一道雙變量不等式問題引發的探究

王 欣 謝 輝 楊冬梅

(北京工業大學附屬中學)

雙變量導數問題一直是函數與導數問題的難點,求解此類問題的核心是消元,或通過同構法構造函數,利用函數的單調性求解.學生在問題解決的過程中,往往判斷不出兩個變量之間的關系,無法決定究竟是利用同構法進行變量分離構造新函數,還是通過消元的方式減少變量的個數,從而將原問題轉化為一元函數問題.本文通過分析一道雙變量不等式問題解決過程中學生出現的錯誤,找到學生在知識與方法上的誤區,制訂有針對性的學習策略.

1 錯解分析

評析上述解法至少存在三個誤區:第一,將割線的斜率直接等同于切線的斜率;第二,忽略x1,x2,a之間的關系,認為x1,x2是兩個任意的自變量;第三,過度放縮,導致a的取值影響到x1,x2的值.

錯解2學生受函數單調性定義的影響,將要證明的不等式進行了變量分離,證明過程如下.

部分學生在構造上述函數求導后發現,導函數F′(x)的符號由分子這個二次函數決定,且由于原函數存在兩個正極值點,則可以得到a＞2,因此分析二次函數會發現,其圖像大致如圖1所示.

圖1

因此,F′(x)并不滿足小于或等于0恒成立,故無法說明所構造的函數為減函數,從而無法完成證明.還有部分同學在的基礎上,發現了a與x之間的關系,即所構造的函數F(x)＝f(x)－(a－2)x,其自變量x其實是原函數的極值點,滿足x2－ax＋1＝0,變形后得到a＝x＋,將其代入F′(x),可得

于是F(x)是減函數,從而認為問題得證.

評析這種解法本質的錯誤在于忽略了x1,x2是原函數的兩個極值點,并不是兩個自由的自變量,兩者之間是有制約關系的,而函數的單調性定義中的x1,x2是兩個彼此之間沒有制約關系的自變量.此外,將a用替換也存在問題,因為a本身就是一個關于原函數極值點x的函數,在對F(x)進行求導時,不能將a視為常數,在求導后又將a視為關于x的函數,求導前后對于a的處理是矛盾的.此時終于有學生意識到構造的函數F(x)其實是原函數的極值點,因此a是關于極值點x的函數,應該將a用x表示,以達到消元的目的,于是得到

圖2

這個問題從一開始就不能忽略x1,x2,a三者之間的關系,應嘗試進行消元處理,將三個變量統一用一個變量來表示.

2 正解賞析

若f(x)有兩個極值點x1,x2,則x1＋x2＝a(a＞2),x1x2＝1,不妨設x1＜x2,則

評析此種解法是借助極值點的性質,找到x1,x2之間的關系,借助這個關系可以實現消元,轉化為關于x1或x2的單變量函數進行求解.在學習中,可以將這個問題進一步變成求f(x1)－f(x2)的取值范圍,于是有f(x1)－f(x2)＝2(x2－x1)＋a(lnx1－lnx2).運用消元的思想,借助極值點的性質,可以將a轉化為,將x2轉化為,則

即轉化為關于x1的單變量函數問題.這種解決雙變量導數問題的方法屬于直接消元法,借助變量之間的關系實現“化二為一”,通過構造新函數解決問題.

3 解題反思

雙變量導數問題屬于學習難點,學習時可以采取如下策略.

第一,搭設“臺階”.

解決上述問題前,可以先解決如下這個問題.

例1已知f(x)＝lnx＋ax2－2x有兩個不同的極值點,求a的取值范圍.

分析通過觀察該函數的定義域以及導函數,學生不難發現這個問題的本質是方程2ax2－2x＋1＝0有兩個不相等的正數解x1,x2.于是有Δ＝4－8a＞0,,解得.通過這個問題的求解過程引導學生有意識地去關注極值點的性質與兩個極值點之間的關系,為消元做好鋪墊.

第二,結構類似問題的辨析.

分析這個問題中的x1,x2是任意的正數,沒有相互的制約關系,這與x1,x2是函數的兩個不同的極值點有本質的區別.解題時可以考慮同構法,將含有x1,x2的不等式記為f(x1,x2)＞0(或＜0),通過分離變量的方法把不等式f(x1,x2)＞0中的x1,x2分配到不等式的兩邊,發現不等式兩邊的結構一致,即f(x1,x2)＞0?F(x1)＞F(x2),從而可將雙變量的不等式問題轉化為單變量函數F(x)的單調性問題.

第三,解決任意自變量與消元法相結合的問題.

例3求證:對任意0＜x1＜x2,都有

分析學生在解決這個問題時,進行了兩種嘗試,其一是關注到了x1,x2是任意的正數,因此嘗試通過同構法進行變量分離,但是失敗了;其二是嘗試消元,但是沒有找到兩個變量之間的數量關系,例如,都是某個函數的極值點或零點等,因此無法將一個變量用另一個變量來表示.此時,需要進一步關注不等式結構,通過引入第三個變量來實現消元,即欲證

雙變量不等式問題的求解策略是將雙變量轉化為單變量,本質上是消元.若兩個變量具有等量關系,可以采取直接消元法,即借助等量關系將一個變量用另一個變量來表示;若兩個變量是任意的,可以考慮同構法,通過變量分離來解決;若無法實現同構,可以考慮間接消元法,即通過引入第三變量來表示問題中的變量,整體換元,實現“化二為一”.總之,解決雙變量不等式問題時,學生需要觀察結構,識別類型,合理變形轉化.

(完)