化韋達定理“無效”為“有效”的策略*

云南省曲靖市第一中學 張國坤 董善清

1 韋達定理有效與無效情形分析

但有時會遇到“無法”處理的情形,譬如遇到將問題化歸為λx1x2+μx1+rx2+q的情形,當μ≠r時,對μx1+rx2就“無法”使用韋達定理處理,問題“擺不平”,此時韋達定理就“失效”了.

2 韋達定理變“無效”為“有效”的策略

當遇到λx1x2+μx1+rx2+q(μ≠r)這類情形時,可以實施如下程序化的策略嘗試處理.

2.1 降冪:“兩根之和”與“兩根之積”間的代換

2.2 消元:利用“兩根之和”進行根間代換

利用韋達定理降冪和消元常常可以使問題順利求解,利用韋達定理的變式降冪和消元就是使韋達定理變“無效”為“有效”的有效策略.

3 韋達定理變“無效”為“有效”的策略應用舉例

下面通過幾道例題的解析,展示變式利用韋達定理進行降冪、消元而讓韋達定理變“無效”為“有效”的運用策略.

3.1 變式利用韋達定理進行和積代換

所以,直線AD,BE的斜率的比值等于定值.

(1+2k2)x2+8kx+6=0.

設直線AM,BN的交點為P(x,y).由直線l與y軸不重合,得x≠0.

(y1+1)x-x1y=x1.

①

(y2-1)x-x2y=-x2.

②

聯立①②,解得

3.2 利用韋達定理進行和積代換與根間代換

(1)求C的方程.

(2)記C的左右頂點分別為A1,A2,過點(-4,0)的直線與C的左支交于M,N兩點,M在第二象限,直線MA1與NA2交于P,證明:點P在定直線上.

設M(x1,y1),N(x2,y2),已知M在第二象限,則y1>0,y2<0,x1<0,x2<0.由韋達定理,得

兩式相除,得2my1y2=3(y1+y2).

將x1=my1-4和x2=my2-4代入上式,化簡整理,得

所以,直線A1M與直線A2N的交點P在定直線x=-1上.

本題解答中,看似必須使用韋達定理,但韋達定理失效了,聯合使用韋達定理的“兩根之積”與“兩根之和”得到y1y2與y1+y2的關系式2my1y2=3(y1+y2),將y1y2降冪處理,問題瞬間化險為夷.

4 總結