基于函數關系研究函數圖象，促進學生深度學習

崔佳佳 王亞婷 范興亞

摘? 要：函數圖象是研究函數性質的基礎，基本初等函數的性質也是研究新函數的基礎. 通過代數推理研究函數性質，可以幫助學生發現新函數圖象的發展趨勢；通過描繪一些關鍵點，能夠幫助學生獲得新函數圖象. 以研究函數[y=ax+b][a≠0]為例，通過設置一系列逐層遞進的問題，分析函數解析式的特點，發現函數之間的關系，形成“結合性質畫函數圖象”的觀念，促進學生深度學習.

關鍵詞：函數關系；函數性質；函數圖象

基金項目：北京市教育學會“十四五”教育科研課題——大概念視角下初中函數單元教學實踐研究（ZXSXYB2021—025）.

作者簡介：崔佳佳（1977— ），女，高級教師，主要從事中學數學教育教學研究；

王亞婷（1996— ），女，二級教師，主要從事中學數學教學研究；

范興亞（1981— ），男，高級教師，主要從事數學教育及代數學研究.

函數是描述客觀世界中變量關系和規律的基本數學語言和工具，是初中階段的核心內容之一. 在對函數的研究中，函數圖象扮演著重要角色，往往通過觀察和分析函數圖象的特征得到函數的一些性質. 在教學中，學生習慣于通過列表、描點、連線來畫函數圖象，通過觀察函數圖象得出函數性質. 這種處理能發揮函數圖象的幾何直觀作用，但也會給學生造成一些負遷移. 一些學生會形成“有了函數圖象才有函數性質”“函數性質是由函數圖象得到的”等錯誤觀念. 因此，如何在教學中有意識地滲透從函數解析式的角度利用代數推理研究函數的性質，使得學生在積累了一定的知識后形成“結合性質畫函數圖象”的觀念，成為擺在我們面前的一個重要問題. 以下是基于函數關系的函數圖象教學實踐研究，以及產生的一些思考.

一、一節研究課引發的思考

在學習了二次函數的圖象和性質后，一位教師結合學生遇到的問題“[y=-x2+2x-1]是不是二次函數？”設計了一節研究課，開展對這類函數的研究. 筆者發現，當解決“如何得到函數[y=-x2+2x-1]的圖象？”這一問題時，大部分學生仍采用列表、描點、連線的方法畫圖象. 在教師的引導下，一部分學生關注到了該函數與已學過的函數之間有一定的聯系，如函數[y=ax2]就是函數[y=ax2]；還有一部分學生想到類比[y=-x-12=-x-12，? ?x≥0，-x+12，? ?x<0] 將函數[y=-x2+2x-1]轉化為分段函數，其圖象由兩個二次函數的部分圖象組成……在聽課過程中，隨著學生對函數[y=-x2+][2x-1]的研究的展開，筆者也產生了一些疑問.

疑問1：初中學生對畫函數圖象積累了哪些經驗？這些經驗是如何獲得的？

疑問2：采用列表、描點、連線的方法畫函數圖象時，學生如何確定應該選取哪些點？這有限個點是否具有代表性？有了這有限個點，學生如何連線？

疑問3：如果將圖象上的點密度加大，甚至使用畫圖軟件或圖形計算器直接畫出函數圖象，有什么優勢和弊端？

疑問4：在學習完一次函數、二次函數、反比例函數這三類函數之后，學生已經經歷了三次用列表、描點、連線的方法畫函數圖象并觀察圖象得到性質（由形到數）的過程，奠定了函數圖象是函數性質的基礎的觀念. 但是，學生對如何取點、如何連線及如何描述函數的性質還缺乏系統的經驗. 為了給高中階段后續學習打下堅實的基礎，有必要思考是否能通過分析函數性質“倒推”得出函數的大致圖象（由數得形）.

筆者認為，研究函數性質應強調數形結合，即綜合運用代數運算和函數圖象. 初中階段，學生主要通過函數圖象直觀得出函數性質的定性描述，是比較粗糙的. 高中階段，學生在圖象直觀的基礎上通過代數運算得到函數性質的定量刻畫，是更加準確的. 初中階段研究函數性質的基礎是圖象，但準確畫出圖象的大致特征是難點. 如果我們將列表、描點、連線作圖象的方法叫做基本描點作圖法，將利用函數性質倒推出函數圖象的方法叫做結合性質描點作圖法，顯然，畫出一次函數、二次函數圖象時，用基本描點作圖法一般需要描出多個點，而結合性質描點作圖法畫一次函數圖象只需描出兩個點，畫二次函數圖象可能只需要畫出頂點和圖象與坐標軸的交點等關鍵點，結合對稱性就能展示出函數圖象的大致特征.

基本描點作圖法是獲得一個函數圖象的基本方法，也是必備方法. 當學生第一次接觸某種基本初等函數時，因為知識有限，一般用基本描點作圖法就能得到函數的圖象. 這種方法的優勢是直觀，缺點是煩瑣，如果描繪的點不夠多可能會缺失圖象的一些關鍵點. 利用結合性質描點作圖法畫圖象，需要學生調動已學的函數知識，通過觀察函數解析式的特點，建立函數與已學函數之間的聯系，通過代數推理分析函數圖象的大致特征，進而數形結合地畫出函數圖象. 這種作圖方法的優勢是能快速、準確地表達關鍵信息，幫助學生調用、遷移已有函數學習經驗，發展學生的抽象能力和推理能力，為后續高中階段相關知識的學習打下良好的基礎. 其缺點是對學生的綜合能力要求較高，部分學生會有較大的認知負擔.

二、基于函數關系的函數圖象教學實踐

根據皮亞杰的建構主義理論，教學是激發學生建構知識的過程，是創設或者利用各種情境幫助學生利用先前習得的知識與已有的經驗，在當前情境中進行學習和認知. 結合性質描點作圖法并不一定要到九年級復習課或高中函數學習時才可以應用，實際上，我們可以在簡單的教學素材基礎上滲透該方法. 為了激發學生主動建構函數關系中的函數圖象的相關知識，筆者在講完一次函數的圖象和性質后，帶領學生對函數[y=ax+b][a≠0]進行研究. 本節課旨在通過創設研究一次絕對值函數的新情境，幫助學生利用已有的一次函數知識和經驗，在對函數[y=ax+b][a≠0]的研究中鞏固基本描點作圖法，主動建立一次絕對值函數與一次函數之間的聯系，掌握兩者之間的轉化方法，提升對函數圖象的認識. 具體的教學過程如下.

環節1：創設情境，引入新知.

教師通過提問引導學生回顧畫函數y = 2x的圖象的方法.

問題1：怎么畫函數y = 2x的圖象？

追問1：需要描幾個點呢？

追問2：為什么描兩個點就可以畫出它的圖象？

追問3：列表時，兩個點中有沒有特殊點？

師生活動：學生在回顧了正比例函數的圖象及性質后，畫出函數[y=2x]的圖象.

問題2：將解析式右邊的式子加上絕對值符號，得到了新的函數[y=2x]，它是一次函數嗎？為什么？

師生活動：教師引導學生嘗試從解析式和圖象兩個角度思考，并說明函數[y=2x]是否是一次函數.

【設計意圖】從學生熟悉的正比例函數y = 2x入手，引出新的研究對象——函數[y=2x]，在學生思維的最近發展區創設有認知沖突的情境，激發學生研究新函數的興趣.

環節2：調動經驗，探究新知.

活動1：研究函數[y=2x].

師生活動：學生獨立思考，嘗試畫出函數[y=2x]的圖象. 教師組織學生進行展示和評價交流.

一些學生利用基本描點作圖法畫函數[y=2x]的圖象，也有一些學生運用代數知識將[y=2x]轉化為[y=2x]和[y=-2x]，畫出兩條直線，但是忽略了轉化的前提條件在圖象中的體現. 教師組織學生相互評價、解釋說明. 有的學生認為，根據y的取值范圍，函數[y=2x]的圖象不應該在x軸的下方.

首先，教師引導學生嘗試從解析式的角度分析函數[y=2x]的性質，并將其轉化為函數圖象，使學生體會數形結合思想. 例如，當自變量取相反數時，得到的函數值相等，即其函數圖象關于y軸對稱.

其次，學生借助分析得到的函數性質和圖象特征改進自己所畫的圖象，并判斷得出函數[y=2x]不是一次函數，同時體會到[y=2x]與一次函數[y=2x]的關系緊密.

最后，師生共同總結函數[y=2x]及其圖象的性質.

【設計意圖】通過畫函數圖象認識函數是研究函數的基本思路，而基本描點作圖法是畫函數圖象的基本方法. 學習了一些基本初等函數后，除了直接用基本描點作圖法畫函數的圖象，還應關注新函數是否與已學函數有聯系，引導學生體會通過對解析式的分析得到函數及其圖象的一些特征，從而更快速、準確地畫出函數圖象. 通過評價交流，培養學生批判質疑的精神，提升學生的代數推理和數學表達能力.

活動2：研究函數[y=2x-1].

師生活動：學生借鑒從活動1中獲得的經驗，嘗試獨立畫出函數[y=2x-1]的圖象，之后交流成果，師生共同點評.

有的學生采用基本描點作圖法畫函數[y=2x-1]的圖象，但列表時x的取值都是整數，忽略了[x=12]這個關鍵值，連線時出現錯誤. 有的學生借鑒活動1的經驗，采用結合性質描點作圖法畫圖象，分別采用兩點法畫出函數[y=2x-1]和[y=-2x+1]的圖象，然后去掉x軸下方的部分，得到函數[y=2x-1]的圖象. 教師指出用不同方法畫圖象時的注意事項，幫助學生積累解決問題的經驗.

追問1：如何由函數[y=2x-1]的圖象得到函數[y=2x-1]的圖象？

師生活動：學生觀察這兩個函數的圖象，從圖象變換的角度建立兩個函數圖象間的聯系，并嘗試從絕對值運算、關于x軸對稱的點的特征的角度，數形結合地加以解釋和理解.

追問2：對比函數[y=2x]與函數[y=2x-1]的圖象，有什么相同點和不同點？

師生活動：學生觀察圖象，從形狀特征、最低點、對稱軸等角度進行概括.

【設計意圖】利用對函數[y=2x-1]的研究，引導學生主動將在活動1中獲得的經驗遷移至對新函數的研究中，鞏固基本描點作圖法和結合性質描點作圖法，指出兩種方法各自需要關注的要點. 在得到函數[y=2x-1]的圖象后，引導學生從圖象變換的角度建立函數圖象間的聯系；通過對比，概括這類函數圖象的特征，并運用代數知識加以分析、推理和解釋，豐富學生認識和研究問題的角度，促進學生對數形結合思想的理解和運用，發展學生的抽象能力和推理能力等.

活動3：研究函數[y=2x+3].

師生活動：學生利用從活動1和活動2中獲得的經驗，從多個角度、用不同方法畫出函數[y=2x+3]的圖象.

學生可以從絕對值化簡的角度，將函數[y=2x+3]轉化為[y=2x+3，? x≥-32，-2x-3，? ?x<-32;]也可以從圖象變換的角度，建立函數[y=2x+3]與函數[y=2x+3]之間的聯系；還可以根據活動2中概括得到的這類函數圖象特征的規律探究新函數的圖象；等等.

追問：如何由函數[y=2x]的圖象得到函數[y=2x-1]和[y=2x+3]的圖象？

師生活動：教師帶領學生再次從圖象變換的角度發現和理解這三個函數圖象之間的關系.

【設計意圖】活動3為學生創設了充分利用習得的經驗研究新問題的空間，鼓勵學生利用活動1和活動2的研究經驗，思考如何靈活地畫出新函數的圖象. 通過對比三個含絕對值函數的圖象，引導學生從平移的角度再次認識函數圖象之間的關系，進一步促進學生對函數圖象關系的認識和經驗積累.

環節3：逐步推廣，拓展應用.

思考：（1）如何畫函數[y=2x+b]（b為常數）的圖象？

（2）如何畫函數[y=kx+3]（k為常數，k ≠ 0）的圖象？

【設計意圖】思考題的設計是由具體函數向一般函數過渡，逐步推廣到研究一類函數，使思維活躍的學生能有更深的發展.

本節課通過對三個一次絕對值函數圖象的探究，既調動了學生研究的自主性，利用已有經驗從不同的角度思考問題，利用不同的方法解決問題，又體現了教師的引領性，通過學生的展示、評價、交流，調整和完善學生解決問題的過程，歸納研究方法. 在基本描點作圖法的基礎上，滲透結合性質描點作圖法，即利用函數性質“倒推”出函數圖象的特征，豐富解決問題的途徑，引領學生高階思維的發展，增強學生對數學活動經驗的積累和遷移，發展學生的數學核心素養.

三、基于函數關系研究函數圖象的一般路徑

建立客觀世界中運動變化現象的函數模型，目的是利用數學知識和方法分析函數模型，由此發現事物的變化規律，進而精確地“預測未來”. 函數模型的性質反映了現實世界中大量事物的變化規律，具有典型性、普遍性和一般性，所以探索和掌握基本初等函數的性質無論是對現實事物的變化規律還是對進一步研究新函數（復雜函數）都有奠基作用. 高中階段學習的函數性質主要有單調性、最值、奇偶性、周期性等. 雖然初中生還不能完全理解其嚴格的定義，但是教師可以讓學生嘗試用數學語言描述函數性質. 這里教師需要幫助學生解決“為什么要研究函數性質？”“什么叫函數性質？”“函數的性質主要有哪些？”“如何發現函數的性質？”等問題.

教學時，教師可以通過具體例子向學生說明如下幾點.

（1）通過函數的變化規律可以把握客觀世界事物的變化規律，通過舊函數的圖象和變化規律可以推導出新函數的圖象和變化規律.

（2）函數的性質主要是函數值隨自變量的變化而變化的規律，變化中的不變性、規律性就是性質，如隨著自變量的增大函數值是增大還是減?。ㄗ兓厔荩?，有沒有最大值或最小值（特殊意義的取值），函數圖象有什么特征（主要是對稱性），有沒有其他特殊取值（如與坐標軸的交點），函數圖象的分布情況（如位于哪個象限），等等.

（3）數形結合是主要的研究方法. 如果能畫出函數的圖象，那么通過觀察和分析圖象的特征，可以得到函數的一些性質；也可以利用代數知識，通過對函數表達式的分析和推理得出一些性質.

例如，對于函數[y=2x-1]，由絕對值的性質可以得到如下結論.

（1）函數的零點是[12]；

（2）函數的圖象在x軸及x軸上方；

（3）函數[y=2x-1]的圖象可以由[y=2x-1]的圖象保持x軸上方圖象不變，下方圖象向上翻折得到；

（4）用[x-12]代替[y=2x]中的x，得到[y=2x-1]，說明函數[y=2x-1]的圖象可以由[y=2x]的圖象平移得到；

（5）由于將[12+x]和[12-x]分別代替x代入[y=2x-1]后，y值相等，說明函數關于直線[x=12]對稱；

……

需要注意的是，學生習慣于利用基本描點作圖法畫函數圖象、觀察圖象、得出性質，在完成一定知識的積累后，教師要鼓勵學生嘗試從不同角度探索函數圖象，概括函數性質，進一步理解圖象與性質之間的聯系，提高學生歸納概括的能力，形成新的知識體系，并利用新的知識去解決問題. 圖1展示了應用結合性質描點作圖法，利用舊函數研究新函數圖象的一般路徑.

四、教學反思與啟示

函數是初中階段數學學習的重要內容，它是連接代數與幾何的紐帶. 按照教育家皮亞杰的認知發展階段劃分，初中生正處于形式運算階段，他們開始具有邏輯運算思維，對于函數的性質探索必須建立在擁有具體圖象的基礎上，但是教師可以引導學生逐步應用函數的性質自主畫出函數圖象. 而深度學習是要培養學生的高階思維能力，包括應用、分析、評價、創造. 在教學中，教師需要引導學生達成數學知識的關聯和抽象拓展建構，優化學生對數學方法的認知結構，提高學生對數學方法的認知水平. 通過對基于函數關系的函數圖象教學的實踐，筆者獲得如下思考.

1. 教學內容選取要低起點、能深化，貴在促進學生深度學習

深度學習是學生對核心知識的深度理解，以及在問題情境中應用這種理解的能力. 基于對學生的學情分析，設計一個恰當的問題情境，可以為學生創設利用已有知識探究新問題的空間，促進學生主動關注知識間的聯系，自覺運用相關知識思考、解決問題；通過相互評價、交流，發展學生的認知體系，提升學生解決問題的能力. 深度學習的載體不一定是一個十分復雜的問題. 在學習了一次函數之后，一次絕對值函數就是一個相對簡單又能引發學生思考的問題. 對這樣的新函數的研究既能讓學生鞏固一次函數的相關知識，又能促進學生主動將新問題進行轉化.

通過設置如圖2所示的層層深入的拓展性問題，引導學生主動運用和遷移已有學習經驗解決新問題，學習新方法，增長新經驗，從而促進學生持續建構知識，拓展學生思維的深度和廣度.

在研究問題的過程中，教師既要尊重學生的自主性，給予學生獨立思考、發揮個性的探究空間，又要有所引領，通過生生、師生間的評價交流，肯定好的想法，完善存在不足的方法，介紹好的做法，加深學生對問題的認識，提高解決問題的效率，增強數學活動經驗，促進學生發展自己的認知體系.

2. 教學設計要符合學生的認知規律，不要回避認知沖突

在對具體研究對象進行教學設計的過程中，教師要反復考量問題的設計意圖及其教學功能，既要符合學生的認知規律，也要具有一定的開放性. 本節課選取[y=2x-1]作為主要研究對象，其目的是對函數[y=2x]研究的繼續推進，多角度體現函數間的關系，既可以是與函數[y=2x-1]的聯系，也可以是與函數[y=2x]的聯系. 學生在已有認知基礎上，在對問題解決、反思的過程中，發現、理解和掌握結合性質描點作圖法.

此外，在教學過程中，我們不能回避學生可能出現的錯誤，適當制造認知沖突對學生的學習有重要意義. 在新舊知識結合點上產生的問題，最能激發學生的認知沖突. 學生不知道新函數圖象的形狀，因此不知道如何取點，在連線過程中不知道應該畫直線還是曲線，最終呈現的圖象很可能各式各樣. 甚至因為所取的都是整數點，而忽略了[12，0]這個關鍵拐點. 我們不能為了讓學生回避錯誤用[y=2x-2]代替[y=2x-1]. 通過這樣有針對性地創設情境，巧妙設置思維障礙，讓學生經歷思維上的挫折，引發認知沖突，從而激發學生的研究興趣，發展學生樂學、善學的素養. 同時，能夠促進學生對方法的理解，提升學生正確、靈活運用方法的能力，豐富學生解決問題的經驗.

3. 教學過程要以生為本，充分尊重不同層次學生的知識生成

在教學設計時，我們不能僅以新知識如何能被學生順利接受為目標進行教學設計，而要以學生的發展為本設計教學，準備不同的教學預案. 教學過程中，倡導以學生為主體的教學. 同樣的內容在不同程度、不同特點的班級展開教學時，往往可能會呈現不同的教學節奏、過程和效果.

對于本文提到的一次絕對值函數的研究，在分層的A1班和A2班教學時，學生的課堂表現就有較大的區別. A1班學生思維活躍，在對不同方法的理解和運用、知識間聯系的梳理和建構方面表現出較強的自主性. 學生能發現和建立函數間的聯系，探究的開始就采用了結合性質描點作圖法，能準確把握“兩點確定一條直線”，總結出圖象具有“V”字型特點等. A2班學生在應用初級的基本描點作圖法過程中就存在比較多的漏洞. 教師需要理解學生學習的困難之處，夯實基礎知識.

在教學中，我們必須尊重學生間的差異性，確立不同的學習目標，使用不同的教學方法，提升教學的有效性. 不同班級的教學實踐表明，學生在自發使用新方法方面有較大的差異，我們要關注不同學生的學習特點和學習規律，設計恰當的教學內容和教學過程，努力使不同的學生都得到不同的發展.

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