兩個含時變系數的高維非線性演化方程新型孤子和多波解

秦宇昕 ,柳銀萍 ,徐桂瓊

（1.華東師范大學 計算機科學與技術學院,上海 200062;2.華東師范大學 數學科學學院,上海 200241;3.上海大學 管理學院,上海 200444）

0 引言

非線性演化方程,特別是高維非線性演化方程,可用于描述自然界中形形色色的非線性現象.因此,非線性演化方程解法的研究始終是數學物理領域的重要課題.近幾年,構造高維非線性演化方程的復雜波解受到了一些學者的重視和青睞[1-7].目前已經有很多關于常系數高維非線性演化方程不同類型波解的研究成果[8-14].然而,由于自然界中介質的不均勻性,含有變系數的非線性演化方程往往能更好地描述科學和工程背景下的真實特征,構造這類方程的新型波解是非常有意義的工作[15-18].本文通過引入特定的非線性行波變換,構造了兩個含時變系數的高維非線性演化方程的新型高階和多波相互作用解.

本文結構為: 第1 章針對(3+1) 維Boiti-Leon-Manna-Pempinelli(BLMP) 方程,引入特定的非線性行波變換,構造了其新型多波相互作用解;第2 章通過引入新的非線性行波變量,構造了(2+1)維圓柱Kadomtsev-Petviashvili(cylindrical Kadomtsev-Petviashvili,cKP) 方程的馬蹄形孤子、呼吸子和lump 波解之間的高階相互作用解;第3 章總結了本文工作的創新點,并得出了結論.

1 含時變系數的(3+1) 維BLMP 方程的新型多波相互作用解

(3+1) 維BLMP 方程

誕生于2012 年[19],其中u=u(x,y,z,t) ,x,y,z為空間變量,t為時間變量.該方程可作為描述不可壓縮流體的模型.當z=0 時,該方程可表示沿y軸傳播的黎曼波與沿x軸傳播的長波間的相互作用.關于式(1)的精確波解和相關性質的研究,目前已有了一些良好的成果,如已有文獻報道了其有理解、非行波解和其他相互作用波解[20-24].

文獻[25]將式(1)擴展至含有時變系數的BLMP 方程

式(2)中:αβ,是實常數;g(t)是一個依賴于時間t的變系數.文獻[25]討論了當g(t)為任意函數時,式(2)的Painlevé可積性,并構造了其孤子解.目前,已報道的式(2)的精確解都是基于線性行波變換的行波解,本文將通過引入非線性行波變換,構造該方程的馬蹄形孤子、周期波和lump 波解之間的新型多波相互作用解.

對式(2),通過Painlevé截斷展開法可以得到變換

其中f=f(x,y,z,t).將式(3)作用于式(2)中,并化簡之,得到關于函數f及其導數的方程

直接代數方法是構造非線性微分方程精確解的一種典型方法,該方法通過假設待求的解為特定先驗形式,進而將非線性微分方程的求解問題轉化為非線性代數方程組的求解問題.然而,對于高階波解或復雜的相互作用解,本文通過轉化得到的非線性代數方程組往往過于龐大,難以直接求解.為了解決這一計算瓶頸,本文提出了一種逐步求解此類大規模甚至超大規模非線性代數方程組的策略,稱之為“繼承求解”策略.該策略的主要思路是基于已知的低階解(即初始解),進一步構造更高階的解.由于利用直接代數法得到的非線性代數方程組通常具有很大的冗余度,因此基于這種策略往往可以大大簡化待求解的大規模非線性代數方程組.需要說明,為了簡化計算,下文中取g(t) 為特定的形式,如令g(t)=1/t,對于其他形式的g(t),計算過程完全類似.

為利用直接代數方法和繼承求解策略來構造高階波解,首先考慮其低階解,如式(2)的1-孤子解,相應的輔助函數

為非線性行波變換,δ1,k1,r1,s1,p1,ω1,c1,qi(i=1,2) 為未知參數.

將解的先驗假設形式(式(5))代入式(4),合并同類項,并令每一項的系數分別為零,得到一個包含16 個方程和9 個變量的非線性代數方程組.由于該方程組規模不大,直接求解可得到一組解

其中ξi(i=1,2,3) 的形式與式(5)中的相同.限于篇幅,其計算過程和解的表達式不再贅述.所獲得的1-孤子解,2-孤子解,3-孤子解的圖象分別如圖1(a)—(c)所示,圖1(d)—(f)分別是相應的密度圖,其中各坐標軸單位均為1.圖1 的作圖參數值為β=-1,c1=5,δ2=3,k2=1/3,c2=-10,c3=25,其余參數皆為 1 .從圖1 中可明顯地看出所獲得的孤子呈現馬蹄形狀.

圖1 式(2)的馬蹄形孤子解和密度圖Fig.1 Horseshoe-like solitons for Equation(2) and the density maps

為了獲得式(2)更復雜的多波解,如構造其1-lump、1-孤子和雅可比橢圓函數之間的相互作用解,可假設輔助函數

為行波變量,其中δi,ki,ri,si,pi,ωi,ci,qi是未知參數,模R滿足R2≤1.可以看出該行波變量是非線性的.將假設式(8)代入式(4),合并同類項,并令不同次冪項的系數為零,得到一個包含5 342 個方程和32 個變量的非線性代數方程組.該代數方程組規模過大,難以直接求解,因此將解(6)作為初始解以采用繼承求解策略.求解簡化后的非線性代數方程組,得到如下一組解:

將解(9)依次代入式(8)和式(3),即可獲得式(2)的1-lump、1-孤子和雅可比橢圓函數的多波相互作用解.該解在不同時刻的演化圖象如圖2(a)—(d)所示,圖2(e)—(h)分別是相應的密度圖.圖2 的作圖參數值為β=-1 ,R=1/10,δ1=1/2,k1=5/4 ,c1=30 ,q1=6 ,δ2=1/2 ,s2=-1,c2=30,q3=5,k4=-7/6,s4=1/2,其余參數值皆為1.可以看出,孤子的方向和孤子卷曲的程度隨時間而變化.特別是當t=0 時,孤子和lump 波都退化為線形波.

圖2 式(2)的1-lump,1-孤子和雅可比橢圓函數的多波相互作用解和密度圖Fig.2 Multiwave-interaction solutions of 1-lump,1-soliton,and the Jacobi elliptic cosine function for Equation(2)and the density maps

若假設輔助函數

其中δi,ki,ri,si,pi,ωi,ci,qi是未知參數,模R2≤1,便可以進一步構造式(2)的1-lump、3-孤子和雅可比橢圓函數的高階相互作用解,這里行波變量

仍然是非線性的.將解(6)作為初始解,基于繼承求解策略,可獲得如下一組解:

將解(11)代入輔助函數式(10)和式(3),得到式(2)的1-lump、3-孤子和雅可比橢圓函數的三波相互作用解.此外,通過共軛參數賦值[26],可以將其中的2-孤子轉換為1-呼吸子.這樣,該三波相互作用解將轉換為1-lump、1-呼吸子、1-孤子和雅可比橢圓函數間的四波相互作用解,如圖3 所示.圖3(a)為式(2)的1-lump,3-孤子和雅可比橢圓函數的三波相互作用解,作圖參數值為β=-1,R=1/10,s2=-1,k6=-1/2,c1=30 ,c2=30 ,c3=-15 ,δ4=3,k4=1/3 ,c4=-13 ,c5=15 ,q1=101,q9=100.圖3(b)為式(2)的1-lump,1-呼吸子,1-孤子和雅可比橢圓函數的四波相互作用解,作圖參數為k1=1/5 ,c1=4,k2=1/5 ,c2=4 ,δ3=2,k3=(2/3)i(i 為虛數單位),c3=-2 ,δ4=2 ,k4=(-2/3)i,c4=-2,δ5=2/3 ,q1=21 ,q9=20,其余參數值皆為1.圖3(c)和 圖3(d)是分別對應于圖3(a)和圖3(b)的密度圖.

圖3 式(2)的三波和四波相互作用解以及密度圖Fig.3 Three-wave-interaction solution and four-wave-interaction solution for Equation(2) and the density maps

2 (2+1) 維cKP 方程的馬蹄形孤子、呼吸子和lump 波解之間的高階相互作用解

Hirota 方法是構造非線性演化方程孤子解的最有效方法之一.在得到孤子解后,便可以通過共軛參數法進一步計算呼吸子解[26].同樣地,通過長極限法可由孤子解計算lump 解[26].本章將通過分解孤子解來構造以下cKP 方程的新型多波相互作用解：

其中u=u(x,y,t),γ是實常數.在研究分層介質中的內波以及具有壓力效應和橫向擾動的磁化等離子體時,式(12)于1978 年被首次推導出[27].已有文獻報道了其孤子解、有理波解以及1-lump 與孤子間的相互作用解等[28].本文通過引入一特定非線性行波變換來求解式(12)的馬蹄形孤子、呼吸子和lump 波解之間的高階相互作用解.

通過引入變換

其中f=f(x,y,t) ,式(12)被轉換為關于函數f及其導數的方程：

其中δi,si,ri,ki,ωi,ci為未知實參數.首先以此為基礎構造式(12)的孤子解.根據簡單Hirota 方法,孤子解可以表示為指數函數的組合形式,例如,1-孤子和2-孤子的輔助函數分別具有形式:

綜上所述,可以很容易計算出該方程的1-孤子和2-孤子的f表達式,相應的行波變量具有形式

上文提到,在獲得孤子解之后,可繼續通過共軛參數賦值將2-孤子轉換為1-呼吸子,也可利用長極限法和共軛參數賦值,將2-孤子轉換為1-lump 波.基于此,可將N分解為N=2m+2n+l,其中m、n及l均為自然數.將N- 孤子解中最前面的 2m-孤子轉換為m-lump 波,將中間的 2n-孤子轉換為n-呼吸子,并保持最后的l-孤子不變.由此可將N-孤子解分解轉換為m-lump、n-呼吸子和l-孤子間的三波相互作用解,為簡單起見,將這種解簡記為mL-nB-lS.需要說明,當m、n或l為零時,所獲得的多波相互作用解可退化為兩波相互作用解,甚至單波解.

接下來以N=5 為例來說明如何通過分解孤子解來構造不同波之間的相互作用解.首先,可將N拆分為兩個自然數之和,例如,令N=2+3,以此來計算1-lump 和3-孤子間的雙波相互作用解.根據長極限法,求得關鍵參數

其中?表示取共軛.將式(18)代入式(13),即可得到式(12)的1L-3S 雙波相互作用解.

接下來,通過共軛參數賦值,可將中間的 2- 孤子進一步轉化為 1- 呼吸子,即將N重新拆分為N=2+2+1.如此,便可以計算式(12)的1L-1B-1S 三波相互作用解,其相應的輔助函數為

其中的ξiR表示取行波變量ξi的實部.將輔助函數f1L-1B-1S代入變換式(13),最終得到了式(12)的1L-1B-1S 解.獲得的上述3 種解及其密度圖如圖4 所示.圖4(a)為式(12)的5-孤子解,作圖參數值為k1=1/10,r1=1/10 ,c1=0 ,k2=1/10,r2=3/10 ,c2=0,k5=1/10,k3=1/10 ,r3=2/5 ,c3=0,k4=1/10,r4=1/5 ,c4=0,r5=1/2 ,c5=0 .圖4(b)為 式(12)的3-孤子與1-lump 的相互作用解,作圖參數值為k1R=0,k1I=1/7 ,r1I=0 ,c1R=0 ,c1I=0 ,δ3=3,k3=1/10 ,r3=1/10 ,c3=10,δ4=3,k4=1/10,r4=3/10 ,c4=10 ,δ5=3,r5=1/2 ,c5=10 .圖4(c)為式(12)的1-孤子,1-呼吸子與1-lump 的相互作用解,作圖參數值為k1R=0,k1I=1/7 ,r1I=0 ,c1R=5 ,c1I=10 ,k2R=0,k2I=1/10,r2R=3/2 ,r2I=0 ,c2R=0 ,c2I=0 ,δ5=10,k5=1/10,r5=1/10 ,c5=15,t=1/10,其余參數值皆為1.其中kiR,ciR,riR分別表示ki,ci,ri的實部;kiI,ciI,riI分別表示ki,ci,ri的虛部.圖4(d)—(f)是分別對應于圖4(a)—(c)的密度圖.

圖4 式(12)的1L-1B-1S 三波相互作用解和密度圖Fig.4 Three-wave-interaction solution of 1L-1B-1S for Equation(12) and the density maps

基于上述孤子分解思想,可以計算出式(12)任意高階的馬蹄形孤子、呼吸子和lump 波解間的相互作用解.圖5 展示了幾個具有代表性的高階及多波解,限于篇幅,這里省略解表達式.相應的參數值如表1 所示.

表1 圖5 的參數表Tab.1 Parameters of Figure 5

圖5 式(12)的高階及多波相互作用解和密度圖Fig.5 Higher-order and multiwave-interaction solutions for Equation(12) and the density maps

3 結論

N-孤子分解算法和繼承求解策略是筆者課題組在構造常系數非線性演化方程的高階行波解時提出的,一般行波變量都是線性函數.本文通過引入非線性行波變量,并將該算法應用于高維變系數非線性演化方程,構造了它們的新型孤子解及其他的波解,包括不同波之間的相互作用解等.由此可見,本文應用的算法和求解技巧具有普適性,也可以很好適用于求解其他高維非線性演化方程.