基于最小距離法的數控磨床液壓系統可靠性建模與模型優選

劉勇軍，劉巧燕，胡乾坤

(黃淮學院智能制造學院，河南駐馬店 463000)

0 前言

數控磨床是精密制造業不可或缺的工業母機，數控磨床的可靠性一直是研究的熱點。對數控磨床可靠性的研究可以從整體上分析，也可以將其分為若干個子系統加以研究。從可靠性設計和可靠性提升的角度來看，研究子系統的可靠性更具有針對性。數控磨床通常采用兩套獨立的液壓站，其中一臺液壓站為尾架液壓缸、軸向量儀旋轉液壓缸和徑向量儀直線液壓缸提供動力，另一臺液壓站為靜壓主軸提供液壓油。數控磨床液壓系統是數控磨床易發生故障的子系統，因此將其單獨拿出研究，以便評估數控磨床整機可靠性?？煽啃缘难芯侩x不開現場數據的采集，而根據采集到的數據如何建立準確的可靠性模型是可靠性研究的關鍵。目前國內外學者通常的做法是對可靠性數據進行處理、擬合，找出相對最優的可靠性模型。

陳傳海等[1]對數控機床的可靠性建模方法進行了分析與總結；楊新坤等[2-8]基于威布爾分布，利用可靠性數據對數控機床進行了可靠性建模，對模型中的參數進行了計算求解。張根保等[9]建立了針對浴盆曲線前兩段的兩重LLP可靠性模型，并研究了浴盆曲線轉折點的確定方法，對數控機床的維修保養具有一定的指導意義。

在模型優選方面，張世強[10]、黨耀國等[11]研究了通用擬合優度指標和擬合優度的檢驗方法；郝晨光等[12-15]基于假設檢驗和擬合優度檢驗方法，利用經典分布函數分別進行擬合，以尋求最優的可靠性模型；劉勇軍等[16]提出了改進灰色關聯度的模型優選方法。

從已有文獻可以看出，目前對數控機床進行可靠性建模時以威布爾分布為主，不少研究者直接假定故障率符合威布爾分布，然后利用算法對參數進行求解，這種直接假定分布模型為某一確定模型的做法存在一定的建模誤差；也有學者分別利用多種常用的分布函數進行擬合，然后對這些模型進行擬合優度檢驗，但也存在著分布函數有限、擬合優度檢驗方法簡單等不足。本文作者增加伽馬分布作為可靠性模型的一個備選，闡述伽馬分布函數參數的求解方法；同時，針對當前擬合優度檢驗方法存在區分度不高的問題，提出最小距離模型優選方法，并與其他擬合優度檢驗方法進行比較。

1 可靠性建模

數控磨床屬于典型的機電裝備，其故障率曲線也近似為“浴盆曲線”，即在數控磨床投入使用的早期，故障率較高，隨著時間的推移，故障率慢慢降低，并逐漸趨于穩定，在產品的壽命周期末期，故障率又逐漸增高，即將報廢。研究數控磨床的可靠性通常是研究浴盆曲線前兩段的變化規律，建立其數學模型，從而為數控磨床的可靠性評估和可靠性設計奠定基礎。

1.1 可靠性模型

數控磨床的故障率是一個概率統計問題，研究表明，與浴盆曲線前兩段較為接近的分布函數有指數分布(Exponential Distribution)、威布爾分布(Weibull Distribution)、正態分布(Normal Distribution)、對數正態分布(Logarithmic Normal Distribution)、伽馬分布(Gamma Distribution)等，上述5種分布的累積概率密度函數如式(1)—式(5)所示。如果參數選擇合理，上述5種分布函數均可以用來表征數控磨床及其子系統的故障率變化規律。

F(t)=1-e-λt

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

1.2 可靠性建模

可靠性建模是以故障數據為基礎的，因此首先需要采集可靠性數據(產品從投入使用開始每次故障的時間)。為了計算概率密度，需要將采集到的數據按故障間隔時間由小到大分為k組，求出每個區間內的故障頻次、頻率、概率密度和累積概率密度，如表1所示。

表1 數控磨床可靠性數據采集與分組(一)

表1中：Δti為故障間隔時間分組的中值；ni為第i組故障間隔時間內出現的故障總數；fi為第i組故障間隔時間內的故障頻率；Fi為第i組故障間隔時間內的累積故障頻率；Fi可以由式(6)計算得出，其中Δt為區間長度。

(6)

每個區間的累積概率密度求出之后，即可得到k組數據對(Δti，Fi)。對于指數分布和威布爾分布，可以將累積分布函數兩邊取對數構造線性關系式，正態分布和對數正態分布則需要將其累積分布函數變換為標準正態分布后構造線性關系式。線性關系式構造完成后可以利用最小二乘法求解分布函數的參數[17]。

伽馬函數無法構造線性關系式，可以采用極大似然法求解。首先構造一個伽馬分布的似然函數，如式(7)所示：

(7)

由于L(θ)和lnL(θ)具有相似的極值特性，可以將式(7)兩邊同時取對數，簡化后如式(8)所示。

(8)

將式(8)分別對a、b求偏導，可以得到式(9)。

(9)

式(9)無法直接求出a、b的解析解，可以采取數值解法求解。

2 擬合優度檢驗

在求出每個累積分布函數的參數后，需要選擇一個最優的分布函數作為液壓系統的可靠性模型，因此需要對5種分布函數進行擬合優度檢驗。常用的擬合優度檢驗方法有χ2檢驗(卡方檢驗)、K-S檢驗法(柯爾莫諾夫-斯米爾諾夫檢驗)、相關系數法、灰色關聯度分析等。

2.1 χ2檢驗

卡方檢驗可以檢驗樣本數據與理論模型之間的偏離程度，卡方值的大小可以表征這種偏離程度，卡方值越大，二者偏離程度越大；反之亦然。對不同分布函數與樣本數據之間進行卡方檢驗可以分辨不同分布函數與樣本數據之間的擬合優度。卡方檢驗的公式如式(10)所示：

(10)

從卡方檢驗公式可以看出：其主要比較的是概率密度值的觀測值與預期值之間的差值，即只比較縱坐標的值，而并不判斷觀測值與實際曲線之間的相近性。

2.2 K-S檢驗

(11)

K-S檢驗法不僅可以檢驗樣本數據與理論累積分布函數之間是否相關，還可以根據K-S檢驗結果判斷不同分布函數與樣本數據的擬合優度。

2.3 皮爾遜相關系數

皮爾遜相關系數可以度量兩個變量之間的線性相關程度，用線性相關系數γ來表示，如式(12)所示，γ值與線性相關度成正比。

(12)

2.4 灰色關聯度

灰色關聯分析對樣本數據和規律沒有嚴格的要求，該方法根據兩個數據列的相似程度來判斷其關聯性的大小，可以用于概率密度樣本值與擬合曲線之間的擬合優度檢驗。實際應用中可以將概率密度樣本值與上述5種分布函數分別求關聯系數，并比較關聯系數的大小，關聯系數越大，擬合效果越好?；疑P聯度的計算公式如式(13)所示：

(13)

其中：

ξi(t)=

式中：ρ為分辨系數，通常取0.5；x0(k)為樣本數據在k點的值；xi(k)為擬合模型在k點的值。

灰色關聯分析主要用于判斷樣本數據與擬合模型在斜率上的相近程度，而未考慮樣本數據與擬合曲線間在坐標上的接近程度，用于模型優選時存在一定的局限性，可能會選出錯誤的結果。

3 最小距離法擬合優度檢驗

針對只用函數值來判斷擬合優度存在的缺點(只考慮相似性)，根據累積概率密度曲線的特點，提出一種利用數據點接近擬合曲線的程度來判斷曲線擬合優劣的方法。如圖1所示，如果用縱坐標表示點A與曲線擬合的優劣程度，其值為ΔyA，該值相對較大。事實上，從圖中可以看出點A比較接近于擬合曲線，所以用點A與擬合曲線的距離lAmin來表示點A擬合的優劣程度更加合理。最小距離法在擬合曲線斜率較大時，辨別能力較強，當擬合曲線斜率逐漸變小時，最小距離逐漸演變成縱坐標的差值，如圖1中的點B所示，點B到擬合曲線的最小距離近似等于縱坐標差值，即ΔyB≈lBmin。考慮到機電產品的累積概率密度函數曲線均具有靠近縱軸處斜率很大的特點，最小距離法更能區分擬合效果的優劣。將所有數據點與擬合曲線的最小距離求和，即可得到基于最小距離的非線性曲線擬合優度指標Rmd。通過對文獻[10]中所述算例進行計算表明，該指標與利用線性相關系數R的計算結果一致，并且具有較高的區分度，更容易找到最優的擬合曲線。Rmd的計算公式如式(14)所示：

圖1 最小距離法

(14)

(15)

為了防止數據的數量級不同導致極值數據被“淹沒”，也可以將x項數據歸一化后直接利用標準的距離公式來求解。

4 液壓系統可靠性建模與優選

4.1 數據采集與處理

經過連續多年對數控磨床的可靠性研究與現場數據采集，將采集到的可靠性數據分組后如表2所示。

表2 數控磨床可靠性數據采集與分組(二)

根據表2中的數據，分別利用前述5種分布函數進行擬合與參數求解，結果如表3所示。

表3 液壓系統不同模型的累積分布函數

5種不同模型的累積分布曲線如圖2所示，圖中還標示了區間中值散點圖和采集的數據散點圖，以便比較。

圖2 液壓系統累積分布擬合曲線

4.2 模型優選

為了尋求液壓系統最優的分布函數，分別利用前述4種檢驗方法和所提的最小距離法等對液壓系統進行模型優選，不同優選指標結果如表4所示。

表4 數控磨床液壓系統不同分布模型的優選

從表4可以看出：(1)卡方檢驗通常要求分組中的頻次數量大于5，即樣本數據要大，而液壓系統故障頻次不滿足該要求，因此卡方檢驗優選的結果不可信，且區分度非常?。?2)從K-S檢驗結果看出，當n=58時，Dn，α=0.210 2(顯著性水平為0.01)，指數分布、威布爾分布和伽馬分布通過了檢驗，且伽馬分布優度最高；(3)皮爾遜相關系數檢驗中指數分布的優度最高，但該相關系數是基于線性相關的檢驗，伽馬分布不滿足線性關系，因此該檢驗無法判斷伽馬分布的優劣，具有一定的局限性；(4)灰色關聯度法和最小距離法的優選結果均為伽馬分布。從圖2中也可以明顯看出，與實際故障數據最為接近的確是伽馬分布。

雖然從表4中可以得出利用K-S假設檢驗、灰色關聯度優選和最小距離法優選均可以得出伽馬分布為數控機床液壓系統最優分布的結論，但這3種方法的區分度是不同的，為此將每種優選方法下每個分布函數優選指標與選定最優分布函數的優選指標的相對差值求出，如表5所示。可以看出：卡方檢驗和皮爾遜相關系數法的平均區分度非常小，不利于分布函數的優選；K-S檢驗和灰色關聯度優選的平均區分度比較接近，且優選結果是理想的模型；而最小距離法不僅選擇了理想的模型，且平均區分度比灰色關聯度優選和K-S檢驗的平均區分度分別提高了99.6%、135.6%。因此，利用最小距離法進行分布函數的模型優選更容易找出最優的結果。

表5 不同分布模型的優選區分度(百分比)

同時，使K-S檢驗需要查表，給使用帶來不便，而在編程、計算復雜程度上最小距離法比灰色關聯度更具有優勢。

5 結論

(1)在機電裝備可靠性建模過程中需要進行擬合優度檢驗。針對傳統的擬合優度指標區分度不高的問題，提出了以樣本數據和擬合曲線之間距離最小的可靠性模型優選方法。

(2)采集了數控磨床液壓系統的故障數據，利用不同分布函數進行了可靠性建模和不同優選方法擬合優度檢驗，通過對比發現所提出的最小距離法不僅可以準確選出最優模型，且區分度最大。文中所提出的最小距離模型優選方法可以用于機電設備類可靠性分布模型的優選，也可為曲線擬合的優選提供參考。