光晶格中極性分子鏈的量子糾纏

岳文靜,魏 啟

（華東師范大學 精密光譜科學與技術國家重點實驗室,上海 200241）

0 引言

自Feynman[1]提出量子計算的概念之后,無論是在實驗上還是理論上,量子計算都得到了廣泛的關注,并逐漸成為今天的研究熱點.與傳統計算機的計算模式不同,量子計算是基于量子疊加態和量子糾纏態的一種新型計算模式,可以極大地提高計算機的計算效率.目前,量子計算已經在很多不同的物理體系中得到了研究,如離子阱系統[2-4]、量子點系統[5-6]、超導量子器件[7]和核磁共振系統[8-9]等.此外,2002 年耶魯大學的DeMille 提出的一種在極性分子體系中實現量子計算的理論方法,利用的是處于靜電場中的被束縛在一維光晶格中的超冷雙原子極性分子,其平行于外電場方向的電偶極矩編碼了量子比特,量子比特間通過偶極–偶極相互作用進行耦合,并且通過電場梯度對每個量子比特實現單獨尋址[10].這個提議開啟了在極性分子體系中實現量子計算的大門.

與原子體系相比,雙原子極性分子具有較大的永久偶極矩.一般情況下,原子沒有電偶極矩,但在CP 不守恒或時間反演對稱性破壞的情況下,原子體系就具有了永久偶極矩.然而原子體系的永久偶極矩非常小,如汞(Hg)原子[11]、銫(Cs)原子[12]和氙(Xe)原子[13]的永久偶極矩分別為5.0×10-20D、8.6×10-16D 和 1.4×10-18D(德拜,1 D=3.335×10-30C·m).極性分子的永久偶極矩可達到幾個德拜,如NaCl[14]、KCs[15]和SrO[16]分子的永久偶極矩分別為 9.002 D、1.920 D 和 8.900 D,平均約為原子體系永久偶極矩的 1 018倍.極性分子如此大的永久偶極矩使其更易被外場操縱.此外,極性分子具有更多的內部自由度,其能級結構不僅包括電子能級,還包括振動能級和轉動能級;在外電場作用下,其分子軸還可在電場方向的一定角度范圍內振蕩,形成擺動態.這些因素使極性分子可以編碼更多的量子比特.除此之外,近年來在制備、冷卻和操控極性分子領域也有顯著的成效[17-20].因此,被束縛在光晶格中的超冷雙原子極性分子被認為是一個能夠有效實現量子計算的物理平臺[21-35].

量子糾纏的概念最早是由Schr?dinger[36]提出,其反映的是量子態的不可分性.自量子糾纏提出以來,無論是在原子、光子還是固體材料系統中,量子糾纏都一直受到廣泛的關注與探索[37-40].糾纏現象是指兩個或多個子系統通過直接或間接的相互作用連接在一起的現象,這一現象是量子物理區別于經典物理的最獨特之處,也是量子計算算法的重要組成部分.隨著對量子糾纏的不斷研究,人們提出了各種不同的度量糾纏的方法,如部分熵糾纏度[41]、共生糾纏度[42-44]、負性熵糾纏度[45]、相對熵糾纏度[46]和全局糾纏度[47-48]等.此外,近年來極性分子體系中的量子糾纏也得到了一定的研究.Wei 等[24]首先以雙原子極性分子在外電場中形成的擺動態|00〉和|10〉作為量子比特,研究了兩個雙原子極性分子擺動態的共生糾纏度,重點分析了共生糾纏度對與分子偶極矩、電場強度、分子轉動常數、分子間距離和溫度有關的物理變量的依賴關系;隨后,Wei 等[33]又研究了極性陀螺分子體系本征態的量子糾纏.Liao[34]研究了在施加電場的情況下二維極性分子體系中的糾纏特性.Zhang 等[35]以極性陀螺分子在外電場中形成的擺動態|1,1,0〉和|2,1,0〉作為量子比特,研究了兩個極性陀螺分子通過偶極–偶極相互作用所導致的量子糾纏、量子關聯和相干性問題.

本文基于超冷雙原子極性分子在外加電場中分子軸繞電場方向、在一定角度范圍內振蕩而形成的擺動態,研究了呈線性排列的極性分子陣列的量子糾纏.與Wei 等[33]的先前工作相比,本文不僅考慮了兩體系統的相鄰糾纏,還考慮了多體系統的遠距離糾纏,分析了多體系統全局糾纏度對不同物理變量的依賴關系,這對實驗上實現極性分子體系糾纏態具有一定的理論意義.

本文后續結構: 首先詳細介紹光晶格中極性分子陣列的哈密頓量;然后分別介紹糾纏度量的方法,給出極性分子多體系統共生糾纏度、全局糾纏度與電場強度、分子電偶極矩、分子轉動常數、偶極–偶極相互作用及溫度等相關的物理變量之間的數值計算結果;最后對本文所得結論進行總結.

1 光晶格中極性分子陣列的哈密頓量

在外電場作用下,被囚禁在光晶格中的單個雙原子極性分子的哈密頓量(H) 為[24]

在光晶格中,當處于超低溫環境中時,極性分子的平動非常緩慢,接近于簡諧振動,因此,幾乎是一個常數,可以忽略不計;而轉動動能和相互作用勢能仍然是存在的.此時,如圖1 所示,取分子中心軸與外電場方向夾角為θ,哈密頓量(Hs) 形式為

圖1 外電場中2 個雙原子極性分子的構型Fig.1 The configuration of two diatomic polar molecules in an external electric field

圖2 在不同的 μ ε/B 取值下,雙原子極性分子的Stark 本征能量Fig.2 Stark state eigenenergies of the polar diatomic molecules for different μ ε/B values

其中aj和bj是與轉動量子數j有關的球諧函數的疊加系數.

圖3 給出了量子比特|0〉和|1〉中,球諧函數對應的系數(aj,bj)隨με/B的變化情況: 當με/B=0時,即不存在外電場,量子比特|0〉和|1〉分別是球諧函數的純轉動態;隨著με/B的增大,越來越多的具有相同磁量子數M但角量子數J不同的球諧函數混入,同時最初占主導地位的球諧函數所占份量相應減小,其他球諧函數所占份量逐漸增大.

圖3 量子比特態 | 0〉 和 | 1〉 中,球諧函數對應的系數 aj、bj 與 μ ε/B 的變化關系Fig.3 The relationship between the coefficients corresponding to spherical harmonic function,aj and bj,andμε/B for each of the qubit basis states,|0〉 and|1〉

對于N個相同的且呈線性等距r12排列的極性分子系統而言,其哈密頓量除了每一個分子的轉動動能和Stark 相互作用勢能外,還存在任意兩分子間的偶極–偶極相互作用

因此,在外電場作用下,被囚禁在光晶格中的N個相同的極性分子的哈密頓量(Htotal) 為

以N=2 為例,在2 個雙原子極性分子擺動態組成的基矢{|00〉,|01〉,|10〉,|11〉}下,哈密頓量的矩陣形式可表示為

式(7)中:E0和E1是量子比特|0〉和|1〉的本征能量;I1和I2均為 2×2 的 單位矩陣;C0、CX和C1的表達式分別為

其中,C0和C1分別是在量子比特|0〉和|1〉中 c osθ的期望值,表示極性分子的取向,即場致偶極矩,CX表示|0〉和|1〉之間的躍遷偶極矩.

圖4 給出了隨著με/B的增大,C0、C1和CX取值的變化情況.由圖4 可看出,隨著με/B的增大,C0從0 開始逐漸增大,CX逐漸減小,C1在με/B ＜2 時是負值,在με/B=4.9 時約等于0,之后逐漸增大.

圖4 場致偶極矩 C0、C1 和躍遷偶極矩 CX 的取值隨 μ ε/B 變化的示意圖Fig.4 Schematic diagram showing the relationship between values of molecular orientation,C0 and C1,and the transition dipole moment,CX ,withμε/B

2 光晶格中極性分子擺動態的糾纏

2.1 糾纏的度量

對量子系統進行糾纏度量的方法有很多種.本文采用共生糾纏度(concurrence)、全局糾纏度(global entanglement)的方法對被囚禁在光晶格中的極性分子陣列進行糾纏度的衡量.

1) 共生糾纏度

Wootters[43]證明了對于兩量子比特的一般本征態而言,糾纏度(E(ρ)) 可以用共生糾纏度(C(ρ)) 量化,它們的關系式可以寫為

其中h(x)=-xlog2x-(1-x)log2(1-x),當C在0～1 之間變化時,ξ(C) 也在0～1 之間單調遞增;C(ρ)的表達式為

這里λi(i=1,2,3,4) 是非Hermite 共軛算符

按降序排列的本征值,其中,ρ表示系統的密度矩陣,σy是泡利(Pauli)算符.

為了計算熱平衡狀態下極性分子擺動態的熱糾纏,本文引入與溫度有關的密度矩陣,其表達式為

式(13)中:β=(1/kB)T,其中kB是玻爾茲曼常數;其 中,Ei是 第i個本征值,gi是它的簡并度.因此,密度矩陣ρ可表示為

其中|ψi〉是第i個本征函數.從密度矩陣ρ(T) 中可以得到任意兩個極性分子體系的約化密度矩陣,從而得出任意溫度下的共生糾纏度.

2) 全局糾纏度

對于衡量多體量子系統的全局糾纏,起初Vedral 等[41]提出用測度函數Q來衡量,之后Brennen[48]給出了其具體表達式

其中ρi為子系統i的約化密度矩陣.通過式(15),可以得到多體量子系統的全局糾纏度.

2.2 線性極性分子陣列擺動態的糾纏度

將N個極性分子組成的一維分子鏈作為量子系統,其示意圖如圖5 所示,其中,外電場與分子陣列軸的夾角為α=π/2 .圖5 分別評估了該系統糾纏、分子數N與3 個無量綱變量:με/B、Ω/B、kT/B之間的關系.為了簡化問題,假設所有的躍遷頻率都相同,即 ΔEi=ΔE=E1-E0,忽略因單獨尋址分子而引起的微小變化.

圖5 N 個極性分子組成的一維分子鏈示意圖Fig.5 Schematic diagram of a one-dimensional molecular chain consisting of N polar molecules

圖6 展示了在με/B=1,kT/B=10-4,0.4,0.6,0.8 時,分子數N=2,3,···,8 的一維分子鏈系統共生糾纏度C12隨Ω/B的變化情況.比較圖6 的4 個圖可以得出,當給定με/B和kT/B的大小時,隨著Ω/B的增大,N=2 的系統糾纏度逐漸增大且越來越明顯地高于其他更大的系統,N>2 的系統糾纏度在Ω/B的一定范圍內基本保持一致;當kT/B增大時,只有Ω/B達到一定值,系統才會出現糾纏現象,且這一臨界值隨著kT/B的增大而增大.除此之外,還發現,當Ω/B較大且溫度較高時,在系統中添加第三個極性分子,C12會發生顯著變化,但再添加更多的極性分子時,C12不再發生很大的變化.

圖6 N 個分子組成的一維分子鏈系統共生糾纏度 C12 在不同溫度下隨 Ω/B 的變化Fig.6 The relationship between the pairwise concurrence C12 of a one-dimensional molecular chain system consisting of N molecules and Ω/B,at different temperatures

圖7 展示了在不同的溫度下,分子數N=2,3,···,7 時一維分子鏈系統的共生糾纏度C12隨με/B的變化情況.比較圖7 的4 個圖可以看出,當分子數N從3 增加到7 時,C12幾乎沒有變化,即分子數對系統糾纏度的影響并不大;在較低溫度下,即kT/B ＜0.4 時,C12在弱電場下取值較大且隨著με/B的增大而減小;在溫度較高下,即kT/B=0.6 時,C12最大值出現在特定的外電場強度下;當溫度更高時,即kT/B >0.8 時,只有當外電場強度大于某一臨界值時,C12才不為0,這時就需要更強的外電場來達到最大糾纏.

圖7 N 個分子組成的一維分子鏈系統共生糾纏度 C12 在不同溫度下隨 μ ε/B 的變化Fig.7 The relationship between the pairwise concurrence C12 of a one-dimensional molecular chain system consisting of N molecules and μ ε/B,at different temperatures

圖8 展示了N=8 的一維分子鏈系統共生糾纏度C12在不同取值的με/B和Ω/B下隨kT/B的變化情況.比較圖8 的4 個圖可以看出,當kT/B ＜0.4 時,C12幾乎是溫度的常函數,即量子系統的糾纏度不變;當溫度升高時,C12=0,即系統不再存在糾纏現象.出現這種現象的主要原因是基態與第一激發態之間的能隙大約處于這個數量級,當溫度較低時,熱密度矩陣主要由基態組成,很難填充激發態;然而,當溫度升高時,基態會與激發態混合,進而糾纏被消除.

圖8 N=8 的一維分子鏈系統共生糾纏度 C12 在不同的 μ ε/B 和 Ω/B 取值下隨 k T/B 的變化Fig.8 The relationship between the pairwise concurrence C12 of a one-dimensional molecular chain system and kT/B,for different values of Ω/B ,με/B

圖9 展示了N=8 的一維分子鏈系統中第一個分子與其他分子構成的擺動態的共生糾纏度在不同溫度下隨με/B的變化情況.比較圖9 的4 個圖可以看出,無論με/B和kT/B取多大的值,C12始終大于C13、C14等其他遠距離糾纏的共生糾纏度,也就是說近鄰糾纏總是占主導地位的.當kT/B的值增大時,只有在με/B達到一定值之后才會出現遠距離糾纏,且分子間距離越遠,對με/B這一值的要求就越大,同時這一臨界值隨著kT/B的增大而增大.由此可得,當Ω/B取值固定,即分子間距離不變時,低溫下的弱電場和高溫下的強電場有利于最大糾纏的出現,且遠距離糾纏出現在強電場中.

圖9 N=8 的一維分子鏈系統中第一個分子與其他任意分子構成的擺動態的共生糾纏度在不同溫度下隨 μ ε/B 的變化Fig.9 The relationship between the pairwise concurrence of pendular states formed by the first molecule and any other molecule in a one-dimensional chain system of N=8 and μ ε/B at different temperatures

圖10 給出了N=2,3,···,8 的一維分子鏈系統在不同的Ω/B的取值下全局糾纏度與με/B的函數關系.由圖10 可以看出,偶極–偶極耦合常數Ω/B從0.1 增大到1 的過程中,系統的全局糾纏度在不斷增大;隨著με/B的增大,全局糾纏度在逐漸減小至0;當Ω/B和系統分子數的取值越大時,即對于分子間間距小的大系統而言,全局糾纏度越大;但是當系統中包含越來越多的分子時,全局糾纏會很快收斂,比如當把分子數從N=2 增加到N=3 時,全局糾纏度有很大的不同,然而當從N=7 增加到N=8 時,幾乎沒有變化.

圖10 N 個分子組成的一維分子鏈系統在不同的 Ω/B 的取值下全局糾纏度隨 μ ε/B 的變化關系Fig.10 The relationship between global entanglement and μ ε/B for a one-dimensional molecular chain system consisting of N molecules

圖11 給出了N=2,3,···,8 的一維分子鏈系統在不同的με/B的取值下全局糾纏度隨Ω/B的變化情況.由圖11 可以看出,分子數為奇數和偶數的系統的全局糾纏度隨Ω/B的變化曲線呈現不同的趨勢,尤其是在με/B取較小值時.對于分子數為偶數的系統而言,無論με/B取多大值,全局糾纏度在Ω/B=0～4 范圍內總是隨著με/B的增大而增大;而對于分子數為奇數的系統,當με/B取1 和2 時,在大約Ω/B=3.5 處全局糾纏開始減小,當με/B=3,4.9 時,全局糾纏開始減小的臨界值將在Ω/B=4的范圍之外.

圖11 N 個分子組成的一維分子鏈系統中在不同的 μ ε/B 的取值下全局糾纏度隨 Ω/B 的變化關系Fig.11 The relationship between global entanglement and Ω/B for a one-dimensional molecular chain system consisting of N molecules,with different values ofμε/B

圖12 給出了在不同με/B和Ω/B取值下,一維分子鏈系統的全局糾纏度隨分子數N的變化情況.比較圖12 的4 個圖可以看出,系統全局糾纏度與分子數N之間的關系依賴于με/B和Ω/B的大小:當Ω/B取值較小時,一維分子鏈系統的全局糾纏度隨分子數N的增大而增大;然而當Ω/B取值較大時,系統全局糾纏度的大小會受分子數N是奇數還是偶數的影響,且這種影響會隨著με/B的增大而變得不再明顯.

圖12 一維分子鏈系統在不同的 μ ε/B 和 Ω/B 取值下全局糾纏度隨分子數 N 的變化關系Fig.12 Global entanglement as a function of molecular number N for one-dimensional molecular chain systems with different values of Ω/B andμε/B

3 結論

本文基于雙原子極性分子在外加電場中形成的擺動態,研究了熱平衡狀態下一維分子鏈系統的糾纏,數值分析了系統共生糾纏度和全局糾纏度和與電場強度、分子電偶極矩、分子轉動常數、偶極-偶極相互作用和溫度等有關的3 個無量綱變量之間的關系.研究發現,相鄰糾纏始終占主導地位,能夠在比遠距離糾纏更高的溫度下存活;即使激發態是高度糾纏的,熱糾纏度也不會超過基態糾纏度,然而,由于熱填充激發態的困難,熱糾纏可以在相當大的溫度范圍內保持與基態糾纏相同;若獲得較大的糾纏,則需要一個弱電場;若獲得高溫糾纏,則需要一個強電場.此外,對于全局糾纏,在分子間距較大的系統中分子數越多,全局糾纏度越大,在分子間距較小的系統中分子數為偶數時,全局糾纏度更大.