一道雙變量不等式問(wèn)題引發(fā)的探究

王 欣 謝 輝 楊冬梅

(北京工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué))

雙變量導(dǎo)數(shù)問(wèn)題一直是函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的難點(diǎn),求解此類問(wèn)題的核心是消元,或通過(guò)同構(gòu)法構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性求解.學(xué)生在問(wèn)題解決的過(guò)程中,往往判斷不出兩個(gè)變量之間的關(guān)系,無(wú)法決定究竟是利用同構(gòu)法進(jìn)行變量分離構(gòu)造新函數(shù),還是通過(guò)消元的方式減少變量的個(gè)數(shù),從而將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問(wèn)題.本文通過(guò)分析一道雙變量不等式問(wèn)題解決過(guò)程中學(xué)生出現(xiàn)的錯(cuò)誤,找到學(xué)生在知識(shí)與方法上的誤區(qū),制訂有針對(duì)性的學(xué)習(xí)策略.

1 錯(cuò)解分析

評(píng)析上述解法至少存在三個(gè)誤區(qū):第一,將割線的斜率直接等同于切線的斜率;第二,忽略x1,x2,a之間的關(guān)系,認(rèn)為x1,x2是兩個(gè)任意的自變量;第三,過(guò)度放縮,導(dǎo)致a的取值影響到x1,x2的值.

錯(cuò)解2學(xué)生受函數(shù)單調(diào)性定義的影響,將要證明的不等式進(jìn)行了變量分離,證明過(guò)程如下.

部分學(xué)生在構(gòu)造上述函數(shù)求導(dǎo)后發(fā)現(xiàn),導(dǎo)函數(shù)F′(x)的符號(hào)由分子這個(gè)二次函數(shù)決定,且由于原函數(shù)存在兩個(gè)正極值點(diǎn),則可以得到a＞2,因此分析二次函數(shù)會(huì)發(fā)現(xiàn),其圖像大致如圖1所示.

圖1

因此,F′(x)并不滿足小于或等于0恒成立,故無(wú)法說(shuō)明所構(gòu)造的函數(shù)為減函數(shù),從而無(wú)法完成證明.還有部分同學(xué)在的基礎(chǔ)上,發(fā)現(xiàn)了a與x之間的關(guān)系,即所構(gòu)造的函數(shù)F(x)＝f(x)－(a－2)x,其自變量x其實(shí)是原函數(shù)的極值點(diǎn),滿足x2－ax＋1＝0,變形后得到a＝x＋,將其代入F′(x),可得

于是F(x)是減函數(shù),從而認(rèn)為問(wèn)題得證.

評(píng)析這種解法本質(zhì)的錯(cuò)誤在于忽略了x1,x2是原函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn),并不是兩個(gè)自由的自變量,兩者之間是有制約關(guān)系的,而函數(shù)的單調(diào)性定義中的x1,x2是兩個(gè)彼此之間沒(méi)有制約關(guān)系的自變量.此外,將a用替換也存在問(wèn)題,因?yàn)閍本身就是一個(gè)關(guān)于原函數(shù)極值點(diǎn)x的函數(shù),在對(duì)F(x)進(jìn)行求導(dǎo)時(shí),不能將a視為常數(shù),在求導(dǎo)后又將a視為關(guān)于x的函數(shù),求導(dǎo)前后對(duì)于a的處理是矛盾的.此時(shí)終于有學(xué)生意識(shí)到構(gòu)造的函數(shù)F(x)其實(shí)是原函數(shù)的極值點(diǎn),因此a是關(guān)于極值點(diǎn)x的函數(shù),應(yīng)該將a用x表示,以達(dá)到消元的目的,于是得到

圖2

這個(gè)問(wèn)題從一開始就不能忽略x1,x2,a三者之間的關(guān)系,應(yīng)嘗試進(jìn)行消元處理,將三個(gè)變量統(tǒng)一用一個(gè)變量來(lái)表示.

2 正解賞析

若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,則x1＋x2＝a(a＞2),x1x2＝1,不妨設(shè)x1＜x2,則

評(píng)析此種解法是借助極值點(diǎn)的性質(zhì),找到x1,x2之間的關(guān)系,借助這個(gè)關(guān)系可以實(shí)現(xiàn)消元,轉(zhuǎn)化為關(guān)于x1或x2的單變量函數(shù)進(jìn)行求解.在學(xué)習(xí)中,可以將這個(gè)問(wèn)題進(jìn)一步變成求f(x1)－f(x2)的取值范圍,于是有f(x1)－f(x2)＝2(x2－x1)＋a(lnx1－lnx2).運(yùn)用消元的思想,借助極值點(diǎn)的性質(zhì),可以將a轉(zhuǎn)化為,將x2轉(zhuǎn)化為,則

即轉(zhuǎn)化為關(guān)于x1的單變量函數(shù)問(wèn)題.這種解決雙變量導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的方法屬于直接消元法,借助變量之間的關(guān)系實(shí)現(xiàn)“化二為一”,通過(guò)構(gòu)造新函數(shù)解決問(wèn)題.

3 解題反思

雙變量導(dǎo)數(shù)問(wèn)題屬于學(xué)習(xí)難點(diǎn),學(xué)習(xí)時(shí)可以采取如下策略.

第一,搭設(shè)“臺(tái)階”.

解決上述問(wèn)題前,可以先解決如下這個(gè)問(wèn)題.

例1已知f(x)＝lnx＋ax2－2x有兩個(gè)不同的極值點(diǎn),求a的取值范圍.

分析通過(guò)觀察該函數(shù)的定義域以及導(dǎo)函數(shù),學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)這個(gè)問(wèn)題的本質(zhì)是方程2ax2－2x＋1＝0有兩個(gè)不相等的正數(shù)解x1,x2.于是有Δ＝4－8a＞0,,解得.通過(guò)這個(gè)問(wèn)題的求解過(guò)程引導(dǎo)學(xué)生有意識(shí)地去關(guān)注極值點(diǎn)的性質(zhì)與兩個(gè)極值點(diǎn)之間的關(guān)系,為消元做好鋪墊.

第二,結(jié)構(gòu)類似問(wèn)題的辨析.

分析這個(gè)問(wèn)題中的x1,x2是任意的正數(shù),沒(méi)有相互的制約關(guān)系,這與x1,x2是函數(shù)的兩個(gè)不同的極值點(diǎn)有本質(zhì)的區(qū)別.解題時(shí)可以考慮同構(gòu)法,將含有x1,x2的不等式記為f(x1,x2)＞0(或＜0),通過(guò)分離變量的方法把不等式f(x1,x2)＞0中的x1,x2分配到不等式的兩邊,發(fā)現(xiàn)不等式兩邊的結(jié)構(gòu)一致,即f(x1,x2)＞0?F(x1)＞F(x2),從而可將雙變量的不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單變量函數(shù)F(x)的單調(diào)性問(wèn)題.

第三,解決任意自變量與消元法相結(jié)合的問(wèn)題.

例3求證:對(duì)任意0＜x1＜x2,都有

分析學(xué)生在解決這個(gè)問(wèn)題時(shí),進(jìn)行了兩種嘗試,其一是關(guān)注到了x1,x2是任意的正數(shù),因此嘗試通過(guò)同構(gòu)法進(jìn)行變量分離,但是失敗了;其二是嘗試消元,但是沒(méi)有找到兩個(gè)變量之間的數(shù)量關(guān)系,例如,都是某個(gè)函數(shù)的極值點(diǎn)或零點(diǎn)等,因此無(wú)法將一個(gè)變量用另一個(gè)變量來(lái)表示.此時(shí),需要進(jìn)一步關(guān)注不等式結(jié)構(gòu),通過(guò)引入第三個(gè)變量來(lái)實(shí)現(xiàn)消元,即欲證

雙變量不等式問(wèn)題的求解策略是將雙變量轉(zhuǎn)化為單變量,本質(zhì)上是消元.若兩個(gè)變量具有等量關(guān)系,可以采取直接消元法,即借助等量關(guān)系將一個(gè)變量用另一個(gè)變量來(lái)表示;若兩個(gè)變量是任意的,可以考慮同構(gòu)法,通過(guò)變量分離來(lái)解決;若無(wú)法實(shí)現(xiàn)同構(gòu),可以考慮間接消元法,即通過(guò)引入第三變量來(lái)表示問(wèn)題中的變量,整體換元,實(shí)現(xiàn)“化二為一”.總之,解決雙變量不等式問(wèn)題時(shí),學(xué)生需要觀察結(jié)構(gòu),識(shí)別類型,合理變形轉(zhuǎn)化.

(完)