梯度分組教學模式在大學數學課程中的應用

摘?要：為了提高學生學習數學課程的效果，以高等數學和數學實驗兩門課為例，闡述了如何在課堂中實施梯度分組教學，從小組劃分方式、分組討論內容、課堂實施辦法、考核方式、實施效果和待改進的問題等幾個方面進行了詳細分析和說明，豐富了課堂教學形式，增強了學生的團隊合作意識。

關鍵詞：梯度分組教學；高等數學；數學實驗；教學模式；團隊合作

高校的數學類基礎課程主要包括高等數學、線性代數、概率論與數理統計和數學實驗課程等，這類課程具有基礎性地位，且具有廣泛的授課對象。高等數學課程是高校各專業學生必修的基礎課，它為學生后續學習提供了必要的理論基礎，也為解決實際應用問題提供了關鍵技術。數學實驗課程的開課范圍比高等數學要小，它以高等數學和線性代數等為基礎，通過Matlab軟件，依靠數值計算理論和數學建模思想進行實踐教學。以高等數學和數學實驗這兩門不同授課對象的數學基礎課為例，研究一種以數學教學為特色的梯度分組教學模式對于改進課堂教學和提高學生課堂參與度的重要意義。

一、高校數學課程教學模式概述

數學課程教學班級的規模一般較大，近幾十年來，高校數學基礎課程的教學班平均規模在一百人以上，最高可達二三百人。教師是課堂教學的主導者，面對龐大的聽課群體，最初，數學教師采用的是以講授為主的教學方式，即課堂上大部分時間教師在講課，學生在臺下被動接受知識，這種教學形式導致教師不能及時了解到學生的知識接受狀態，且課堂互動較少，師生之間配合不默契。隨著高等教育的逐步發展，近年來，學生的主體地位逐漸受到重視，以學生為中心的思想也被提出。數學課程中逐漸減少了“填鴨式”的教學現象，改進方式主要體現在：第一，課堂互動增加。除了基本的課堂問答，教師還經常設計各類創新環節，積極引導學生學習的積極性，啟發學生開動腦筋參與教學互動，如課堂游戲、課堂挑戰、學生小老師環節等。第二，留出課堂練習的時間。學生對數學知識吸收是否良好的一個重要體現就是能否靈活運用，因此，在講授完一個知識點后，教師經常會布置對應的練習題，考查學生對知識的接受程度。第三，課堂留白，給學生思考、提問和總結的時間。例如，課堂的最后會留出幾分鐘的時間讓學生自己總結，并針對自己的薄弱環節提出疑問，教師答疑解惑。以上幾點是數學課程教學方式由傳統向現代過渡的明顯轉變。

但隨之產生的問題是，班級規模較大使得教師不能夠兼顧到每一位學生，且沒有充足的時間面向學生全體進行互動，因此很多教師開始嘗試班級分組教學。分組教學并不是一種新型教學方式，這種方式在19世紀末就出現了。當時，資本主義國家的現代教育派認為，學生的個體差異在傳統教學不能夠得到適應，他們提出應按智力等級和成績對學生進行分組教學，校內分組和班級內分組是當時主要的兩類分組教學制。一些人認為這樣能照顧學生的學習差異，適應學生個體的實際情況和需要，對人才培養更加有利，因此，這類教學模式也被沿用至今。這種教學模式針對大規模的聽課群體，能夠使每一個人積極參與課堂學習，與未分組的方式相比，能夠調動學生的學習積極性。我國在大多數學科中均進行過分組教學的改革，尤其是文科類課程中，這種教學方式取得了非常積極的效果。

由于學科性質的不同，高校大班數學類課程進行的分組教學改革比文科少一些，也正因為如此，以數學教學為特色的大班型分組教學方式才更值得研究。

二、具有數學課堂特色的梯度分組學習方式探究

目前，高校的數學課程大多數為大班授課，為了激發學生的內部學習動力，采用分組互助形式學習數學課程，有助于創新課堂形式，增強團隊合作意識，提高學生整體學習水平。尤其是數學實驗課，教學內容模塊化，以解決實際問題為導向，在學習中需要幾位成員一起協作完成實踐任務，采用分組教學模式尤為合適。梯度分組是指每個小組的學生組成具有成績和學習能力上的梯度，遵循先進帶動后進，構建組內互相學習、互相競爭的模式，目的是提升學生整體的學習水平，培養學生團隊合作的意識。

（一）實施方式

第一，小組劃分方式。針對高等數學課程：首先應該了解學生對概念以及定理公式的認知水平，然后根據學生的能力制訂相應的計劃，通過適當提示和講解幫助學生順利認知。分組亦是如此，要讓組內學生有梯度，給每個小組分配任務而不是給學生個人。問題則讓組長負責匯總，通過小組內的互相幫助，增強小組的集體榮譽感。以沈陽工學院為例，目前數學班級人數約為90人，將學生按照5～6人為一個小組進行分組，要求每組學生的學習能力和數學基礎有梯度地設置，有數學理解能力較強的學生，同時也有數學成績較落后的學生。這種模式劃分的準備工作需要有一定的提前量，因為高等數學課是為大一新生開設的，在開學初，任課教師不能很好地把握學生的學習水平，學生之間也不能夠深入了解。因此，結合高考數學成績和宿舍單位對學生進行粗劃分，再逐漸在實施過程中進行微調。針對數學實驗課程：以沈陽工學院為例，數學實驗課程的開設在大二上學期，班級人數約為70人。此時，班級內學生之間對彼此都比較熟悉，且教師可參考的成績指標較充分，容易將學生按照3～5人以小組的方式進行劃分。

第二，選取適合分組討論的內容。經教學研究討論，提煉出高等數學課程教學中適合分組討論的教學內容不完全列舉如下：工程和實際應用中什么問題的變化率是人們經常關注的；嘗試利用導數定義推導一些基本初等函數的導數公式；能否推導出正（余）切函數的求導公式；金屬薄片受溫度變化影響后對面積改變量的討論；總結各種未定式求極限的方法；微元法相關問題的討論和總結；愚公移山問題在級數中的應用；舉例一個收斂的級數、一個發散到無窮的級數、一個“和”沒有穩定趨勢的級數；討論什么樣的級數適合用比值法判別收斂性，什么樣的級數適合用比較法判別收斂性；討論函數展開成冪級數的優勢和作用；如何利用函數的冪級數展開求近似值。數學實驗課程針對四個核心教學模塊（矩陣代數模塊、函數與方程模塊、數值微積分模塊、微分方程模塊）的建模實驗，采用分組討論、協作完成的模式進行。課程中設置的建模實驗主題分別為：建立線性方程組模型的交通網絡流問題；建立高次方程的貸款利率問題；建立積分模型的奶油蛋糕問題；建立微分方程模型的導彈系統問題。從資料的搜集、問題分析、模型假設、模型建立到模型求解，每個實驗以項目教學、小組協作的方式展開，充分發揮學生的主觀能動性和團隊協作意識。

第三，課堂實施辦法。針對高等數學課程：由教師在課堂上講解概念和例題，遇到解題環節或需要總結或發現規律的理論環節，可由小組競爭的方式完成課程內容。例如，在學習拉格朗日乘數法求最值時，可以小組討論該方法的優勢是什么，同時小組內針對具體的應用題題目進行討論并求解；在學習級數時，可以讓學生總結規律：具有什么特點的級數適合比較法、比值法；針對二重積分的計算的習題，小組可展開互助討論：如何適當地選擇X型、Y型區域將二重積分化為二次積分，從而進行二重積分的計算。小組討論結束后，可以派代表總結組內意見，同時適當有區別地加分以激勵學生。對于常規性的基礎習題，可以開展小組間的競賽，隨機選取組內學生回答問題，并作為整個小組的成績，對于有一定難度或應用性較強的題目，可由小組自行派代表回答問題。教師在合作互助分組教學活動中應更多地讓學生參與到正常的學習過程中，從而需要更好地進行備課，盡可能地想到學生面對新知識、新教法所產生的種種問題。同時，教師應特別關注性格內向的學生在組內討論過程中的動態，鼓勵他們積極發出自己的聲音，同時引導小組成員之間互幫互助，提高團隊合作能力。針對數學實驗課程：該課程實際操作性較強，每學完一個知識點后，可以安排小組協作完成對應的實驗內容，同時，該課程融合數學建模，使學生能夠從分析問題到解決問題全線打通。例如，在學習Matlab編程基礎后，讓小組對實際應用中的累加求和等問題進行編程運算；學習了矩陣代數的Matlab指令后，對于實際應用問題，讓小組建立線性方程組模型，并進行軟件求解等。

（二）考核方式

分組形式下，每位學生的成績既要以所在小組共同成績為基礎，又要有個體差異。一方面，確定小組基礎分。小組討論的成績主要體現在平時成績考核的教學互動和階段測驗這兩項中。教學互動時，對于常規基礎題，以隨機抽取的學生回答情況代表小組整體成績；對于有難度的習題，則以小組派出代表的回答情況代表小組整體成績。階段測驗時，組內成員共同協作完成綜合題目。全體組內成員共同進退，這樣能夠逐漸培養出學生的集體榮譽感，使后進生能夠積極投入課堂討論中，也使優秀的學生能夠更深刻地理解所學知識，實現整體成績的提高。另一方面，確定個體差異分數。在小組整體得分的基礎上，對個體分數進行調整，采用小測驗的方式考核學生個體，題目的難度要有一定的區分度，設置60%以上的題目為基礎題，20%的題目為中等難度，20%的題目為難題，以此來對學生個體進行評分。

（三）實施效果

筆者將上述措施在理工類三個班級中實施，約260人，效果如下：第一，更加突出了學生的主體地位。學生在課前按要求預習，課堂上教師提出問題，學生以小組的形式進行分析討論。小組內的每一位成員都能夠展示自己學習體會和成果，尤其能讓數學基礎較差的學生發表自己的觀點看法，在小組學習氣氛的帶動下，敢于提出問題，成績更上一層樓。在某一組展示后，其他組的同學能大膽地進行點評，充分調動了學生的積極性和主動性，發揮了他們的主體性作用。第二，學生團隊合作意識有所增強，參加各類學科競賽時能夠更好地配合，并獲得獎項。最能夠激發學生學習積極性的方法就是讓學生之間成為利益共贏者，通過團隊合作，學生深刻體會到自己與整個小組一榮俱榮，從而提高學習興趣。第三，學生學習積極性增強。課堂氣氛更加活躍，數學學習更加輕松有趣。學生才是學習的主人，分組討論能夠使學生積極主動地去探索和求知，達到良好教學效果。

（四）該教學模式對學生參加數學建模競賽的促進作用

大學生數學建模競賽為大學生參與最廣泛的專業技能競賽之一，各個高校每年都會組織學生參加該賽事。建模競賽需要學生團隊合作進行數學建模、使用Matlab等軟件進行求解，并完成數學論文，這就對小組內成員的協作與分工提出了較高的要求。在數學課堂上實施分組教學，讓學生一直處于自己的小團體中，保持團隊協作的意識，組內成員互幫互助，能夠使學生在參賽時配合默契，有條不紊地完成比賽。另外，高等數學和數學實驗課程也為學生參加建模競賽提供了一定的理論基礎、建模思想和軟件使用方法。因此，無論是在知識上還是在配合方式上，都為學生參加建模競賽起到了積極的促進作用。

（五）待改進的問題

第一，個別團隊成員不穩定。在實施分組教學模式的過程中，個別團隊成員之間出現小矛盾，需要調整所在分組。這種情況一旦發生，會影響組內學生之間長期合作形成的習慣。第二，個別小組建設不完善，成員分工不明確。學生小組是一個小團體，需要完善組織建設，小組成員既有合作又有分工。目前，每個小組設立一個組長，個別組長責任落實不到位，造成學習任務分配混亂，組員在具體實踐中職責不明確，造成相互推諉的現象，影響學習效率。因此，在選擇組長時，組織協調能力的考察尤為關鍵。第三，個別學生“隱藏”在小組中，不作為。由于小組內學生學習水平有差異，因此一部分同學經常積極發言，而個別學生由于性格內向或出于不積極的心態，在小組中不作為，也正因為這個原因，對學生的考核不能以小組作為單位“一刀切”，而是要在小組共同分數的基礎上，考慮個體的差異，否則有失公平性。

三、數學課程與其他基礎類課程梯度分組教學模式的區別

高校的公共基礎課一般采用大班授課的教學方式，除了數學類課程，一般還包括大學英語課程、思政類課程、社科類課程等。顯然，其他大多為文科類課程，數學課程與其他課程實施分組方式的區別主要在于：第一，學科特點決定了分組討論的教學內容不同。文科課程需要學生在課堂上發散思維，往往通過討論、聯想和總結的方式提出自己的觀點或看法，為了完成上述任務，往往需要學生之間思維的碰撞，以組為單位的組內討論或組間討論很適用于這類任務。數學課程屬于理科課程，課堂上往往需要學生聚焦思維集中注意力，且教學內容環環相扣，邏輯性較強，因此課程中的一些內容是不適用于分組討論的。這就為數學課程的分組教學提出了一個難題，第二節所論述的具有數學課程特色的梯度分組方式在內容選取上給出了有別于其他公共基礎課程的具體方案。第二，分組方式不同。分組方式需考慮組內學生對數學知識的掌握程度，力求先進帶動后進，也需考慮學生的細心程度，希望在解題過程中，總有一位細心的同學能夠帶動其他同學改掉粗心做錯題的不良習慣。第三，學生的學習態度不同為數學分組教學提出了難題。一些學生喜歡課堂上文字、圖片和影音的視覺、聽覺上的多角度沖擊方式，也有些學生喜歡討論身邊的熱點問題或生活上的問題，面對數學課程嚴肅且邏輯性較強的理論推導和練習題會產生一些抵抗情緒，這也是數學教師需要深刻思考的教學改革難題。

結語

綜上所述，以數學課程為特色的梯度分組教學模式整體提高了學生的學習興趣，同時也為略顯枯燥的理論課程增添了新的活力，真正使課堂活起來，體現了以學生為中心的教學理念，在提高學生數學水平的同時，也增強了學生們團隊協作意識。但教學改革是一個長期的持續改進的實踐過程，數學課程的分組教學也會存在不完美的地方，因此，需要教師在長期的教學實踐中反復摸索，認清其發展規律，不斷總結優點、改正缺點，使分組教學模式更立體化，更適應現代高等教育的發展。

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作者簡介：劉晶晶（1988—?），女，漢族，遼寧鐵嶺人，碩士研究生，副教授，研究方向：智能計算、數學教學方法等。