新高考三角恒等變換考點(diǎn)分類概說

高慧明

考點(diǎn)1：三角函數(shù)式的求值

例1. 若3 sin α- sin β= 10 ，α+β= ?π ?2 ，則 sin α= ??????， cos 2β= ??????．

【解析】 因?yàn)? sin α- sin β= 10 ，α+β= ?π ?2 ，

所以3 sin α- cos α= 10 ，即9 sin 2α-6 sin α cos α+ cos 2α=10， 9 sin 2α-6 sin α cos α+ cos 2α=10，

設(shè)3 cos α+ sin α=t，即9 cos 2α-6 sin α cos α+ sin 2α=t2，

所以9 sin 2α+9 cos 2+ sin 2α+ cos 2β=10+t2，即t=0，

所以 ?3 sin α- cos α= 10 ，3 cos α+ sin α=0， ?解得 sin α= 3 10 ?10 ，

又因?yàn)?cos 2β=1- sin 2β，所以 cos 2β=1- cos 2α= sin 2α= 4 5 ．

故答案為： 3 10 ?10 ， 4 5 ．

【評(píng)析】 三角恒等變換問題高考中以公式的基本運(yùn)用、計(jì)算為主，本題主要考查三角函數(shù)值的求法，誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式、二倍角公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力. 解決此類問題的主要規(guī)律方法：

1.給角求值： 一般所給出的角都是非特殊角，要觀察所給角與特殊角間的關(guān)系，利用三角變換消去非特殊角，轉(zhuǎn)化為求特殊角的三角函數(shù)值問題.

2.給值求值： 給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵在于“變角”.

在進(jìn)行角的變換時(shí)常見的解題思路：

（1）當(dāng)“已知角”有兩個(gè)時(shí)，“所求角”一般表示為兩個(gè)“已知角”的和或差的形式；

（2）當(dāng)“已知角”有一個(gè)時(shí)，此時(shí)應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系，再應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”．

3.給值求角： 實(shí)質(zhì)上轉(zhuǎn)化為“給值求值”問題，由所得的所求角的函數(shù)值結(jié)合所求角的范圍及函數(shù)的單調(diào)性求得角.

4.易錯(cuò)提醒

（1）公式的使用過程要注意正確性，要特別注意公式中的符號(hào)和函數(shù)名的變換，防止出現(xiàn)“張冠李戴”的情況．

（2）求角問題要注意角的范圍，要根據(jù)已知條件將所求角的范圍盡量縮小，避免產(chǎn)生增解．

【變式訓(xùn)練】

1.若α∈（0， ?π ?2 ）， tan 2α= ?cos α 2- sin α ，則 tan α=（ ?）

A . ?15 ?15

B . ??5 ?5

C . ??5 ?3

D . ??15 ?3

2.已知 ?π ?8 <β<α< ?π ?2 ，且 sin 2α sin ??π ?4 - cos 2α sin ?5 4 ?π = 1 3 ，

sin 2β cos ??π ?4 + cos 2β sin ??π ?4 = ?3 ?3 ，則 sin （2α-2β）的值為（ ?）

A . 5 3 ?9

B . ??6 ?9

C . - 5 3 ?9

D . - ?6 ?9

3.若 sin 2α= ?5 ?5 ， sin （β-α）= ?10 ?10 ，且α∈ ??π ?4 ， π ?，β∈ ?π ， 3 π ?2 ?，則α+β的值是（ ?）

A . 7 π ?4

B . ?9 π ?4

C . ?5 π ?4 或 7 π ?4

D . ?5 π ?4 或 9 π ?4

4.已知 cos α 3 4 ，0<α< ?π ?4 ，則 sin ?α+ ?π ?4 ?=（ ?）

A ． ?2 ?10

B ． 7 2 ?10

C ．- ?2 ?10

D ．- 7 2 ?10

5.已知θ∈ 0， ?π ?2 ?， tan ?θ+ ?π ?4 ?=- 2 3 ?tan θ，

則 ?sin θ cos θ ?sin θ+ cos θ =（ ?）

A ．- 1 2

B ．- 3 5

C ．3

D ．- 5 3

6．已知 3 ?cos ??3 π ?2 -α + cos （ π +α）=-1，

則 cos ?2α- 2 π ?3 ?= ??????.

7． sin （θ+75°）+ cos （θ+45°）- 3 ?cos （θ+15°）=

.

8．已知角α為銳角， ?π ?2 <β-α< π ，

且滿足 tan ?α 2 = 1 3 ， sin （β-α）= 7 ?2 ?10 .

（1）證明：0<α< ?π ?4 ；

（2）求β.

9．（1）已知 tan θ=-2，求 ?sin θ（1+ sin 2θ） ?sin θ+ cos θ 的值；

（2）已知 tan （α-β）= 1 2 ， tan β=- 1 7 ，且α，β∈（0， π ），求2α-β．

參考答案與提示：

1.由 tan 2α= ?sin 2α ?cos 2α = 2 sin α cos α 1-2 sin 2α = ?cos α 2- sin α ，

因?yàn)棣痢?0， ?π ?2 ?，所以 cos α>0，則上式化簡可得 sin α= 1 4 ，

所以 cos α= 1- sin 2α = ?15 ?4 ．則 tan α= ?sin α ?cos α = ?15 ?15 ．

故選 A .

2.由題設(shè) sin 2α sin ??π ?4 - cos 2α sin ?5 4 ?π = 1 3 ， sin 2β cos ??π ?4 + cos 2β sin ??π ?4 = ?3 ?3 ，

所以 sin （2α+ ?π ?4 ）= 1 3 ， sin （2β+ ?π ?4 ）= ?3 ?3 .

而 ?π ?8 <β<α< ?π ?2 ，且 sin （2β+ ?π ?4 ）= ?3 ?3 >0，所以 ?π ?2 <2β+ ?π ?4 <2α+ ?π ?4 < π ，

則 cos （2α+ ?π ?4 ）=- 2 2 ?3 ， cos （2β+ ?π ?4 ）=- ?6 ?3 ，

而 sin （2α-2β）= sin （2α+ ?π ?4 ） cos （2β+ ?π ?4 ）- cos （2α+ ?π ?4 ） sin （2β+ ?π ?4 ）= 1 3 ×（- ?6 ?3 ）-（- 2 2 ?3 ）× ?3 ?3 = ?6 ?9 ．

故選 B ．

3.∵α∈ ??π ?4 ， π ?，β∈ ?π ， 3 π ?2 ?， sin 2α= ?5 ?5 ，∴2α∈ ??π ?2 ， π ?， cos 2α=- 2 5 ?5 .

又∵0< sin 2α= ?5 ?5 < 1 2 ，∴2α∈ ?5 π ?6 ， π ?，即α∈ ?5 π ?12 ， ?π ?2 ?，∴β-α∈ ??π ?2 ， 13 π ?12 ?.

又∵ sin ?β-α = ?10 ?10 ，∴β-α∈ ??π ?2 ， π ?，

∴ cos ?β-α =- 1- sin 2（β-α） =- 3 10 ?10 ，

∴ cos ?α+β = cos ［2α+ β-α ］

= cos 2α cos ?β-α - sin 2α sin ?β-α

=- 2 5 ?5 × - 3 10 ?10 ?- ?5 ?5 × ?10 ?10 = ?2 ?2 ．

又α∈ ?5 π ?12 ， ?π ?2 ?，β∈ ?π ， 3 π ?2 ?，∴（α+β）∈（ 17 π ?12 ，2 π ），∴α+β= 7 π ?4 ，

故選 A ．

4.由 cos α= 4 5

，0<α< ?π ?2 ，得 sin α= 3 4 ，

所以 sin ?α+ ?π ?4 ?= ?2 ?2 ?sin α+ ?2 ?2 ?cos α= ?2 ?2 × 3 5 + ?2 ?2 × 4 5 = 7 2 ?10 ，

故選 B .

5.由θ∈（0， ?π ?2 ），得 tan θ>0，又 tan （θ+ ?π ?4 ）=- 2 3 ?tan θ，

得 ?tan θ+ tan θ ?π ?4 ?1- tan θ· tan θ ?π ?4 ?=- 2 3 ?tan θ，

即 ?tan θ+1 1- tan θ =- 2 3 ?tan θ，

整理得 tan θ=3或 tan θ=- 1 2 （舍去），

所以 sin θ=3 cos θ，又 sin 2θ+ cos 2θ=1，θ∈（0， ?π ?2 ），

解得 sin θ= 3 10 ?10 ， cos θ= ?10 ?10 ，

故 ?sin θ cos 2θ ?sin θ+ cos θ ?=

sin θ （cos 2θ- sin 2θ） ?sin θ+ cos θ

= ?sin θ （sin θ+ cos θ）（ cos θ- sin θ） ?sin θ+ cos θ

= sin θ （cos θ- sin θ）= 3 10 ?10 （ ?10 ?10 - 3 10 ?10 ）=- 3 5 .

故選 B .

6． 因?yàn)?3 ?cos （ 3 π ?2 -α）+ cos （ π +α）=- 3 ?sin α- cos α=-1，所以 sin ?α+ ?π ?6 ?= 1 2 ，

cos ?2α- 2 π ?3 ?= cos ?2 α+ ?π ?6 ?- π ?=- cos ?2 α+ ?π ?6

=- 1-2 sin 2 α+ ?π ?6 ??=2 sin2 ?α+ ?π ?6 ?-1=2× 1 4 -1=- 1 2 .

故答案為：- 1 2 .

7． sin （θ+75°）+ cos （θ+45°）- 3 ?cos （θ+15°）

= sin （θ+15°+60°）+ cos （θ+45°）- 3 ?cos （θ+15°）

= sin （θ+15°） cos 60°+ cos （θ+15°） sin 60°+ cos （θ+45°）- 3 ?cos （θ+15°）

= 1 2 ?sin （θ+15°）+ ?3 ?2 ?cos （θ+15°）+ cos （θ+45°）- 3 ?cos （θ+15°）

= 1 2 ?sin （θ+15°）- ?3 ?2 ?cos （θ+15°）+ cos （θ+45°）

= sin 30° sin （θ+15°）- cos 30° cos （θ+15°）+ cos （θ+45°）

=- cos （θ+45°）+ cos （θ+45°）=0.

故答案為：0．

8． （1）證明：因?yàn)?tan ?α 2 = 1 3 ，

所以

tan α= 2 tan ?α 2 ?1- tan 2 α 2 ?= 2× 1 3 ?1- 1 9 ?= 3 4 <1= tan ??π ?4 ，

因?yàn)棣?/p>

為銳角且函數(shù)y= tan x

在 0， ?π ?2

上單調(diào)遞增，所以0<α< ?π ?4 .

（2）由 ?tan α= ?sin α ?cos α = 3 4 ，

sin2 α+ cos2 α=1，

結(jié)合角α

為銳角，解得

sin α= 3 5 ， cos α= 4 5 ，

因?yàn)??π ?2 <β-α< π

，且

sin （β-α）= 7 2 ?10 ，

所以

cos （β-α）=- 1- ?7 2 ?10 ?2 =- ?2 ?10 .

sin β= sin ?α+ β-α ?= sin α cos （β-α）+ cos α sin （β-α）= 3 5 × - ?2 ?10 ?+ 4 5 × 7 2 ?10 = ?2 ?2 .

又 ?π ?2 < ?π ?2 +α<β< π +α< 5 π ?4

，所以β= 3 π ?4 .

9．（1） ?sin θ（1+ sin 2θ） ?sin θ+ cos θ =

sin θ ?sin θ+ cos θ ·

1+ sin 2θ ?sin 2θ+ cos 2θ =

sin θ ?sin θ+ cos θ ·

sin 2θ+ cos 2θ+2 sin θ cos θ ?sin 2θ+ cos 2θ

= ??sin θ ?cos θ ???sin θ+ cos θ ?cos θ ?·

sin 2θ+ cos 2θ+2 sin θ cos θ ?cos 2θ ???sin 2θ+ cos 2θ ?cos2 θ ?=

tan θ ?tan θ+1 ·

tan 2θ+1+2 tan θ ?tan 2θ+1 =

-2 -2+1 × 4+1-4 4+1 = 2 5 .

（2）由 tan β=- 1 7

可知β∈（ ?π ?2 ， π ），又 tan α= tan （α-β+β）= ?tan （α-β）+ tan β 1- tan （α-β） tan β =

1 2 - 1 7 ?1+ 1 2 × 1 7 ?= 1 3 ，α∈（0， ?π ?2 ），

則

α-β∈（- π ，0），又 tan （α-β）= 1 2 ，則

α-β∈ - π ， ?π ?2 ?，則：

tan （2α-β）= tan （α-β+α）= ?tan （α-β）+ tan α 1- tan （α-β） tan α = ?1 2 + 1 3 ?1- 1 2 × 1 3 ?=1，

又2α-β=α-β+α∈（- π ，0），則2α-β=- 3 π ?4 .

考點(diǎn)2：三角函數(shù)式的化簡

例2. 若 sin （α+β）+ cos （α+β）=2 2 ?cos （α+ ?π ?4 ） sin β，則（ ?）

A . tan （α-β）=1

B . ?tan （α+β）=1

C . tan （α-β）=-1

D . ?tan （α+β）=-1

【解析】 因?yàn)?sin （α+β）+ cos （α+β）=2 2 ?cos （α+ ?π ?4 ） sin β，

所以 2 ?sin （α+β+ ?π ?4 ）=2 2 ?cos （α+ ?π ?4 ） sin β，即 sin （α+β+ ?π ?4 ）=2 cos （α+ ?π ?4 ） sin β，

所以 sin （α+ ?π ?4 ） cos β+ sin β cos （α+ ?π ?4 ）=2 cos （α+ ?π ?4 ） sin β，所以 sin （α+ ?π ?4 ） cos β- sin β cos （α+ ?π ?4 ）=0，

所以 sin （α+ ?π ?4 -β）=0，所以α+ ?π ?4 -β=k π ，k∈ Z ，

所以α-β=k π - ?π ?4 ，所以 tan （α-β）=-1．

故選 C ．

【評(píng)析】 本題主要考查正余弦的和差角公式的靈活運(yùn)用，考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算.由兩角和差的正余弦公式化簡，結(jié)合同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系即可得解.本題也可采用特值法求解.解決此類問題的主要規(guī)律和方法是：

1.三角函數(shù)式化簡的方法

（1）弦切互化，異名化同名，異角化同角，降冪或升冪．

（2）常值代換，三角公式的正用、逆用、變形用.

（3）在三角函數(shù)式的化簡中“次降角升”和“次升角降”是基本的規(guī)律，根號(hào)中含有三角函數(shù)式時(shí)，一般需要升次．

（4）三角函數(shù)式的化簡過程中通常會(huì)用到輔助角公式a sin x+b cos x= a2+b2 · sin （x+φ）.

2.常見“1”的代換

1= sin 2α+ cos 2α; 1=2 cos 2α- cos 2α; 1= cos 2α+2 sin 2α; 1= tan ??π ?4 .

3.化簡要求

使三角函數(shù)式的項(xiàng)數(shù)最少、次數(shù)最低、角與函數(shù)名稱的種類最少；分式中的分母盡量不含三角函數(shù)；盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù).

【變式訓(xùn)練】

1.若 tan θ=-2，則 ?sin θ（1+ sin 2θ） ?sin θ+ cos θ =（ ?）

A .- 6 5

B . - 2 5

C . ?2 5

D . ?6 5

2.已知θ為三角形的內(nèi)角，且 sin 2θ= sin 2θ，則 ?sin θ（1- cos 2θ） ?sin θ+ cos θ = ??????．

3.若α，β∈（0， ?π ?2 ），且（1+ cos 2α）（1+ sin β）= sin 2α cos β，則下列結(jié)論正確的是（ ?）

A .α+β= ?π ?2

B . α+ β 2 = ?π ?2

C . 2α-β= ?π ?2

D . α-β= ?π ?2

參考答案與提示：

1.由題意可得： ?sin θ（1+ sin 2θ） ?sin θ+ cos θ

= ?sin θ（ sin 2θ+ cos 2θ+2 sin θ cos θ） ?sin θ+ cos θ

= ?sin θ（ sin θ+ cos θ）2 ?sin θ+ cos θ = sin θ（ sin θ+ cos θ）

= ?sin 2θ+ sin θ cos θ ?sin 2θ+ cos 2θ = ?tan 2θ+ tan θ 1+ tan 2θ

= 4-2 1+4 = 2 5 ．

故選 C ．

2.因?yàn)棣葹槿切蔚膬?nèi)角，且 sin 2θ= sin 2θ，

所以2 sin θ cos θ= sin 2θ， sin θ≠0，所以2 cos θ= sin θ，可得 tan θ=2，

則 ?sin θ（1- cos 2θ） ?sin θ+ cos θ = 2 sin 2θ· sin θ ?sin θ+ cos θ

= 2 sin 2θ ?sin 2θ+ cos 2θ · ?sin θ ?sin θ+ cos θ

= 2 tan 2θ ?tan 2θ+1 · ?tan θ ?tan θ+1 = 2×22 22+1 · 2 2+1 = 16 15 ．

故答案為： 16 15 ．

3.因?yàn)椋?+ cos 2α）（1+ sin β）= sin 2α cos β，所以2 cos 2α（1+ sin β）= cos β·2 sin α cos α.

因?yàn)棣痢剩?， ?π ?2 ），β∈（0， ?π ?2 ），所以 cos α≠0，

所以 cos α（1+ sin β）= cos β sin α，即 sin （α-β）= cos α= sin （ ?π ?2 -α），

所以α-β= ?π ?2 -α，或α-β+ ?π ?2 -α= π ，即2α-β= ?π ?2 ，或β=- ?π ?2 （舍），故2α-β= ?π ?2 ．

故選 C ．

考點(diǎn)3：三角恒等變換的綜合應(yīng)用

例3. （多選）函數(shù)f x =a sin x+b cos x ab≠0 的圖像關(guān)于x= ?π ?6 對(duì)稱，且f x 0 = 8 5 a，則（ ?）

A .b= 3 a

B . ?cos ???π ?6 -x 0 = 4 5

C . cos ???π ?3 -2x 0 = 24 25

D . ?sin ?2x 0+ ?π ?6 ?= 7 25

【解析】 因?yàn)閒（x）=a sin x+b cos x= a2+b2 ?sin （x+φ），ab≠0，

其中 sin φ= b ?a2+b2 ?， cos φ= a ?a2+b2 ?.

由于函數(shù)的圖像關(guān)于x= ?π ?6 對(duì)稱，所以|f（ ?π ?6 ）|= a2+b2 ，即 1 2 a+ ?3 ?2 b= a2+b2 ，化簡得b= 3 a，

所以f（x 0）=a sin x 0+ 3 a cos x 0=2a sin （x 0+ ?π ?3 ）= 8 5 a，即 sin （x 0+ ?π ?3 ）= 4 5 ，

cos ?（ ?π ?6 -x 0）= cos ?［ ?π ?2 -（x 0+ ?π ?3 ）］= sin ?（x 0+ ?π ?3 ）= 4 5 ，

cos ?（ ?π ?3 -2x 0）= cos ?［ π -2（x 0+ ?π ?3 ）］=- cos ?［2（x 0+ ?π ?3 ）］=2 sin 2（x 0+ ?π ?3 ）-1= 7 25 ，

sin ?（2x 0+ ?π ?6 ）= sin ?（2x 0+ 2 π ?3 - ?π ?2 ）=- cos ?（2x 0+ 2 π ?3 ）=2 sin 2（x 0+ ?π ?3 ）-1= 7 25 ．

故選 ABD ．

【評(píng)析】 此題巧妙之處在于先利用輔助角公式進(jìn)行化簡，但f（x）中含有兩個(gè)參數(shù)，需對(duì)輔助角公式和正弦函數(shù)的對(duì)稱性理解非常透徹才能得出a，b之間的關(guān)系，綜合性較強(qiáng)，很好的考查了考生分析思考問題的能力，是一道推陳出新的好題目.根據(jù)輔助角公式化簡f（x），然后根據(jù)其圖像關(guān)于x= ?π ?6 對(duì)稱，可得a，b之間的關(guān)系，從而得到 sin （x 0+ ?π ?3 ）= 4 5 ，然后運(yùn)用誘導(dǎo)公式和二倍角公式對(duì)各選項(xiàng)逐一判斷即可．解決此類

問題的主要規(guī)律和方法：

1. 三角恒等變換主要有以下四變：

（1）變角：目的是溝通題設(shè)條件與結(jié)論中所涉及的角，其方法通常是“配湊”

（2）變名：通過變換函數(shù)名稱達(dá)到減少函數(shù)種類的目的，其手法通常有切化弦、弦化切、正余弦互化等

（3）變冪：通過“升冪與降冪”，把三角函數(shù)式的各項(xiàng)變成同次，目的是有利于應(yīng)用公式

（4）變式：根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征變形，使其更貼近某個(gè)公式或某個(gè)期待的目標(biāo)，其方法有：常值代換、配

方法等.

2.常用公式：

（1）半角的正弦、余弦、正切公式

① sin ?α 2 =± ?1- cos α 2 ?；

② cos ?α 2 =± ?1+ cos α 2 ?；

③ tan ?α 2 = ?sin α 1+ cos α = 1- cos α ?sin α ；

（2）升冪公式：1- cos 2α=2 sin 2α;1+ cos 2α=2 cos 2α;1± sin 2α= ?sin α± cos α 2;

（3）降冪公式： sin α· cos α= 1 2 ?sin 2α; ?sin 2α= 1- cos 2α 2 ; cos 2α= 1+ cos 2α 2 ; tan 2α= 1- cos 2α 1+ cos 2α ；

（4）萬能置換公式： sin 2α= 2 sin α· cos α ?sin 2α+ cos 2α = 2 tan α ?tan 2α+1 ; cos 2α= ?cos 2α- sin 2α ?sin 2α+ cos 2α = 1- tan 2α 1+ tan 2α .

3.三角恒等變換的綜合應(yīng)用主要是將三角恒等變換與三角函數(shù)的性質(zhì)相結(jié)合，通過變換，將復(fù)雜的函數(shù)式化為y=A sin （ωx+φ）+b的形式再研究其性質(zhì).在研究性質(zhì)時(shí)注意利用整體思想解決相關(guān)問題.

【變式訓(xùn)練】

1.已知 3 ?tan 20°+λ cos 70°=3，則λ的值為（ ?）

A . 3

B . 2 3

C . 3 3

D . 4 3

2.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P 1（ cos α， sin α），P 2（ cos β，- sin β），P 3（ cos ?（α+β），

sin （α+β）），A（1，0），則（ ?）

A .|OP 1 |=|OP 2 |

B . |AP 1 |=|AP 2 |

C .OA ·OP 3 =OP 1 ·OP 2

D . OA ·OP 1 =OP 2 ·OP 3

3.已知α，β∈（0， ?π ?2 ），且α-β= ?π ?3 ，則 1 ?sin 2α sin 2β 的最小值為（ ?）

A .2

B . 2 3

C . 4

D . 4 3

4.如圖，在扇形AOB中，∠AOB=90°，OA=1，點(diǎn)C為AB 上的動(dòng)點(diǎn)且不與點(diǎn)A，B重合，OD⊥BC于D，OE⊥AC于點(diǎn)E，則四邊形ODCE面積的最大值為 ??????．

參考答案與提示：

1.由已知， ?3 ?sin ?20° ?cos ?20° +λ sin ?20°=3，則 3 ?sin ?20°+λ sin ?20° cos ?20°=3 cos ?20°，

從而 λ 2 ?sin 40 °=3 cos 20 °- 3 ?sin 20 °=2 3 ?sin（60 °-20°）=2 3 ?sin 40 °，所以λ=4 3 ，

故選 D ．

2.∵P 1（ cos α， sin α），P 2（ cos β，- sin β），P 3（ cos （α+β）， sin （α+β）），A（1，0），

∴OP 1 =（ cos α， sin α），OP 2 =（ cos β，- sin β），OP 3 =（ cos （α+β）， sin （α+β）），OA =（1，0），

AP 1 =（ cos α-1， sin α），AP 2 =（ cos β-1，- sin β），

則|OP 1 |= ?cos 2α+ sin 2α =1，|OP 2 |= ?cos 2β+（- sin β）2 =1，則|OP 1 |=|OP 2 |，故 A 正確；

|AP 1 | = （ cos α-1）2+ sin 2α

= ?cos 2α+ sin 2α-2 cos α+1 = 2-2 cos α ，

|AP 2 |= ?（ cos β-1）2+（- sin β）2

= ?cos 2β+ sin 2β-2 cos β+1 = 2-2 cos β ，

|AP 1 |≠|(zhì)AP 2 |，故 B 錯(cuò)誤；

OA ·OP 3 =1× cos （α+β）+0× sin （α+β）= cos （α+β），

OP 1 ·OP 2 = cos α cos β- sin α sin β= cos （α+β），∴OA ·OP 3 =OP 1 ·OP 2 ，故 C 正確；

OA ·OP 1 =1× cos α+0× sin α= cos α，

OP 2 ·OP 3 = cos β cos （α+β）- sin β sin （α+β）= cos ［β+（α+β）］= cos （α+2β），

∴OA ·OP 1 ≠OP 2 ·OP 3 ，故 D 錯(cuò)誤．

故選 AC ．

3.法1： 因?yàn)棣粒隆剩?， ?π ?2 ），且α-β= π 3 ，

所以 cos （α-β）= cos α cos β+ sin α sin β= 1 2 ，

令x= cos α cos β，y= sin α sin β，則x+y= 1 2 .

由題意得x>0，y>0，

則 1 ?sin 2α sin 2β = 1 （2 sin α cos α）（2 sin β cos β） = 1 2 × ?1 2 ??sin α cos α sin β cos β = 1 2 × ?cos （α-β） ?sin α cos α sin β cos β ，

= 1 2 × ?cos α cos β+ sin α sin β ?sin α cos α sin β cos β = 1 2 （ 1 ?cos α cos β + 1 ?sin α sin β ）

= 1 2 （ 1 x + 1 y ）=（x+y）（ 1 x + 1 y ）=2+ y x + x y ≥2+2 ?x y · y x ?=4.

當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取等號(hào)，即 cos α cos β= sin α sin β= 1 4 ，得 cos （α+β）=0，

有α+β= ?π ?2 ，結(jié)合α-β= π 3 ，得α= 5 π ?12 ，β= ?π ?12 ，此時(shí) 1 ?sin 2α sin 2β 的最小值為4．

故選 C ．

法2： 因?yàn)棣粒隆剩?， ?π ?2 ），且α-β= ?π ?3 ，所以α∈（ ?π ?3 ， ?π ?2 ），β∈（0， ?π ?6 ）．

sin 2α sin 2β= sin 2α sin 2（α- ?π ?3 ）

= sin 2α（- 1 2 ?sin 2α- ?3 ?2 ?cos 2α）

=- 1 4 （2 sin 22α+ 3 ?sin 4α）

=- 1 4 （1- cos 4α+ 3 ?sin 4α）

=- 1 4 ［1+2 sin （4α- ?π ?6 ）］．

從而當(dāng)α= 5 π ?12 時(shí) 1 ?sin 2α sin 2β 的最小值為4.

故選 C ．

4.因?yàn)椤螦OB=90°，OA=1，0<α< ?π ?4 OD⊥BC，OE⊥AC，

所以∠DOE= ?π ?4 ，記∠COD=α，0<α< ?π ?4 ，

則四邊形ODCE的面積為：

1 2 CD·OD+ 1 2 CE·OE

= 1 2 ?sin α cos α+ 1 2 ?sin （ ?π ?4 -α） cos （ ?π ?4 -α）

= 1 2 ?sin α cos α+ 1 2 · 1 2 ?sin （ ?π ?2 -2α）

= ?sin 2α+ cos 2α 4 = ?2 ?4 ?sin （2α+ ?π ?4 ），

當(dāng)2α= ?π ?4 ，即α= ?π ?8 時(shí)，四邊形ODCE的面積取到最大值 ?2 ?4 ．

故答案為 ?2 ?4 .

責(zé)任編輯 ?徐國堅(jiān)