基于“一題一課”的單元復習課設計與實踐

摘 要：“一題一課”是指以一道題或一組題為主線，學生在“問題串”驅動下，完成相關的教學探究活動.本文以“一元函數的導數及其應用”單元復習設計為例，圍繞著一個題組，引導學生在主干知識組成的“問題串”驅動下，逐級深入完成單元知識復習.學生通過這“一題”的解決，加深對知識間關聯性的理解，重新構建本單元的知識網絡，發展數學核心素養.

關鍵詞：一題一課；導數；單元教學

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2023）21-0035-03

收稿日期：2023-04-25

作者簡介：莊輝（1978.4-），女，福建省廈門人，本科，中學一級教師，從事高中數學教學研究.

基金項目：廈門市教育信息技術研究課題“TPACK視角下信息技術深度融合數學教學實踐研究”（課題批準號：XMKT2208）

在單元復習中采用“一題一課”策略，是指課堂上以一道題或一組題為主線，以“問題串”的形式不斷驅動學生的獨立思考，開展相關的數學探究活動.學生在解決問題的過程中，再次經歷單元知識的形成和應用過程，用關聯的視角重新建構單元知識網絡，形成整體的單元認知結構，從而達到鞏固基礎知識、發展數學思維、提升數學核心素養的效果.

1 問題提出

學生能力的發展不能靠“題海”，關鍵在于“題質”.借助“一題一課”的契機，把學情與教材進行整合，將零散的一節一節課整合成一個系統課程，通過對一道典型例題的剖析，可以進一步鞏固學生的基礎知識，領悟思想方法，形成知識結構，提高分析問題和解決問題的能力［1］.

2 “一題一課”下的“一元函數的導數及其應用”復習設計

2.1 回首引言，提煉概念精華

閱讀章引言部分，思考： 你能用簡練的語言回答導數是什么嗎？

導數作為本章的核心概念具有一定的抽象性.學生系統學習本章節內容后，再回顧章引言，可以從宏觀上加深對導數大概念的理解.本章知識的發展遵循導數的起源、發展和應用價值：導數的是微積分的核心內容之一，對導數的研究起源于研究物理中的瞬時變化率，所以導數是瞬時變化率的數學表達，導數是研究函數的基本工具.借助這個問題幫助學生梳理本章知識之間的聯系，強化總結能力［1］.

2.2 問題驅動，橫向建構知識網絡

2.2.1 夯實基礎，復習通法

典型例題：已知函數fx=x-lnx

（1）求曲線y=f（x）在（1，f1）處的切線方程；

（2）求函數y=f（x）的單調區間；

（3）求函數y=f（x）在1e，e的最值；

基本問題：問題（1）什么是切線？如何求曲線的切線？

問題（2）用導數判斷函數單調性的步驟是什么？

問題（3）用導數求函數最值的步驟是什么？

追問：利用導數研究函數性質的基本步驟是什么？

本環節知識網絡的起點是導數的定義，利用導數的定義可以求切線方程，可以通過判斷導數的正負判斷函數的單調性，導數的正負變化可以判斷極值（函數局部變化），進一步求最值（函數整體性質）.以上三個問題串聯“知識點”形成“知識線”，即利用導數研究函數的一般方法.解決問題的過程中，學生可以體會到利用導數研究函數性質的優勢在于思路清晰、步驟明確，既快捷又容易掌握，從而對“導數”概念的理解更加具有系統性、深刻性［2］.

2.2.2 逆向思維，發展高階思維

思考1 若函數hx=x-alnx在3，5上單調遞增，則實數a的取值范圍為（? ）.

A．a<3 B.a>3 C.a≤3 D.3

師：因為hx在3，5上遞增，故其導數h′x>0，然后求出a的范圍.這種解法正確與否呢？

生：正確.依據課本第86頁的定理，在某個區間（a，b）上，如果f ′x>0，那么函數y=f（x）在區間（a，b）上單調遞增，反之也成立.

師：那么按照這種做法，參數a的取值范圍是多少？

生：先對函數hx求導，然后解不等式h′x>0，得到a

師：那么當a=3時候，是否符合題意？請同學檢驗.

生：當a=3時，h′x=x-3x，由h′x>0，得x>3，所以函數hx在3，+∞單調遞增，所以在區間3，5也是單調遞增，符合題意.

師：那么，在某個區間（a，b）上，f ′x>0是函數y=f（x）在區間（a，b）上單調遞增的什么條件？

生：充分不必要條件

師：對于利用函數的單調性求參數的取值范圍，應注意什么問題？

生：解不等式 h′x>0時，對等號情況應檢驗，判斷是否符合題意.

思考2 若函數hx=x-alnx在1，+∞上不存在極值，求實數a的取值范圍.A．a<3 B.a>3 C.a≤3 D.3

師：函數fx=x-lnx與函數hx=x-alnx有什么關系？

生：當a=1，fx=hx，也就是fx是hx的一種特殊情況.

師：hx在其定義域內是否有極值？

生：h′x=x-ax.當a≤0時，h′x>0，函數

hx在0，+∞單調遞增；當a<0是，x=a函數hx的極小值.

師：結合hx函數圖像，要使hx在1，+∞上不存在極值，極值點x=a要在x=1的左邊還是右邊？

生：左邊，即a≤1.

引導學生尋找fx與hx的關系，從特殊到一般.觀察h′x=x-ax的結構特點，對參數a進行合理分類討論，結合圖像得出a的取值范圍.借助數形結合的思想，幫助學生理清思路，動靜結合，挖掘問題的本質，使學生對知識的理解深入到知識的聯通，培養學生的直觀想象能力和邏輯推理能力.

2.3 變式探究，縱向拓展知識網絡

典型例題：（4）證明：fx=x-lnx≥-x2+2x

師：問題（4）如何用導數證明不等式問題？可以轉化成哪種相關問題？

生：不等式問題往往可轉化為函數的最值問題，即可以轉化為f（x）-（-x2+2x）≥0然后構造函數g（x）=f（x）+x2-2x，求函數g（x）的最小值大于或等于0.

師：是的.一般要對不等式的結構進行變形，構造出新的函數，如何構造取決于新函數的導數是否容易研究.例如，構造出的新函數gx對其求導，再求最值是比較容易的.

典型例題：（5）對于函數f（x）=x-lnx.

判斷函數gx=fx-2的零點個數.

師：問題（5）如何判斷函數fx在區間（a，b）上存在零點？

生：要滿足兩個條件：首先函數圖象在（a，b）上連續不斷，其次滿足fa？fb<0.

師：能否借助第（1）至（3）題結論，畫出函數

gx的大致圖像？

生：gx在0，1單調遞減，在1，+∞單調遞增，所以gx的最小值為g1=-1.

師：由函數大致圖像可知，gx在區間0，1和1，+∞各有一個零點.如何根據零點存在定理給出證明？

生：因為g1<0，所以需要在區間0，1找到一個具體的值a，使得fa>0；在區間1，+∞找到一個具體的值b， 使得fb>0.

師：結合y=lnx函數，當實數a，b取何值，lna、lnb是一個特殊值，滿足fa>0，fb>0

生：取a=1e，則f1e=1e+1>0 ；取b=e2，則fe2=e2-4>0，滿足零點存在定理.

遇到函數零點問題，最直接的想法就是運用零點存在性定理證明.但是在這之前需要綜合運用函數與方程、數形結合、等價轉化等思想和方法做好鋪墊［3］.

2.4 課堂小結與目標檢測

小結（學生回答）

（6）導數可以解決哪些問題？

（7）學習本章知識運用哪些思想和方法？

課后目標檢測：作出函數f（x）=ex（2x-1）x-1的大致圖像.

3 教學實踐反思

3.1 以發展核心素養為導向的單元設計

導數單元知識的重新建構豐富了學生的函數觀，提升函數素養，進而培養學生的批判性思維和創新能力.

3.2 突出“一題一課”的優勢

單元復習課與新授課不同，除了喚醒學生對舊知識的回憶外，還要對所學過知識進行深化.由常數變參數，對第（2）小題進行變式得到思考1，學生在做這類題時，由于對極值點的理解不夠全面或深刻常常會犯錯.教師不妨放慢節奏，關注學生學習數學的邏輯，引導學生自主反思，找到錯誤的本源.學生經歷糾錯的過程，重新投入數學時候才能擁有一種自信、獲得成功的良好感覺［4］.

3.3 認真研讀教材，深入挖掘教材

教材是教學內容的載體，所編寫的內容體現了專家思維.因此在設計“一題一課”單元復習課時，需要反復認真研讀教材，理清知識之間的聯系，從總體上把握單元的知識結構，抓住復習課設計的“主線”.找準知識的生長點作為母題，在此基礎上逐步生成一個有序的題組.課本的例題和習題往往是高考命題的“源泉”，一題一課的單元復習課可以選擇它們（或者改變題）作為題目的來源.

參考文獻：

［1］ 李龍才.凸顯導數的內涵與思想，體現導數是研究函數性質的基本工具：“一元函數的導數及其應用”教材設計與教學建議［J］.中學數學教學參考，2021（07）：8-11.

［2］ 李昌官.“五管齊下”育數學素養實踐探索：以“導數概念”研究型單元教學為例［J］.中學數學教學參考，2019（16）：16-20.

［3］ 陳鳳華.導數在函數中的應用［J］.讀寫算（教育教學研究），2011（21）：133-134.

［4］ 薛江濤.基于微課程的高中數學教學模式的研究與實踐［D］.濟南：山東師范大學，2016.

［責任編輯：李 璟］