基于HPM的高中數學概念課教學設計與應用研究*
——以“函數的概念”教學為例

江蘇省儀征中學 鄧迎春

南京師范大學第二附屬高級中學 張曉飛

《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》(后面簡稱“課標”)指出:函數是現代數學最基本的概念,是描述客觀世界中變量關系和規律的最為基本的數學語言和工具,在解決實際問題中發揮重要作用.函數概念是高中數學很重要的基礎概念之一,但是很多學生忽視對函數概念的理解.不少學生存在這些疑問:“為什么初中已經學習了函數的概念,高中還要學習新的概念?是不是到了大學還要學習函數新的定義?函數的概念到底是怎么產生、怎么發展的?”

在數學教學中一定要突出數學本質,而這就需要在教學過程中讓學生深入理解數學概念,理解數學本原性知識,了解數學歷史、數學文化,掌握數學思想,體會數學思維方式,并學會對數學美的鑒賞.很多研究已表明,將數學史融入教學有助于學生認識數學發展規律和數學本質,只有讓學生經歷了知識的產生、發展過程,才能將數學冰冷的美麗轉變為火熱的思考.鑒于此,在2020年秋季學期本校骨干教師教學展示活動中,筆者就“函數的概念”這一課題,嘗試從HPM的角度進行教學設計,通過若干情境,結合數學史對函數概念的教學進行了重構,加強函數概念發展史內容的滲透,促使學生更好地掌握本節課內容,提升學生的人文情懷,提高學生的數學核心素養.現整理成文,與各位同仁共勉.

1 教學設計與實施

1.1問題情境與學生活動

托馬斯曾說過:“函數概念是近代數學思想之花.”今天老師和大家一起學習“近代數學思想之花”——函數的概念.可能同學們會有疑惑,初中已經學過函數的概念了,為什么到了高中還要學習?難道函數還有不同的定義?其實函數的概念經歷了幾次抽象的過程,下面我們就以教材中的三個現實生活問題為載體再重溫一下函數概念的發展歷史.

情境1某城市在某一天24 h內的氣溫變化情況如圖1所示,試根據圖象回答下列問題:

圖1

(1)這一變化過程中,有哪幾個變量?

(2)如果一個動點P在這個曲線上運動,它的橫坐標、縱坐標有關系嗎?

情境說明：此情境中有時間和溫度兩個變量.如果動點在曲線上運動,動點P的橫坐標、縱坐標是相互依賴的.其實在歷史上,法國數學家笛卡兒在《幾何學》一文中首先引入變量思想,將變量稱為“未知和未定的量”.1673年,牛頓在微積分的討論中,使用“流量”來表示變量間的關系.同年,萊布尼茨創造了函數function一詞,表示任何一個隨著曲線上的點變動而變動的量的縱坐標.此時為函數概念的萌芽時期.

情境2一物體從靜止開始自由下落,下落的距離y(單位:m)與下落的時間t(單位:s)之間滿足什么關系?

(1)上述情境中,有幾個量?常量是哪些?變量又是哪些?

(2)可以通過什么來刻畫兩個變量之間的關系?

情境3估計人口數量變化趨勢是我們制定一系列相關政策的依據.表1是我國從1949年至1994年人口數據資料:

表1

(1)表1中有變量嗎?有幾個變量?

(2)當年份確定后,當年的人口數是否確定?你能寫出人口數關于年份的關系式嗎?

情境說明：“是不是所有的變量都能用解析式表示?”在18世紀中期,隨著生活和科技的發展,出現了這樣的新問題.如表1中的變量為年份和人口數,當年份確定時,對應年份的人口數也是確定的,但是我們無法寫出人口數關于年份的關系式.18世紀20年代,德國數學家狄利克雷給出如下函數定義:對于在某區間上的每一個確定的x的值,y都有一個確定的值,那么y叫做x的函數.這時,我們才認為函數概念的本質已經形成,即數學人常說的函數的經典定義,也稱“對應定義”.

思考1：結合上述三個情境問題,如何用集合語言描述兩個變量?

思考2：如何用集合語言描述函數的變量對應關系?

思考3：基于以上兩點思考,你能嘗試用集合的語言給出函數的定義嗎?

在1930年,近代函數的定義為:若對集合M的任一元素x,總有集合N中唯一確定元素y與之對應,則稱集合M上定義一個函數,記為y=f(x).元素x稱為自變元,元素y稱為因變元.

歷經數百年,函數概念經過好幾代數學家的錘煉、革新,至此,數學家們完成了近代函數概念建構的全過程.但這并不一定是函數概念的終結版,隨著科學的發展,函數的概念還在繼續發展.

1.2意義建構和數學理論

蘇教版必修1(2020年7月第一版)給出的函數定義如下:

一般地,給定兩個非空實數集合A和B,如果按照某種對應關系f,對于集合A中的每一個實數x,在集合B中都有唯一的實數y和它對應,那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個函數(function),記作y=f(x),x∈A.其中,x叫作自變量,集合A叫做函數y=f(x)的定義域(domain).

思考4：高中的函數定義與近代函數的定義有沒有區別?

思考5：初中的函數定義與高中的函數定義有什么異同?

思考6：高中函數定義的基本要素是什么?

近代函數定義建立在集合上,高中函數定義建立在非空實數集合上;高中的定義是從集合、對應的觀點出發,而初中給出的定義是從運動變化的觀點出發,本質是一樣的,都是一種對應關系,不同的是敘述的方式.此三個思考,能更好地幫助學生在已有的知識基礎上理解新的知識,并融會貫通.

1.3數學運用

例1判斷下列對應是否為函數,如果是函數,你能否說出其定義域和值域?

例2判斷下列各組函數是否為同一函數?

設計意圖：例1是訓練學生用概念來解析問題,加強對函數本質的理解.通過例1強調函數概念中的“任意性”與“唯一性”,并促使學生關注到,對應的是結果,而不是過程.例2是概念的再理解應用,函數的定義域相同,且相同的變量值對應的函數值也相同,那么這兩個函數就是同一函數.簡單地說,如果兩個函數的三要素(定義域,對應關系,值域)相同,那么這兩個函數就是同一函數;更簡單地說,定義域和對應關系相同的兩個函數即為同一函數.函數的表達與字母的使用無關.

1.4總結與反思

問題：同學們,今天我們一起徜徉在歷史長河中,經歷了函數概念的萌芽、發展到逐步完善的過程,并學習教材中函數的定義,你有什么收獲?

設計意圖：總結和反思可以幫助學生厘清這節課的“為何”和“如何”的問題,即為何要學習本節課的知識,又是如何學習的,并形成知識體系,提升學科素養,使學生更深層次地理解三百多年來函數概念的發展與生產、生活以及科學技術的實際需求緊密相關.

有的學生認為函數概念的發生、發展都離不開生活,生活是科學發展的原動力;有的學生總結說了解到函數概念一步一步逐漸發展成熟的過程,知道了函數概念的來龍去脈,理解了概念的本質;還有的學生覺得人們認識函數概念的過程是非常曲折的,科學研究需要不斷的學習與創新;等等.

1.5課外自主探索

自主搜索“狄利克雷函數”,并了解它在函數概念發展中的作用.

設計意圖：從課內到課外,使學生能主動地有意識地參與到數學史和數學文化的學習中,認識到數學史和數學文化在數學學習中的作用和意義,并能借助課堂上學習的思想和方法,形成自主學習新知識的意識和能力.

2 教學反思與感悟

HPM是一個富有魅力、前景廣闊、特色鮮明的學術領域.它既需要有一定的數學和數學史功底,也需要掌握數學教育的理論與研究方法;既需要有坐“冷板凳”的功夫,也需要有較強的社會實踐能力.

2.1 以史為鑒,激發學生數學學習熱情

本節課的授課對象為江蘇某四星級高中高一普通班學生.從教學過程看,學生課堂回答問題的主動性、積極性很高.學生對函數概念的“前世今生”也非常感興趣,在學習過程中,學生時而穿越時空,與先哲對話,汲取思想養料,探索教學方法;時而回歸現實,走入心靈之中,探索數學學習的歷史相似性;教師也時而掩卷深思,品味成敗得失,展望數學教育美好的明天.在課后與同學的交流中,大部分學生贊同課堂中適當融入數學史,以激發學習興趣,也有利于培養高中生數學抽象和邏輯推理核心素養.

2.2以史啟真,培養學生正確的數學觀

函數概念是高中數學中很重要的知識點,但是學生學習之初會感到很困惑:初中已經學習過函數的概念,為什么又要學習函數的另外一種概念?同時,學生對函數概念的理解往往局限于一次函數、二次函數等特殊的簡單函數,對函數概念存在不少片面認識.本節課通過對函數概念發展歷史的簡單重構,引領學生經歷了函數概念發展的四個時期,了解了數學概念發生、發展的曲折過程,明確了科學知識發生、發展的源動力.法國大數學家龐加萊也說:“如果我們想預見數學的未來,適當的途徑就是研究這門學科的歷史和現狀.”基于HPM重構高中數學課堂,避免了簡單地告知知識點是什么,怎么答題,而是把數學的本質展現出來,通過系列本源性問題,促進學生的思考和探究,最終實現培養學生數學核心素養的目標.

2.3以史促思,培養學生的數學思維

我們要知其然,還要知其所以然.“為什么會萌發函數概念?為什么要明確函數概念?為什么要完善函數概念?”這些都是數學本原性問題.用好數學史,可以幫助學生回歸、溯源、思考原始問題,啟迪學生思維.大力挖掘數學史的教育價值,將這些方面用到日常數學教學中,對于增進學生的數學問題意識,培養學生數學思考的習慣和獨立鉆研的能力,啟發學生的思維和方法,提高數學的創新水平等都具有重要的作用.紙上得來終覺淺,絕知此事要躬行,要使學生從被動的學習到主動地探究,從知之到樂之.