特殊與一般思想“特”解選填題

冼虹雁

問題是數學的心臟.那么解題的思想方法就是數學的靈魂.數學家波利亞把一般化、特殊化及類比并列稱為“獲得發現的偉大源泉”.這里的“一般化”和“特殊化”就是數學的特殊與一般思想.特殊與一般的辯證思想往往貫穿于整個解題過程之中，一般問題特殊化（具體化）能使我們把問題認識得更加全面，而將特殊問題一般化（抽象化）則能使我們認識問題更加深刻.一般寓于特殊之中.一般成立，其特殊也會成立；特殊不成立，其一般也不會成立.因此，當選填題的結論或題設中的信息暗示答案是一個定值（或范圍）時，可以把題中變化的不定量用特殊值（或特殊函數、特殊角、特殊數列、圖形的特殊位置、特殊點等）進行準確、快速地解答，真正實現小題不大做.本文結合一些典型高考題和模擬題，試圖在特殊與一般思想解選填題的“特”上，做一番剖析．

一、特殊值

例1. （2023·安徽六校教育研究會高三年級入學測試·7）已知向量 ， 的夾角為60°的單位向量，若對任意的x 1·x 2∈（m，+∞），且x 1 ?- ?，則m的取值范圍是（ ?）

A .［ e 2，+∞）

B .［ e ，+∞）

C . ?1 ?e ?，+∞

D . ?1 ?e ?， e

方法1： ?因為 · = ?｜·｜ ?· cos ?60°=1×1× 1 2 = 1 2 ，

所以 ?· ?= （ · ）2 = ?2-2 · + 2 =1．

因為對任意的x 1·x 2∈（m，+∞），且x 11，

則x 1 ln x 2-x 2 ln x 1

所以 ?ln x 2 x 2 - ?ln x 1 x 1 < 1 x 2 - 1 x 1 ，即 ?ln x 2-1 x 2 < ?ln x 1-1 x 1 ，

設f（x）= ?ln x-1 x ，即f（x）在（m，+∞）上單調遞減.

又x∈（0，+∞）時，f′（x）= 2- ln x x2 =0，解得x= e 2，

所以x∈（0， e 2），f′（x）>0，f（x）x∈（0， e 2）上單調遞增；x∈（ e 2，+∞），f′（x）<0，f（x）在x∈（ e 2，+∞）上單調遞減，所以m≥ e 2.故選 A ．

方法2： 因為對任意的x 1、x 2∈（m，+∞），且x 11，

當m= 1 ?e ?時，不妨設x 1=1，x 2= e ，即 1· lne-eln 1 1- e ?<1，排除 C、D ；

當m= e 時，不妨設x 1=3，x 2=4，

即 3 ln 4-4 ln 3 3-4 =4 ln 3-3 ln4=ln 34- ln 43= ln ?34 43 <1，排除 B.故選A ．

點評： 方法1通過整理不等式，構造函數研究其單調性，可得答案.難點是將不等式轉化為兩邊有相同結構的“同構”式，進一步構造函數得到：當x 1

例2. ?（2023·大灣區第一次聯考·8）設數列{a n}的前n項和為S n， a 1=1，且2S n=a n+1-1 （n∈ N *）. 若對任意的正整數n， 都有a 1b n+a 2b n-1+a 3b n-2+…+a nb 1=3n-n-1成

立，則滿足等式b 1+b 2+b 3+…+b n=a n的所有正整數n為 ?（ ?）

A. 1或3

B .2或3

C .1或4

D .2或4

方法1： 由2S n=a n+1-1①，所以2a 1=a 2-1 ，a 2=3．

又2S n-1=a n-1 ②，①－②得2a n=a n+1-a n， a n+1 a n =3（n≥2），且 a 2 a 1 =3，

所以數列{a n}為首項是1，公比是3的等比數列，所以a n=3n-1．

由a 1b n+a 2b n-1+a 3b n-2+…+a nb 1=3n-n-1，

得b n+31b n-1+32b n-2+…+3n-1b 1=3n-n-1……③

則b n+1+31b n+32b n-1+…+3nb 1=3n+1-n-2……④

④-③×3，得b n+1=2n+1．

又b 1+b 2+b 3+…+b n=a n得b 1=a 1=1，所以b n=2n-1，n2=3n-1．

令f（n）= n2 3n-1 ，則有f（n）=1，又f（1）=1，f（2）= 4 3 ，f（3）=1，

當n≥3時f（n+1）-f（n）= （n+1）2 3n - n2 3n-1 = 2n（1-n）+1 3n <0，

所以當n≥4時f（n）

方法2： 由a 1=1且2S n=a n+1-1，易知a 1=1，a 2=3，a 3=9.再由a 1b n+a 2b n-1+a 3b n-2+…+a nb 1=3n-n-1，不難得到b 1=1，b 2=3，b 3=5.因為b 1=a 1，b 1+b 2+b 3=a 3，所以n=1或n=3．

點評： ?方法1通過求數列{a n}、｛b n｝的通項公式并求和，雖然在討論方程n2=3n-1的整數解的時候可以代入選項檢驗，但對思維嚴謹性的要求較高，且耗時費力.若有“遇到困難找特殊”的解題意識，從特殊值入手，則可使問題峰回路轉，快速獲解.尤其是在做單選題時，可參考選項，將特殊值法和排除法結合起來排除一些選項，余下的一個即為正確答案．

二、特殊角

例3. （2022·全國Ⅱ卷·6）若 sin （α+β）+ cos （α+β）=2 2 ?cos ??α+ ?π ?4 ??sin ?β，則（ ?）

A . tan （α-β）=1

B . tan （α+β）=1

C . ?tan （α-β）=-1

D . tan （α+β）=-1

方法1： 由

sin （α+β）+ cos （α+β）=2 2 ?cos ??α+ ?π ?4 ??sin ?β得：

sin ?α cos ?β+ cos ?α sin ?β+ cos ?α cos ?β-

sin ?α sin ?β=2（ cos ?α- sin ?α） sin ?β，

即 sin ?α cos ?β- cos ?α cos ?β+ cos ?α cos ?β+ sin ?α sin ?β=0，

即 sin （α-β）+ cos （α-β）=0，所以 tan （α-β）=-1.故選 C ．

方法2： 取β=0，得 sin ?α+ cos ?α=0，此時 tan （α+β）= tan （α-β）= tan ?α=-1，排除 A、B ；

取α=0，得 sin ?β= cos ?β，此時 tan （α+β）=1， tan （α-β）=-1，排除 D .故選 C ．

點評： 本題考查了三角函數的恒等變形，而運用特殊角檢驗，避免了繁瑣的恒等變形.若題中涉及求字母的值或范圍，但結論又不受字母取值的影響，此時通過觀察字母數據的特殊性，取特殊值求解，可達到簡化運算、快速求解的目的．

三、特殊圖形

例4. （2023·河南省平許濟洛高三第二次質量檢測·10）在

△ABC中，點E為AC的中點，AF =2FB ，BE與CF交于點P，且滿足BP =λBE ，則λ的值為（ ??）

A. ?1 3

B. ?1 2

C. ?2 3

D. ?3 4

方法1： 如圖，因為點E為AC的中點，AF =2FB ，

由AP =AB +BP =AB +λBE =AB+ λ（AE -AB ）=（1-λ）AB +λAE = 3（1-λ） 2 AF + λ 2 AC

，因為F，P，C三點共線，所以 3（1-λ） 2 + λ 2 = 3-2λ 2 =1，解得λ= 1 2 .故選 B ．

方法2： 如圖，構造等腰直角△ABC并建系，易知BE，CF所在直線分別為y=x和y=- 1 3 x+2，聯立得P ?3 2 ， 3 2 ?，故BP = 1 2 BE ，所以 λ= 1 2 ?．

點評： 方法1是結合平面向量的基底法，看似簡捷，實際上有一定的難度：不僅要熟練掌握向量的運算，還要找準解題方向——將條件BP =λBE 向AP =xAF +yAC 的形式靠攏，再利用三點共線x+y=1的性質解題，不易操作.方法2有三個亮點——不僅把△ABC “特”成直角三角形，還“得寸進尺”的“特”成了等腰直角三角形，并建系.通過特殊圖形的構造——直角三角形（平行四邊形可以構造矩形，甚至正方形），既可以巧妙借助直角三角形的性質以及三角形相似等幾何知識來解決，還能引入平面直角坐標系，從而使向量的線性運算與數量積轉化為向量的坐標運算，運算起來更為快捷方便，而且不失一般性，提高解題效益．

四、特殊數列

例5. （2023·吉林省吉林市高三第二次調研·5）已知｛a n｝是等比數列，下列數列一定是等比數列的是 （ ??）

A .{ka n}（k ∈ R }

B .{a n+a n+1}

C .{a n+1}

D .{a n+a ?n+1+a n+2}

方法1： 設等比數列｛a n｝的公比為q，

當k=0時，ka n=0，數列{ka n}不是等比數列；

當q=-1時，a n+a a+1=0，數列{a n+a n+1}不是等比數列；

當時a n=-1，a n+1=0，數列{a n+1}不是等比數列；

因為 a n+1+a n+2+a n+3 a n+a n+1+a n+2 = （a n+a n+1+a n+2）q a n+a n+1+a n+2 =q，由等比數列的定義可知：

數列{a n+a n+1+a n+2}是等比數列，故選 D ．

方法2： 當k=0時，顯然 A 錯.假設數列1，2，4，8，…，代入選項檢驗，易得答案 D ．

點評： 在破解某些數列客觀題時，經常可以借助特殊數列（比如常數列、較為簡單的具體數列等）的引入，化抽象為具體，直接利用特殊數列的通項、求和及相關性質來處理一般性的數列問題，從而回避一些抽象數列的計算、證明等問題，有效淡化過程，簡化程序．

五、特殊函數

例6. （2023·百師聯盟高三一輪聯考·12·多選題）已知f（x）是定義在 R 上的函數，且滿足f（3x-2）為偶函數，f（2x-1）為奇函數，則下列說法正確的是 （ ?）

A .函數f（x）的周期為2

B .函數f（x）的周期為4

C .函數f（x）關于點（-1，0）中心對稱

D .f（2023）=0

方法1： 因為f（3x-2）為偶函數，所以f（3x-2）=f（-3x-2），

所以f（x-2）=f（-x-2），則f（x）=f（-x-4），

所以函數f（x）關于直線x=-2對稱，

因為f（2x-1）為奇函數，所以f（2x-1）=-f（-2x-1），

所以f（x-1）=-f（-x-1），

所以f（x）=-f（-x-2），所以函數f（x）關于點（-1，0）中心對稱，故 C 正確，

由f（x）=f（-x-4）與f（x）=-f（-x-2）得f（-x-4）=-f（-x-2），

即f（x-4）=-f（x-2），

故f（x-4）=f（x），所以函數f（x）的周期為4，故 A不正確，B 正確；

f（2023）=f（506×4-1）=f（-1）=0，故 D正確.故選BCD ．

方法2： 由f（3x-2）為偶函數知f（x-2）也為偶函數，

又f（x） 向右平移2個單位 f（x-2），易知f（x）關于直線x=-2對稱，

由f（2x-1）為奇函數知f（x-1）也為奇函數，

又f（x） 向右平移1個單位 f（x-1），易知f（x）關于點（-1，0）對稱，

設f（x）= cos ??π ?2 x，易知 BCD 正確．

點評： ?本題以抽象函數為載體，考查函數的性質，對邏輯思維能力要求較高.方法1通過賦值變換得到函數的性質，是該題的通性通法，不僅轉化難度較高，還要求考生較熟練掌握關于函數對稱性、周期性的常見題型和結論.比如有：（1）若f（x）圖像關于直線x=α對稱，則f（a+x）=f（a-x）或f（2a-x）=f（x）；（2）若f（x）圖像關于點（a，b）對稱，則f（a+x）+f（a-x）=2b或f（2a-x）+f（x）=2b；（3）若函數f（x）圖像有對稱軸直線x=a和直線x=b，則周期T=2 b-a ；（4）若函數f（x）圖像有對稱中心（a，0）和（b，0），則周期T=4 b-a .（5）若函數f（x）圖像有對稱軸直線x=a和對稱中心（b，0），則周期T=4 b-a ．

方法2中，因為僅橫坐標的伸縮并不影響圖像的對稱性，所以將題設轉化為f（x-2）為偶函數，f（x-1）為奇函數，再結合圖像變換，巧妙、直觀的得到f（x）的性質，避免了抽象函數的反復賦值，最后構造特殊函數，驗證選項，簡單明了，是該題的最優解.解決此類問題的關鍵是根據題設選取簡單的基本初等函數，如果該函數既有對稱軸又有對稱中心，不妨考慮下正弦（或余弦）型函數是否符合．

“退一步海闊天空.”華羅庚曾告訴我們：“善于‘退，足夠地‘退，‘退到最原始而不失去重要性的地方，是學好數學的一個訣竅.”這就是以退求進的思想.通過上述實例的解析，容易看出巧用特殊解答計算型選擇題省時、省力，很容易快速、簡捷獲解，可以收到事半功倍的效果.因此，大家應在平時的學習中，有意識地加強這方面的訓練，大膽搞“特殊”，往往可以達到“小題小做”或“小題巧做”的目的，節約時間，提高效率．

責任編輯 ??徐國堅