數學文化視角下的高中數學試題命題探究

陳國林

數學作為一門基礎學科，一直以來由于其抽象性使得在大多數學校的教學活動中多以理論知識的傳授為主，這樣的教學方式一方面難以激起學生的興趣，另一方面也忽略了數學在實際生活中的應用價值，將會導致“學用分離”的局面.詩歌作為一種抒情言志的文學體裁能夠生動形象的反映社會生活.將詩歌文化及其數學藝術融入到課堂之中，不僅能夠給課堂教學注入新的能量，還能夠實現文化自信.

近年來以數學文化為命題素材，以詩歌文化為命題導向的問題在數學中多有體現，我們主要以數學文化為命題背景，展現數學文化在中學試題中的命題方向，進而促進考生更好地理解數學文化命題的方向.

一、詩歌引領，問題導向

【例1】 “橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同.”一座山峰總是高低起伏不同，已知某山峰可以近似的用函數f（x）=（x2+2x）（x2－6x+8）來表示，則f（x）的最小值為 ???????.

【解析】 因為f（x）=（x2+2x）（x2－6x+8），

所以f′（x）=（2x+2）（x2－6x+8）+（x2+2x）（2x－6）=3（x3－3x2－2x+4）=4（x－1）（x－1－ 5 ）（x－1+ 5 ），

當x<1－ 5 或1

當x>1+ 5 時，f′（x）>0，

所以f（x） ?min =f（1+ 5 ）=f（1－ 5 ）=－16.

【點評】 詩歌文化與數學試題的融合給人以美感，詩歌作為一種文學體裁和數學的交融讓數學變得更加有趣，有力，有味.

二、素材背景，強化應用

【例2】 如圖所示是迪拜的一個雙曲線的建筑，該建筑外形酷似一條雙曲線，若記該雙曲線 x2 a2 － y2 b2 =1（a>0，b>0）的離心率為e，左焦點為F（－c，0），已知A，B是雙曲線兩條漸近線上的兩點，且有k AB=k AF=1，M為AB的中點，如果 FM =c，則e2= ??????.

【解析】 設雙曲線 x2 a － y2 b2 =1的漸近線方程為y=± b a x，直線AB的方程為y=x+c，

聯立方程 ?y= b a x，y=x+c， ?解得 ?x= ac b－a ，y= bc b－a .

同理，聯立方程 ?y=－ b a x，y=x+c， ?解得 ?x= ac －b－a ，y= －bc －b－a ，

不妨令A ?ac b－a ， bc b－a ?，B ?ac －b－a ， －bc －b－a ?，

因此可得AB的中點坐標M ?a2c b2－a2 ， b2c b2－a2 ?，

故有 FM = ??a2c b2－a2 +c 2+ ?b2c b2－a2 ?2 = ?2 b2c ?b2－a2 ?=c，即 2 b2c=c b2－a2 ，

因為c≠0，所以 2 b2= b2－a2 ，所以 2 b2=b2－a2（矛盾，舍去）或 2 b2=a2－b2，

所以a2= 1+ 2 ?b2.

所以b2= ?2 －1 a2，所以c2=a2+b2= 2 a2，因此可得e2= c2 a2 = 2 .

【點評】 以建筑、雕塑外形為背景得數學命題，是比較常見得一種命題模式，它能夠有力得展現出數學之美在實際生活中得應用，當然，我們對于這類問題不能拘泥于“外形”的命題，還應注重“內在”的展現，例如：斷臂維納斯結合黃金分割比例相互結合的命題.

三、五育并舉，德育先行

【例3】 杭州某高校為迎接2023浙江杭州亞運會，決定選派一批志愿者參與志愿服務，計劃首次先選派1名志愿者，然后每次增加1人，后因學生報名積極，學校決定改變派遣計劃，若將原計劃派遣的各批次人數看成數列 a n ，保持數列 a n 中各項先后順序不變的情況下，在a k與a k+1（k=1，2，…）之間插入2k，使它們和原數列的項構成一個新的數列 b n ，

按照新數列 b n 的各項依次派遣學生，則前20批次共派遣學生的人數為（ ?）

A .2091

B .2101

C .2110

D .2112

【解析】 因為a n=1+（n－1）×1=n，由于在a k與a k+1（k=1，2，…）之間插入2k，

所以在數列 b n 中有10項來自 a n ，10項來自 2n ，

所以S 20= 1+10 2 ×10+ 2（1－210） 1－2 =2101.

【點評】 該題命題角度新穎獨特，以常規的數列問題為命題素材，以不一樣的設計形式為制高點，結合服務意識為命題選材，較好地對考生的思維能力進行了檢測.

四、數學建模，解答問題

【例4】 隨著城市化的進程，道路交通壓力一直是困擾人們出行的重要課題，為了對道路通行能力N進行研究，可通過N= 1000v c 1v+c 2v2+d 0 來估計，其中v表示車速，c 1表示司機反應時間，c 2表示比例系數，d 0表示車身的標準長度與兩車之間的安全距離之和，則N的最大值為（ ?）

A . 1000 c 1+2 c 2d 0

B . 1000 c 1+2 ?c 2 d 0

C . 500 c 1+ c 2d 0

D . 1000 c 1+ 2 c 2d 0

【解析】 因為N= 1000v c 1v+c 2v2+d 0 ，所以N= 1000 c 1+c 2v+ d 0 v ?，當v= ?d 0 c 2 ?時，N的最大值為N ?max = 1000 c 1+2 c 2d 0 ?.

【點評】 該試題選材來自于實際生活，以同學們熟悉的交通問題為命題背景，給出了道路通行能力的數學模型，體現了數學服務生活的理念.

五、陽光體育，健康成長

【例5】 2023年全國“行走大運河”全民健身健步走活動啟動在即，已知某非大運河沿線省份因地制宜，開展了“每天健步1小時”活動，若報名參與者參加鍛煉的天數X服從正態分布N（149，612），已知此次參與該活動的人數共有3000人，則堅持參與“每天健步1小時”活動超過21天的人數約為（參考數據：P（μ－σ≤X≤μ+σ）=06827；P（μ－2σ≤X≤μ+2σ）=09545；P（μ－3σ≤X≤μ+3σ）=09973）（ ?）

A .450

B .465

C .470

D .476

【解析】 因為P（μ－σ≤X≤μ+σ）=06827，

所以P（X>21）=P（X>149+61）= 1-06827 2 =015865，

所以3000×015865=47595≈476人.

【點評】 以球類運動和身體健康為背景的數學問題是高考較為喜愛選取的命題素材之一，該類試題多考查概率統計問題，類型多以比賽規則的設計考查離散型隨機變量的分布列和數學期望為主，對于牽涉到的連續型隨機變量問題則會考查正態分布問題.

結語： 我國擁有上下五千年的歷史，創造出了許許多多的科學和技術成就.在數學的發展史上，曾多次出現百家爭鳴，思想活躍的時期，例如：我國古代的數學泰斗劉徽創立的割圓術.

數學文化與數學試題的完美融合能夠滲透理性思維，構建學生的數學建模素養和邏輯推理能力，數學以詩歌文化為命題背景，能夠有效地幫助學生理解相關概念，例如在王安石的《梅花》一詩中就可以結合邏輯用語從數學的角度來看，“潔白”是“雪”的必要不充分條件.在高考試題中也曾出現以詩歌遠望巍巍塔七層，紅燈向下成倍增.共燈三百八十一，試問塔頂幾盞燈的命題素材，這類素材的運用，給數學問題增加了很多的人文素材.這樣的設計不在只是把數學孤立出來，而更多的體現了數學的美育和應用功能.數學是浪漫的，是有色彩的，數學的學習是具有文化氣息的.

跟蹤練習：

2022年世界杯在卡塔爾舉行，此次世界杯的會徽蘊含了許多的數字元素，其對應的主視圖酷似為伯努利雙紐線.具體定義為：在平面直角坐標系xOy中，把到定點F 1 －a，0 F 2 a，0 的距離之積等于a2 a>0 的點的軌跡稱為雙紐線C.若P x 0，y 0 是雙紐線C上的一點，則下列說法正確的是（ ?）

A ．雙紐線C是中心對稱圖形

B ．－ a 2

C ．雙曲線C上滿足 PF 1 = PF 2 的點P有兩個

D ． OP 的最大值為2a

【解析】 由雙紐線的定義可知， ?x+a 2+y2 × ?x－a 2+y2 =a2，

將 －x，－y 替換方程中的 x，y ，方程不變，故雙紐線C是中心對稱圖形.

根據等面積法得 1 2 ?PF 1 · PF 2 · sin ∠F 1PF 2= 1 2 ?F 1F 2 · y 0 ，

則 y 0 = a 2 · sin ∠F 1PF 2，

所以－ a 2 ≤y 0≤ a 2 .

令x=0，得 a2+y2 × a2+y2 =a2，

解得y=0，所以雙曲線C上滿足 PF 1 = PF 2 的點P有一個.

由于PO = 1 2 ?PF 1 +PF 2 ?，故PO 2= 1 4 ??PF 1 ?2+2 PF 1 ?· PF 2 ?· cos ∠F 1PF 2+ PF 2 ?2 ，

根據余弦定理有4a2= PF 1 ?2+ PF 2 ?2－2 PF 1 ?· PF 2 ?· cos ∠F 1PF 2，

故PO 2=a2+ PF 1 ?· PF 2 ?· cos ∠F 1PF 2=a2+a2· cos ∠F 1PF≤2a2，

即 PO ?的最大值為 2 a.

（基金項目：贛東學院教改項目）

責任編輯 ?徐國堅