憑借隨機真實數據，發展學生的數據意識
——以蘇教版數學四年級上冊“可能性”的教學片段為例

江蘇省無錫市新吳區碩放實驗小學 曹秋濤 周夢瀟

筆者所在的數學工作團隊對蘇教版數學四年級上冊“可能性”一課進行了集體研究、團隊磨課活動。我們用新課標的核心素養為導向，以尋找切合學生當前認知水平、喚醒和發展學生的數據意識為目標，反復打磨。在一次又一次的磨課中，我們不僅深化了對“可能性”教材內容的認識，還對新課標的課程理念產生了基于實踐后的理解和認同。我們把核心素養的主要表現之一的“數據意識”，作為本堂課的核心概念，統攝整堂課的設計、推進和演化。

課上，學生通過游戲隨機生成真實有效的數據，通過觀察分析多組數據，對事件發生的可能性有了深刻的感悟，并初步養成對數據認真觀察和分析、用數據來說話、表征的習慣。本設計通過知識（數據組）的結構化呈現，讓學生對“可能性”知識產生較為整體和系統的認識，即先教學可能性和可能性的大小，通過可能性大小的動態變化，讓學生深刻理解確定性事件（“一定”和“不可能”）。那么，我們是如何憑借真實有效的數據，層層深入地引導學生感悟事件發生的隨機性，逐步發展學生的數據意識的呢？我們試著利用案例分析的形式，進行較為具體的剖析和總結。

一、精心組織數學實驗，催生真實有效的數據

讓學生通過觀察，分析自己隨機生成的有效數據、真實數據來感悟數據蘊含的信息，進而發現其中的規律，是本堂課得以展開和推進的前提。精心組織學生參與數學實驗不僅是為了催生真實游戲的統計數據，還是為了培養學生的科學態度和理性精神。本堂課設計了三個實驗，團隊周老師提出了明確且有層次性的實驗操作要求。

第一次實驗的摸球游戲規則：

師生合作摸球。黑色袋子中裝有1個紅球和1個黃球（它們的大小、材質相同），學生事先不知道球的顏色和個數。摸球員每次任意摸出1個球，摸完后放回；操作員（教師）每次摸完需攪一攪袋中的球；記錄員記錄每次摸球的結果；其他同學觀察并思考摸幾次就可以判斷袋中2個球的顏色。

第二次實驗的摸球游戲規則：

每個小組有1個黑色袋子，袋子中裝有1個紅球和1個黃球（它們的大小和材質相同），學生事先知道顏色和個數。每個小組各摸球10次；摸球員每次任意摸出1個球，摸完后放回；操作員每次摸完需攪一攪袋中的球；記錄員用貼紅色或黃色圓片的方式記錄每一次摸球的結果，最后把摸到紅球和黃球的次數分別寫在“摸球記錄表”中。

第三次實驗的摸牌游戲規則：

每個小組有4張撲克牌（3張紅桃、1張黑桃），操作員在每次摸牌前，都要重新洗牌，把牌打亂；記錄員記錄每次摸牌結果；其他組員輪流摸牌，共摸20次；記錄員用寫“正”字的方法將每次摸牌結果記錄在“摸牌記錄表”中。

通過對上述三個實驗規則的解讀，在磨課的過程中，我們發現，只要學生的摸球（摸牌）的操作不規范，就可能造成極端數據。比如，第三個數學實驗——摸3張紅桃和1張黑桃中的任意一張牌，摸到紅桃，教師贏，摸到黑桃，同學贏。結果，學生為了贏教師就盯著操作員重新洗牌的手，導致出現摸到黑桃的次數反而比紅桃的次數多的情況。為了使實驗得出的數據真實有效，我們有必要精心設計實驗的要求，規范操作的流程和方法。第一個實驗由教師和學生合作完成，教師負責摸完球后把球放入黑色袋子中攪一攪。這一做法就是給學生一個操作的示范——如何把袋子中的球攪亂，這樣就可以保證第二個實驗能夠順利有效地展開。第三個實驗中，之前學生洗牌的時候是放在課桌上洗的，這樣洗牌不容易把牌攪亂。所以，我們最后決定讓學生把牌放在課桌里來回疊放、穿插。正因為我們對這三個實驗操作要求上的精益求精，才催生了一組又一組真實有效的數據，為學生下一步的觀察數據、分析數據提供可靠的依據。

二、基于真實數據觀察，培養用數據說話的習慣

新課標指出，在義務教育階段，數學語言主要表現為數據意識或數據觀念、模型意識或模型觀念、應用意識。通過經歷用數學語言表達現實世界中的簡單數量關系與空間形式的過程，學生能初步感悟數學與現實世界的交流方式；能夠感悟數據的意義與價值，有意識地使用真實數據表達、解釋與分析現實世界中的不確定現象。“可能性”知識對于四年級學生而言，是非常抽象且很難真正理解和把握的。如果沒有一種深入體驗隨機事件的學習過程，學生對這部分知識的理解會浮于表面，形成一種機械的認識。培養學生用數據說話，不僅是培養學生數據意識的有效途徑，還是培養學生有依據地進行數學思考、數學表達的思維方式。“可能性”的教學，如果脫離了“用數據說話，用數據思考”的學習方式，就只能產生那種從結論到結論的、機械式的、膚淺的認知，也很難使學生體會“隨機性”“等可能性”的本質內涵。

在第一個數學實驗“學生摸球猜顏色”中，師生對話如下：

生1：我摸了3次，第一次和第二次摸到的球都是紅球，第三次摸到了黃球，我認為袋子中，1個是紅球，1個是黃球。

生2：我摸了4次，前三次都摸到了黃球，第四次摸到了紅球，我認為袋子中1個是紅球，1個是黃球。

生3：我摸了2次，第一次摸到了紅球，第二次摸到了黃球，我認為袋子中1個是紅球，1個是黃球。

師：袋子中確實裝著1個紅球和1個黃球，為什么第三個同學摸2次就能判斷出這個結果，而第二個同學摸了4次才猜出這個結果呢？

生4：因為第三個同學的運氣好，恰好第一次摸到紅球，第二次摸到黃球，而第二個同學的運氣沒有第三個同學的運氣好，他連摸三次都是黃球。

片段分析：讓學生學會用數學的語言表達現實世界，除了需要掌握必要的數學知識，還需要引導學生將生活語言的表達轉換成數學語言的表達。作為小學階段唯一的關于概率的教學內容——“可能性”，沒有相應的數學概念的支撐，學生可以用自己的語言來表達。教師的任務就是幫助學生順利完成這種過渡和轉換。課堂伊始，教師就有意識地讓學生用數據說話。通過簡單數據的比較，學生自然發現了摸球游戲中，摸到什么顏色的球，存在著“運氣”的成分，而這種“運氣”正是數學上的可能性事件中的隨機性。

在第二個數學實驗（黑色袋子中裝有1個紅球和1個黃球，分小組摸球，一共摸10次）中，教師先讓學生預測可能摸到幾個紅球和幾個黃球。下面是摸球結束后的師生對話：

生1：我們小組摸到紅球6次，摸到黃球4次。

生2：我們小組摸到紅球5次，摸到黃球5次。

生3：我們小組摸到紅球3次，摸到黃球7次。

……

師：誰來說說，10次摸球的結果與你預測的結果一樣嗎？為什么？

生1：我預測摸到5次紅球和5次黃球，實際摸到6次紅球和4次黃球，實際摸球的結果與預測的結果不一樣，因為每一次摸球之前，都無法確定到底摸到紅球還是黃球。

生2：我們小組摸球的結果與預測的結果一樣，都是摸到5次紅球和5次黃球。

生3：我們小組實際摸到紅球3次，摸到黃球7次，預測紅球摸到6次，黃球摸到4次，摸球的結果與預測不一樣，我們認為摸到紅球或黃球都要靠運氣，摸到黃球的運氣好一點。

師：袋子中有1個紅球和1個黃球，每一次摸球之前，我們都無法知道下一次摸到什么顏色的球，但我們知道要么摸到1個紅球，要么摸到1個黃球，也就是摸到紅球和摸到黃球的機會是一樣的。

片段分析：培養學生用數據說話的習慣的起點在于進行數據的使用。本環節設計的目的在于將實際摸球的數據和預測的數據進行比較，讓學生初步感知可能性事件發生的不確定性、隨機性。由于八組數據中出現了三組都是5個紅球和5個黃球的情況，學生隱隱覺得摸到紅球和摸到黃球的可能性相等。但是，教師并不急于得出“可能性相等”這樣的數學規律，而是代之以“摸到紅球和摸到黃球的機會相等”這樣通俗易懂的話語，為學生下一步探索“等可能性”積累活動經驗，提供思維方向。

三、在大數據觀察和分析中感悟，在數據比較中推想

本堂課的難點是讓學生感悟理解隨機事件中的“等可能性”。為了突破這個難點，教師設計了三個環節，先通過摸球游戲（黑色袋子中裝有1個紅球和1個黃球），讓學生初步感知事件發生的等可能性。摸球的總次數只有10次，摸到紅球的次數和摸到黃球的次數之間的差距會比較大，所以，這時候的等可能性的趨勢并不明顯，學生對等可能性的認知屬于猜測和疑問的階段。

教師再介紹數學家蒲豐、費勒、皮爾遜三人用大數據來研究拋硬幣的實驗數據（見表1）。學生閱讀后發現，隨著拋硬幣的總次數越來越大，硬幣正面朝上的次數與反面朝上的次數越來越接近。這時候，學生慢慢領悟到正面朝上與反面朝上可能性相等。雖然可能性相等，但由于拋硬幣中的隨機性始終伴隨，正面朝上與反面朝上的次數很難絕對相等。第三個實驗中，教師通過摸牌游戲，問學生：“摸到紅桃A、紅桃2、紅桃3和紅桃4的可能性是怎樣的？為什么摸到其中任意一張牌的可能性相等？”由于已經有了摸球體驗可能性相等積累的直接經驗以及觀看數學家拋硬幣得到的間接經驗，學生回答：“摸到其中任意一張牌的可能性相等”。他們不是簡單地理解了因為任意摸這4張牌有4種可能，所以摸到每張牌的可能性都相等，而是已經理解了在可能性相等的情況下，連續摸4次，不一定正好每張牌被摸到1次。

表1 數學家拋硬幣實驗

只有通過大數據支撐的問題情境，才能讓隨機事件中的“等可能性”這一不容易被發現的規律“水落石出”。通過小數據和大數據實驗結果的比較，學生才能發現，等可能性在小數據的情境中具有極端性、不穩定性，只有在大數據的情境中，才能表現出相對穩定性。這樣的比較，既揭示了等可能性的規律，又為學生進一步感悟事件發生的隨機性提供了生動翔實的數據參考。

通過反復的磨課和反思，我們認為，本課錨定發展學生的數據意識是成功的關鍵；精心組織數學實驗，讓學生隨機生成真實有效的數據是成功的前提；挑戰性問題的驅動和教師適當、適宜的介入指導、啟發是本堂課成功的保障。

學生的數據意識的形成不是一蹴而就的，而是在一次次的調查研究、收集數據、整理數據和分析數據的過程中逐步養成的。本課的教學設計牢牢抓住“數據意識”這個核心概念，組織引導學生參與數據統計和數據分析的全過程，在難點處設置多個認知環節，讓學生的認知感悟逐步推進，逐漸觸摸知識的本質。