助學生進入符號表征，完成知識內化；還可以由學生畫圖來探究或表征算理（見圖1、2）。在這個過程中，畫圖是動手操作與數學符號之間的橋梁，有助于學生的數學學習，也就是從“數學畫”到“數學化”。

圖1

圖2

這種情況下，“以形象表征抽象”更多是“經形象到達抽象”。

2.萊什的表征模式

萊什修正了布魯納表征發展的線性方式，認為不同表征是平面網狀式的互動發展，數學學習有實際情境、圖像、操作、口語符號、文字符號等五種表征，提出在數學學習上可以用加強廣度來提升深度（如圖3）。

圖3

這種表征模式特別強調表征形式的多元并存和相互轉換。類似于上文提到的“數學多元表征”，更多是從數學理解的視角來看，不承認不同表征形式之間存在思維水平上的差異，認為每一種表征形式都可以反映不同的思維水平，它們具有同等價值。比如《負數的認識》這節課，就體現了萊什表征模式“強調各種表征之內和表征之間的轉換”的特點。課堂上，學生說一說生活中的負數及其意義，再動作演示（向左走若為正、向右走則為負等）負數的意義，畫圖表示負數，寫一寫負數……不同表征之間靈活切換；其中畫圖是重點活動，同樣的數“-3”，不同學生呈現不同的畫法（如圖4），圖像表征之內相互轉換。畫圖在此是多元表征中的一元，為學生的數學學習提供腳手架，助其思維外顯，從而使學習真實發生。

圖4

這種情況下，“以形象表征抽象”其實是“用形象理解抽象”。

（二）“以形象表征抽象”的可行性

數學教學的目標指向數學育人，指向培育數學核心素養。怎樣通過“數學畫”教學培育小學生的數學核心素養？一言以蔽之，還是“以形象表征抽象”。小學階段，常常需要從“形象”入手，經“形象”過渡到“抽象”，不僅達到數學化目的，還會超越“抽象”，達成“育人”目標。主要有以下幾點做法。

1.以“形象”順應兒童心理

小學生處于以形象思維為主、由形象思維漸漸發展到抽象邏輯思維的階段，“數學畫”活動與小學生喜歡“形象”的天性吻合，可以很好地激發和保持小學生數學學習的興趣。隨著年級的升高，“數學畫”活動的內容、形式和教學策略也會相應變化，簡單說，低年級聚焦“怎么畫”問題，重在畫法指導；中年級圍繞“怎么想”問題，偏向思維提升；高年級緊扣“怎么創”問題，側重創新能力培養?？v觀小學六年的“數學畫”學習，“畫圖”“思維”“創新”三個要素貫穿始終，只是不同學段側重點不一樣，在教學中教師需要明確“畫圖”只是一種手段，比“畫圖”更重要的是“思維”和“創新”，后者才是目的，是小學階段著重培育的數學核心素養。

2.以“形象”放慢學習過程

“畫數學”引導學生經歷知識形成或問題解決的過程，強調學生的學習參與是一種“再創造”和“做數學”，必然需要更多的時間。當我們從小學數學教學的整體視角審視“數學畫”教學，既需要堅持設計和實施放慢學習過程的“數學畫”活動，又需要合理規劃統籌安排“數學畫”活動的教學植入。概括地說，我們需要根據數學育人的目標要求，整體地、科學地設計“數學畫”教學，在這個意義上，“數學畫”學材的編著與使用應運而生。目前，學材2.0 版已經投入使用，以人教版數學教科書單元編寫體系為綱，植入相應的“數學畫”活動，整體規劃、全冊配套、螺旋設計，并在實施中不斷修訂。“數學畫”學材著力保障課程實施的有效性，也確保在必要的時候放慢過程，以實現小學生數學核心素養的培育。

3.以“形象”整合多元表征

就“畫圖”本身而言，也可以培養學生的畫圖素養：主動畫圖、善于畫圖和不惟畫圖。在這個意義上說，畫圖既是手段也是目的。主動畫圖是學生最終擁有畫圖輔助學習的自覺性、主動性；善于畫圖指學生具備畫圖的能力，想畫圖時就能畫合適的圖；不惟畫圖則是指不能囿于畫圖這一種策略和能力。

“畫圖”本身既有作為名詞的“圖畫”意，也有作為動詞的“畫圖”意，所以“畫數學”是圖畫表征和動作表征的合一；不惟畫圖意味著多元表征、多樣方法、多維能力中不僅僅強調畫圖（圖像）這一元、一樣、一維，而是等量齊觀，具體問題各有側重，合適就好；不惟畫圖也意味著“數學畫”的畫圖從來不是孤立的，“數學畫”以畫圖為主要表征手段，融合其他表征形式，構建多鏈接、多維度的網狀學習場域，最終指向育人目標。比如，五年級有一節《圖形變變變》的專題練習課，從長方形活動框引入，經歷“拉一拉、畫一畫、說一說、想一想、做一做、比一比”等多個關聯活動，既有學具操作、畫圖、測量、言語交流、符號記錄等多元表征，又有圍繞畫圖的“數學畫+”活動，比如基于畫圖的多次說圖、評圖活動。

從數學核心素養培育角度看，拋開針對“數學畫”作品的多樣活動不說，單就畫作本身而言，其所能承載的教育價值也是多方面的。比如圖5 是一幅“畫思路”的學生作品，不難看出其包含著如下核心素養的養成：數感，情境中數的理解、數量關系的直觀感悟和簡潔表達；量感，對線段長度的直觀感知；符號意識，運用符號表達和分析數量關系；運算能力，選擇合理簡潔的運算策略解決問題；幾何直觀，溝通數形聯系，建立數學問題的直觀模型，利用圖形來表達和分析現實情境與數學問題，探索問題解決思路；推理意識，從已知條件出發，通過簡單的歸納或者類比，猜想或者發現初步的結論……

圖5

如何讓小學生學習抽象的數學？比如，如何讓他們理解點、線、面等抽象概念？筆者以為最好的方法不是讓學生直接討論“點無大小、線無粗細、面無厚薄”，那樣只會適得其反，越說越糊涂；我們的做法是，用形象表征抽象，用有限表征無限，在學生認知能力范圍內增進理解、促進成長，在畫數學中學數學，以數學育人。我們的實踐表明，數學是能夠畫的，也是應該畫的。