“分數”那些事
——淺談數學新課標理念下的分數概念課教學

文|裴云姣

建構主義觀點認為：學生的學習是基于原有的知識經驗生成意義、構建理解的過程。因此，當學生遇到分數板塊的內容時，自然而然地會想到運用整數知識來進行解決。但是由于分數內容概念形式眾多、意義表達寬泛、應用聯系廣泛、概念表達與運算規律自成體系，學生很難借鑒整數的相關知識；同時由于很多小學教師本身對分數的相關知識理解不夠透徹，進一步造成了學生的學習困難，而分數板塊內容的學習障礙還會持續影響學生后續的小數、百分數等概念和知識的理解與學習。所以，深入學習《義務教育數學課程標準（2022 年版）》（以下簡稱“新課標”），深刻領會新課標強調的“體會數是對數量的抽象，感悟數的概念本質上的一致性”就顯得極為重要。

一、新課標要求的現有教材分數概念單元體系分析

新課標按“內容要求、學業要求、教學提示”三個方面呈現課程要求，表1 是分數板塊內容新課標要求以及在現有教材中的編排特點（以北師大版教材為例）。

表1

從表格中我們發現，學生初步認識分數的起點能力雖然是平均分，但在初步認識分數后，分數的意義及其內涵是今后伴隨學生學習分數相關知識的重要基礎，無論是分數的大小比較與分數運算，還是分數與其他知識的關聯應用，都需要以分數的意義作為學習的起點。

二、新課標下分數概念內涵的發展變化

隨著數學的運用與不斷發展，人們對分數本質的認識也越來越深，同時學生對分數的理解也是一個不斷發展的過程。學生在二年級就學過了物或者圖形的“平均分”，知道了平均分以后的“一份或者幾份”；三年級開始學習分數的初步認識，著重在于分數的符號表示、分數單位（初步認識）、大小比較（同分母）；到了五年級進一步理解并探索分數的意義、感悟計數單位、發展數感及熟練運算。分數定義中最常用的是以“部分與整體”引入，但是最為本質的應該是“除法”的定義，最能引起數概念一致性體會的當是“度量”（用計數單位去測量）的定義。

（一）部分與整體的定義（份數定義）

現行的小學數學教材中，部分與整體的定義是：把一個或多個物體看作一個整體（或整體“1”），平均分成幾份（m），表示其中的一份或是幾份（n）的數就叫分數。這個概念的好處是對于真分數的引入形象、直觀、易懂，但是在“假分數”的教學中會形成認知障礙。

（二）除法（商）的定義

商的定義是分數最為本質的定義：a、b兩個數（b≠0）相除的結果，如果整除就是整數，不能整除就是分數。在學生的前期認知中，平均分就意味著整數除法，而且是整除。因此從除法運算來引入分數概念，學生不僅易于接受，而且其他的分數“商不變性質”、分數運算等就較為容易理解與掌握。

（三）度量的定義

（四）比的定義

從比的定義來看分數：分數是兩個整數的比（值）。從“比的定義”來看分數，也能勾連起相關定義的聯系。比如“份數定義”中就是“部分與整體之比”；從“商的定義”來看，商本質上也是一種比，它可以表示“部分與整體之比”，也可以表示“部分與部分之比”，而且既然可以表示部分與部分之比，那么小于1、等于1、大于1 的分數均有可能出現。

三、分數概念學習的相關障礙及解決策略

隨著學習的不斷加深，分數概念的表現形式不斷增多，內涵與外延也不斷拓展，教師是否一定要引導學生從不同定義向嚴格定義過渡？分數作為一個數概念，與整數、小數作為數概念的一致性表現在哪里？分數作為一種數，既表示一個絕對的量，又表示一個相對的量（率），量率意義在概念教學中應如何把握？分數概念教學中要注意的關鍵問題又有哪些？

（一）概念教學要符合階段性、連續性和整體性相統一

概念教學過程要符合教師教學過程與學生學習過程的統一；符合兒童認知階段性與連續性的統一；使數學知識和技能的掌握與兒童的思維能力一致。因此，在分數的概念教學過程中，我們認為不必急于由不同定義而向嚴格定義（比如商的定義、度量定義）去統一，從學生思維發展的特點、階段性學習的特點來講，我們更應該注意幫助學生在不同時期從不同的角度去理解分數概念，并在后期努力實現不同概念之間的互補與整合。同時我們看到，從三年級到五年級，從“單個物體看作一個整體”到“多個物體看作一個整體”到“分數的相對性”以至到“分數單位”的形成，教材的這一編排特點，使學生所學的知識由淺入深、循序漸進，每個年級既重點突出，又注意前后聯系。這樣的編排有利于學生從分數整體知識結構上去把握知識內容，因為這樣的知識結構是螺旋上升且連續遞進而非斷裂的，學生在學習方法的形成上也不會“東一榔頭，西一棒槌”。

（二）深刻理解分數概念基于新課標表達的數概念的一致性

分數既然是一種數，它就天然具有數概念的本質屬性。分數與整數和小數一樣，都是對數量或數量關系的抽象，它們都可以從計數單位和計數單位個數的角度來認識。人們對整數的認識，從“1”開始，先有1，再有2，再有10、100、1000……這是計數單位累加的過程。對小數的認識也是同樣的道理，先有“1”，才有0.1、0.01、0.001……分數繼承了自然數、小數的特點，將“1”不斷細分，產生新的分數單位，分數單位累加得到分數，5 個就是。當然，作為一種新的數，分數有自己特有的符號化表示、寫法、讀法，概念的內涵和外延與整數、小數也不盡相同，這也是分數教學的難點所在，因此我們認為，分數概念的教學應該在把握數概念一致性的前提下，認真研究它所具有的特殊性（比如表達形式不同、分數的連續性與離散性問題、等值分數的計數單位并不相同、每一個分數參與運算時，所要細化的分數單位不盡相同，而且不是十進制的、面臨分數“量”“率”一體的問題、分數的相對性問題等等）。

（三）分數概念的“量”“率”屬性教學應該如何把握？

分數概念表達中無論是“量”（表示物體具體數量的多少）的意義還是“率”（表示部分是整體、一個量是另一個量的幾分之幾）的意義，都是分數意義的重要內涵，都是建構分數概念必不可少的環節?，F行教材的編排以及教師實際的教學基本上以“率的意義”為重點來認識分數的概念，強調部分占整體的幾分之幾，初學到的分數都是真分數（三年級的分數概念）；但是，當學生在五年級上學期認識假分數、帶分數時，解決“每人要分到幾張餅”的問題，卻需要讓學生以“量”的形式認識假分數、帶分數。學生對分數表示“率”的意義已經習以為常，對分數后面還能帶上單位表示不能接受。因此五年級的假分數、帶分數是學生學習分數概念的一個“攔路虎”。許多教師認為造成這一困境的原因：一是教材編排中一開始就著重強調“率”的意義，認識分數“量的意義”比重太少；二是分數概念“量”“率”問題本身自相矛盾，造成學生心中的二元對立，很難調和。怎么辦？張奠宙教授認為：在三年級的分數初步認識中，要先著重于分數“量”的功能，不要急于把學生引入到分數“率”的理解上。一塊蛋糕、一個蘋果平均分成3 份以后，應該說明是平均分成“3 份大小”，因此，分數概念表述為：將一個整體平均分成若干份，表示這樣一份或若干份“大小”的數叫作分數。這樣學生就能夠理解分數是一種“新的數”，有大小，可比較。這樣的表述易于與整數、整除聯系，因為不能整除，所以產生了一個新的數，我們稱之為分數，寫作，讀作三分之一。在后期則應該明確“商的定義”，分數就是兩個自然數相除（除數不為0），“份數定義”只是一個過渡，“比的定義”是“商的定義的延伸”，從這些概念出發，“率”的意義將會更加明顯。新課標則在分數板塊自始至終強調要感悟“計數單位”，因此從度量角度出發，從“計數單位”及計數單位個數累加來統整整數、小數、分數數概念的一致性教學，則是給與了分數概念產生的新的附著點與發展的生命力。

（四）在分數概念的教學中要強化可視化模型的作用

在分數概念教學過程中，可視化模型有助于學生在頭腦中建立起抽象模型而真正理解分數。

面積模型（紙片、大餅）?，F行教材運用的比較多的是面積模型，從初步認識的折紙到假分數的分大餅。一般來說，面積模型能夠很好地說明均分問題，在反映部分與整體及部分與部分關系時比較簡潔直觀，這種單一的模型在研究分數本質問題以及復雜分數問題時就顯得力不從心。

長度模型在幫助學生理解分數模型時非常重要。在利用度量方式（分數單位）詮釋分數概念時，它可以是具有度量單位的測量紙條（如圖1）。在解釋復雜的分數相對性時，它可以是規范的數線（如圖2），在數線上標注分數，學生能夠真正懂得分數是一個“數”，有大小、可比較；而且在數線上也能幫助學生直觀明了地理解分數的連續與離散性質；同時在數線上更能體會分數的相對性。即整體不同，分數值相同，得到的部分量就不同；整體不同，分數值不同，得到的部分量卻有可能相同。這一模型在現實教學中運用較少、強調不夠。

圖1

圖2

在集合模型中，要強調把所有的個體看作一個整體，且所有的個體都是集合的元素，地位均等一致。因此，子集可與全集相比較、子集可與子集相比較，也就能夠出現小于1、等于1、大于1 的分數。同時，集合模型從強化“均分”（分的一樣大?。┑姆诛灥郊夏Ｐ偷膫€體元素的地位均等，摒棄了集合元素外在的“顏色、大小、形狀”特點而聚焦集合元素的地位均等一致上，這樣就能更加深刻地理解“平均分”。比如：將一個班里所有的學生看作整體1（一個集合），那集合元素特征就是“具有班里學生的身份”，這樣“男女、高矮、胖瘦、長發短發、戴不戴眼鏡”就不是這個集合元素的特征量，但如果子集是“所有戴眼鏡的學生”，那“戴眼鏡”就是這個子集元素的特征量。當然，小學生在理解運用集合模型時會產生一些困難，但是集合模型能幫助他們在分數、比例以及眾多相關現實情境之間建立重要聯系。