計入齒圈螺栓約束的行星齒輪箱振動模型研究

楊秋平，李志強

(1.新鄉職業技術學院，河南新鄉 453000；2.鄭州大學機械與動力工程學院，河南鄭州 450001)

0 前言

行星齒輪箱在機械傳動過程中具有傳動比大、結構緊湊等優點，被廣泛應用于航空航天、汽車、風力發電等領域[1-2]。一般來說，太陽齒輪和行星架分別為輸入和輸出元件，齒圈固定在底座上，行星齒輪隨行星架轉動，各行星齒輪與太陽齒輪和齒圈齒輪同時嚙合，分別形成外嚙合齒輪副和內嚙合齒輪副。

行星齒輪箱的振動信號復雜，為了更好地理解齒輪箱的振動機制，國內外研究學者對齒輪箱振動模型進行了大量的研究。MOSHREFZADEH、FASANA[3]在動態模型中加入了故障軸承模型，研究表明集總參數模型在考慮影響振動響應的非線性因素方面具有一定的優勢。XUE、HOWARD[4]建立了行星齒輪箱多自由度扭轉振動模型，結果表明該模型可以作為行星齒輪箱故障診斷的有效工具。楊占力等[5]通過集總參數模型研究了動態參數對行星齒輪箱的振動影響，比較了不同負載和轉速下的行星齒輪箱振動特性。吳守軍等[6]建立了計入嚙合線方向的行星齒輪系統振動響應模型，分析了嚙合線相對位移及頻譜特性，該模型能有效提取行星齒輪系統的嚙合頻率和故障頻率，并通過實驗驗證了所提模型的合理性。王成龍等[7]建立了計入部件平移-扭轉的行星齒輪系統動力學模型，通過該模型研究了不同初始條件下內齒圈的振動特性。魏靜等人[8]建立了計入時變嚙合剛度等因素的行星齒輪傳動動力學模型，分析了不同時變位姿參數對振動響應特性的影響，該模型能夠為可靠性設計提供一定的數據支撐。林祖勝、張紹輝[9]建立了行星齒輪傳動系統有限元模型，仿真了內齒圈振動特性，并對比了實驗過程中的模態特性，結果表明所建立的仿真模型具有一定合理性。王二化等[10]通過建立多傳感器信號模型，解決了單一傳感器振動信號的不穩定性問題，通過小波分解的方法實現了各頻段能量的提取，分析了不同載荷等因素對頻道能量的影響，該方法能夠為齒輪箱結構的合理性設計提供參考依據。

本文作者在前人研究基礎上，提出一種基于齒輪箱結構參數的新方法，該方法在傳統方法的基礎上，利用振動位移計算內齒輪副的嚙合力。根據歐拉-伯努利梁理論，計算齒圈在嚙合力作用下的振動信號。該模型考慮齒圈的螺栓約束，且建模方法不需要考慮窗函數、振動分量的貢獻等，可以有效地避免主觀性問題。

1 齒輪箱振動嚙合特性

齒輪箱振動主要是由齒輪副嚙合、齒輪和軸承失效、軸不對中等引起。振動信號通過不同傳輸路徑將不同振動源傳輸到同一傳感器。因此，傳感器信號中不同分量的貢獻不同。由于傳感器一般安裝在齒圈上，內齒輪副(行星齒圈副)的嚙合力Frpn(n=1，2，…，N)可以通過式(1)得到：

Frpn=krpn·δrpn

(1)

式中：krpn和δrpn分別為第n個內齒輪副的嚙合剛度和變形量，可根據勢能法和集中參數模型求解。

為了探討Frpn(n=1，2，…，N)，首先研究了齒輪箱齒輪副的嚙合剛度kspn和krpn。以3個行星齒輪變速箱為例，其基本參數如表1所示。由于3個行星齒輪與太陽齒輪和環齒輪同時嚙合，齒輪箱總共包含6個齒輪副，其剛度曲線和嚙合相位分別如圖1和表2所示，圖中綠色的點表示齒輪副的節點，每條剛度曲線在一個嚙合周期內出現兩次突變。由于相位因素，這些突變不會同時發生。

圖1 外齒輪副(a)和內齒輪副(b)的嚙合剛度曲線

表1 行星齒輪箱物理參數

表2 行星齒輪箱嚙合相位

剛度的突變是一種內部激勵，影響齒輪副的嚙合力。以嚙合力Frp1為例，其曲線如圖2所示，可以看出：曲線以Tm為周期，一個嚙合周期存在很多衰減振蕩信號。對比圖2和圖1可以發現：這些衰減信號對應于內外齒輪副的突變，且內齒輪副產生的沖擊幅值高于外齒輪副。

圖2 第一內齒輪副嚙合力Frp1

圖2(c)為太陽齒根處出現2 mm深度齒裂紋時的力Frp1曲線，與圖2(a)相比，出現了一系列與裂紋有關的斷層，即盡管失效發生在太陽齒輪(形成外齒輪副)，但仍然影響內齒輪副的嚙合力。因此每個振動部分的振動信息相互重疊。

2 齒輪箱振動信號模型

2.1 基于歐拉-伯努利梁理論的振動模型

由于行星架的轉動，行星齒輪箱的振動信號具有明顯的幅度調制，采用Hanning或Hamming窗對其進行模擬[11]。這些窗口函數的參數都是人為選擇的，與變速箱的基本結構參數無關，振動信號的幅值會隨著被測位置的變化而變化。以圖3中的齒輪箱為例，環形齒輪通過8個螺栓與兩側的底座連接，這些螺栓將環形齒輪劃分為多個區域。當振動源和傳感器位于不同區域時，螺栓可能會影響振動信號的有效傳遞，因此此研究在建立傳感器信號模型時將考慮這些螺栓，以螺栓為邊界，將環齒輪分為8個部分。齒輪箱頂部安裝振動加速度傳感器，與A零件相對應，最靠近螺栓8的行星齒輪設置為行星齒輪1，后續將研究行星齒輪1隨行星架順時針旋轉一個周期時傳感器的振動加速度信號。

圖3 行星變速箱結構模型

齒圈齒的幾何形狀主要影響齒輪副的嚙合剛度，反映在嚙合力上如圖2所示。將A部分的齒圈簡化為兩端有支撐的歐拉-伯努利梁，如圖4所示。以8號螺栓為原點，建立坐標系Oxy。長度l表示螺栓8和螺栓1之間的齒圈弧長。假設行星架的旋轉方向為順時針，可以認為嚙合力的方向Frp1恒定，嚙合點以v=ωc·rr的速度沿著x方向從螺栓8移動到螺栓1，其中ωc為行星架的轉速，rr為齒圈的節圓半徑。此外，嚙合力Frp1在切向和徑向上可分解為Frp1x和Frp1y，其中Frp1y=Frp1·sinα，α為齒圈在節圓上的壓力角。此研究在理論建模中只考慮徑向力Frp1y。采用力密度函數f(x，t)表示t時刻的嚙合力Frp1y，其中在x截面處有x=v·t，則有：

圖4 齒圈截面受力示意簡圖

f(x，t)=Frp1y·δ(x-v·t)

(2)

其中：δ為狄拉克函數。簡化后的齒圈截面如圖4所示，b和h分別為齒圈的寬度和高度。在位置x的齒圈厚度h(x)受齒輪齒幾何形狀的影響，當h(x)為非均勻時，x位置處截面的截面面積A(x)、轉動慣量I(x)等將發生變化。這些變量可以看作是內部激勵，會影響x位置的振動幅值，從而增加了齒圈振動信號的復雜性，但振動信號的包絡趨勢不會發生明顯變化。因此，為了簡化，此研究提出采用常數h代替不均勻厚度h(x)，并選擇齒圈最薄部分的厚度。齒圈的測量結果表明，齒圈的有效厚度h=9.4 mm，寬度b=53 mm。

在圖4中，K和Kt分別為A部分受2個螺栓約束后的徑向支撐剛度和扭轉剛度。此研究螺栓的徑向剛度和扭轉剛度應與簡化歐拉-伯努利梁的軸向剛度和彎曲剛度一致，設置剛度K=E·A和Kt=E·I來模擬梁在這2個螺栓處的平移和轉動。圖4顯示了齒圈的力的微小段dx的示意，沿y方向運動的微分方程表示為

(3)

其中：Q為剪切力；M為彎矩；ρ為齒圈的材料密度；A為截面面積。從而可以計算出t時刻齒圈零件x位置的加速度信號，如式(4)所示：

(4)

其中：i為振動模態的階數，文中取前3個階數。當不考慮齒圈與傳感器之間的傳輸衰減時，x位置齒圈的振動信號可以表示傳感器安裝在該位置時的傳感器信號。由式(4)可知，位置x處的信號模型可以考慮影響傳感器信號的各種因素，A部分齒圈截面的基本參數如表3所示。

表3 截面A齒圈基本參數

當行星齒輪繼續旋轉，嚙合點將通過螺栓1進入B部分區域，部分嚙合點在B部分的環形齒輪簡化如圖5所示。

圖5 嚙合力在區域B時齒圈的簡化示意

根據歐拉-伯努利梁理論，可以得到環齒任意一點的振動，式(5)(6)分別表示任意位置的廣義力和振動加速度：

(5)

d4·cosh(0.5βil)]·{cos(ωit)·[d0sin(βix)+d2cos(βix)+d3sinh(βix)+d4cosh(βix)]}

(6)

根據式(4)(6)，行星齒輪1通過A、B部分時模擬的傳感器信號如圖6所示，可以看出：由于螺栓的作用，在兩端和第10齒附近的振動信號波動較大，幅度相對較小。振動加速度幅值在第10個齒后處于較低水平。A部分和B部分的振動信號最大幅值分別為Apart A=0.172 m/s2，Apart B=0.056 9 m/s2，這進一步證明了環形齒輪螺栓對振動信號有明顯的抑制作用。

圖6 嚙合點從螺栓8移動到螺栓2時的模擬傳感器信號

當行星齒輪1的嚙合點通過更多的螺栓時，傳感器采集到的振動信號振幅進一步降低到小于0.056 9 m/s2。通常齒輪箱中的幾個行星齒輪等距，當前一個行星齒輪的嚙合點遠離傳感器時，后一個行星齒輪的嚙合點接近傳感器。因此，行星齒輪1在此期間產生的振動信號可視為噪聲。考慮到行星齒輪的重復性，其他行星齒輪產生的振動信號也可根據式(4)(6)計算，這些行星齒輪之間的相位差為Zr/N，它們產生的信號可以疊加，從而得到多行星齒輪齒輪箱的仿真振動信號。

2.2 變速箱振動信號模型

一般多個齒輪的加速度信號是在基于集中參數模型的微分方程求解后選擇的，并對它們給出不同的貢獻來建立最終的振動信號，此研究采用權重來反映各個齒輪的整體傳輸路徑效應，如式(7)所示：

(7)

太陽齒輪、行星齒輪和環形齒輪的整體傳動路徑效應可以分別用式(8)[12]表示：

(8)

為了模擬載波的調幅效果，與傳統方法不同，此研究在建立齒圈振動信號時選擇了旋轉部件的振動變形而不是振動加速度，傳統方法和新方法的流程如圖7所示，可以看出：該方法避免了振動分量權重、窗函數等主觀步驟。

圖7 新方法和傳統方法的流程

圖8分別是基于傳統方法[12]和此研究提出的新方法得到的齒輪箱振動曲線。圖中紅色曲線是振動信號的包絡線，可以看到2種方法得到的振動信號都表現出明顯的幅度調制現象。在一個行星架旋轉周期內，信號波動3次。但在這2種情況下，產生波動調制現象的原因不同。在圖8(a)中，直接由Hanning窗生成，在圖8(b)中，采用考慮螺栓約束的方程計算。可以看出圖8(b)中的紅色包絡曲線比Hanning窗或Hamming窗更能反映行星架引起的調幅效果。

圖8 行星架一圈內的振動信號

此外，這些波動之間還出現了文獻[13]中提到的重疊現象，如圖8(b)所示。圖9所示為圖8(b)振動信號在噪聲情況下的包絡階譜。振幅較大的階數出現在低頻、嚙合階數及其諧波階數等處，振動信號的主要頻率成分與文獻[12]中的模擬和實驗信號一致。調制頻率是行星架旋轉頻率的N倍(N=3)，嚙合階(Zr=62)的幅值為0，較大的幅值對應于第60階(Zr-2)和第63階(Zr+1)，與嚙合階相鄰。這是因為環形齒輪的齒數Zr不是行星齒輪數N的倍數，導致嚙合頻率由行星架的旋轉頻率調制[14]。基于上述時域和頻域分析，文中提出的齒輪箱振動信號模型是正確的。

圖9 含噪聲振動信號的包絡階譜

3 齒輪箱振動信號特征分析

3.1 振動路徑傳輸機制

由于行星齒輪箱結構復雜，振動信號的路徑可以分為2種：齒輪箱內部的路徑和沿齒輪箱的路徑，如圖10(a)所示。傳感器直接安裝在齒圈上時，沿齒輪箱的路徑主要是傳遞齒圈副產生的振動信號，這些信號在傳輸過程中可能會有很大的衰減，且這些路徑的長度是時變的。

圖10 傳輸路徑

考慮到來自齒輪箱內部部件的振動信號可能會使傳感器信號冗余，此研究不考慮圖10(a)中的傳動路徑，只分析沿變速箱的路徑。以圖10(b)中嚙合點A的振動信號為例，將齒圈傳動路徑分為路徑1(順時針方向，粉色箭頭表示)和路徑2(逆時針方向，藍色箭頭表示)。

以圖11中行星齒輪箱的嚙合狀態為例，當振動源位于傳感器的左側，路徑1比路徑2短，路徑1貢獻更多，如圖11(a)所示。相反，路徑2的貢獻較大，如圖11(c)所示。當兩條路徑的長度相等時，兩條路徑的貢獻相同，如圖11 (b)所示。由于螺栓錨桿對振動信號的傳輸有明顯的抑制作用，因此，此時圖(a)中路徑2、圖(c)中路徑1、圖(b)中路徑1、2不能有效傳輸振動信號。

圖11 傳動路徑

3.2 螺栓約束效應

傳感器采集到的振動信號的幅值受到許多因素的影響，如工作速度、負載、健康狀況和變速箱的尺寸等。下面將通過改變螺栓與傳感器之間的距離，以及改變螺栓的數量來研究螺栓對信號的影響。

3.2.1 螺栓與傳感器之間的距離

為了模擬傳感器與螺栓之間不同距離，此研究將傳感器的安裝位置改變3次。選取圖3中齒圈的第1、第3、第5這3個齒位置，傳感器安裝示意如圖12所示。這3個位置分別標記為a1、a3、a5，如圖13(a)所示，圖中橫坐標范圍為62Tm，表示行星架旋轉一圈。圖中這些曲線都顯示了3個顯著的幅度調制。這是因為在行星架的一個旋轉周期中，3個行星齒輪依次靠近和離開傳感器。

圖12 三個傳感器在齒圈上的安裝位置

圖13 傳感器安裝在不同位置時的

如圖13(b)所示為振動信號的包絡曲線Ei(i=1，3，5)和最大幅值Ai(i=1，3，5)，可以看出：這些曲線的形狀相似，但最大幅值和幅值位置不同。離8號螺栓最遠的第5齒的振動信號幅值A5最大，離8號螺栓最近的第1齒的振動信號幅值A1最小。3條曲線最大振幅對應的位置靠近右側，從而可以看出振動信號的幅值隨著傳感器與螺栓之間距離的減小而減小。因此，為了得到振幅較大的振動信號，傳感器應盡可能遠離齒圈的螺栓。

圖14所示為圖13(b)虛線矩形框中曲線的部分放大圖，表示振動信號的重疊區域。這3種情況下重疊區域的振幅和長度也不同，但差異并不顯著。原因是雖然傳感器的位置發生了變化，但螺栓8和1之間的齒圈的弧長保持不變。由此可見，齒圈螺栓與傳感器之間的距離對振動信號的調幅影響較大，但對重疊區域的信號影響較小。

圖14 包絡曲線重疊區域的比較

3.2.2 螺栓約束數量

為了進一步驗證螺栓約束對振動信號的影響，此研究改變了圖3中齒圈的螺栓數量，并將傳感器保持在A部分的中部。初始狀態記為Case 1，且全部螺栓工作；拆下螺栓1，狀態變成Case 2；當螺栓1和8都被拆除時，狀態變成Case 3。螺栓約束的3種狀態如圖15所示，改變螺栓約束后，圖4中簡化的齒圈弧長l發生變化，即lCase1≈10×Tm，lCase2≈15×Tm，lCase3≈20×Tm。

圖15 螺栓約束的3種狀態

3種情況的振動加速度曲線及其包絡曲線如圖16所示。可以看出：隨著螺栓數量的移除，振幅依次增大(ACase 3>ACase 2>ACase 1)，如表4所示，這種變化是由于拆卸螺栓引起的。拆除部分螺栓后，兩行星齒輪之間的夾角(φ=2π/N)可能小于相鄰兩螺栓之間弧長對應的夾角，導致螺栓原本抑制的振動被釋放。此外，在Case 1和Case 3中出現最大振幅的位置重合，并且Case 2向右傾斜。這是因為螺栓相對于Case 1和Case 3中的傳感器是對稱的，而在Case 2中，傳感器更靠近左側的螺栓，這與之前螺栓與傳感器之間的距離對振動信號的影響的結論一致。從這些模擬結果可以看出，螺栓約束的數量會影響振動信號的振幅調制。

圖16 不同螺栓約束下振動信號(a)

表4 不同螺栓約束下的振幅和長度

虛線矩形框的部分放大視圖如圖17所示，從表4可以看出：這3種情況下重疊區域的長度和振幅都不相同，最大重疊長度LCase 1和最小重疊長度LCase 3分別對應Case 1和Case 3，這種變化也是由螺栓的拆除引起。任意2個行星齒輪之間的齒圈弧長為LPP≈21×Tm。當齒輪箱約束狀態為Case 1時，螺栓8與螺栓1之間的弧長為LCase 1≈10×Tm，因此重疊區域的長度為LCase 1≈11×Tm。同樣當齒輪箱在Case 2和Case 3時，可以得到重疊區域的長度分別為6×Tm和1×Tm。但重疊區域的振幅BCase i(i=1，2，3)的趨勢與長度的趨勢相反，這些變化也是由拆除螺栓引起的。但由于實際振動信號不可避免地包含噪聲，重疊區域可能會被其他干擾成分覆蓋。

圖17 不同螺栓約束下重疊區域的比較

通過以上分析可以看出，螺栓約束對振動信號的幅值調制和重疊具有不可忽視的影響。因此，對于齒輪箱的設計者來說，增加螺栓的數量可以有效地降低齒輪箱的振動幅度，從而提高傳動系統的運動精度和使用壽命。

4 實驗驗證

此研究通過2個實驗驗證了所提出的加速度信號模型的有效性，實驗裝置及齒輪箱基本參數如圖18和表1所示，傳感器安裝在齒圈的頂部，變速箱的輸入速度為420 r/min。在第一次實驗中，螺栓的約束狀態對應Case 1。齒輪箱實測實驗振動信號如圖19所示，橫坐標為嚙合周期，圖中振動曲線顯示出明顯的沖擊特性，主要是由齒輪副的嚙合引起的。

圖18 行星變速箱試驗裝置

圖19 螺栓約束處于Case 1時實驗振動信號和包絡曲線

此外，振動信號表明在一個行星架旋轉周期Tc中出現3個調幅波動，且波動之間存在重疊區域。紅色曲線表示振動信號的包絡線，包絡曲線的形狀與圖8中考慮螺栓約束的振動信號的包絡曲線相似。重疊區域的長度約為11×Tm，與表4中的理論分析結果一致。由此可以得出結論：圖8中的模擬信號與圖19中的實驗信號是一致的。

齒輪箱振動信號的包絡階譜如圖20所示，由于齒輪箱的制造、安裝等一些因素，在頻譜中出現了大量的干擾成分。除低頻區段的階數外，主要的頻率分量主要集中在嚙合階數及其諧波上。圖中分別顯示了低階和圍繞嚙合順序的部分放大圖，低階區域的階譜表明，振動信號的主調制階分別是行星架旋轉階的3倍和6倍。從部分放大圖可以看出：對應嚙合階次(Zr=62)的幅值較低，而在第60階和63階的幅值較大。通過對振動信號在時頻域的分析，可以看出：實驗結果與圖9中的仿真結果是一致的，結果表明此研究所建立的加速度信號模型在時域和頻域上是合理的。

圖20 振動信號的包絡譜

為了進一步研究螺栓對振動信號的影響，在不停止齒輪系統的情況下，通過拆除齒圈2個螺栓(螺栓1和螺栓8)，直接將螺栓約束狀態從Case 1改變為Case 3，振動加速度信號及其包絡曲線如圖21所示。與圖18中案例1的結果相比，包絡曲線的波動變得平緩，振動幅值變大。這是由于2個螺栓是去除，釋放先前抑制的振動信號。另外，拆下螺栓后，變速箱的工作狀態發生了變化，振動信號中出現高幅值的嚙合沖擊。對于重疊區域，Case 3的長度比Case 1短。根據表4中的理論分析，Case 3對應的重疊區域的長度為1×Tm，因此圖中重疊區域的長度不明顯。實驗結果證明了改變螺栓數模擬結果的正確性。

圖21 螺栓約束處于Case 3時實驗振動信號和包絡曲線

5 結論

基于集總參數模型和歐拉-伯努利梁理論，建立了考慮齒圈螺栓約束的行星齒輪箱振動信號模型。基于該模型，研究了振動信號的傳遞機制、振幅調制和重疊現象以及螺栓約束對信號的影響。主要結論如下：

(1)由于齒輪箱中各部件之間的相互作用，當一個部件發生改變時，其他部件也受到影響。由于傳感器靠近齒圈，選擇齒圈的振動研究齒輪箱的振動機制合理。

(2)基于集總參數模型，求解了各部件的振動位移，計算了內齒輪副的嚙合力，然后將帶螺栓約束的齒圈簡化為歐拉-伯努利梁，通過求解梁的振動建立齒圈上任意點的振動信號。仿真結果表明：螺栓對振動信號有明顯的抑制作用，仿真信號與真實傳感器信號具有較高的相似性。

(3)與傳統的基于集總參數模型的方法相比，該模型考慮了傳感器安裝位置和齒圈螺栓約束的數量對振動信號的影響，結果表明這2個因素對信號的幅度調制和重疊現象有本質的影響。