教學順序的邏輯優化及其在力學類課程中的應用

滕桂榮　朱緒力　陳俊國　趙增輝

［摘 要］為適應新工科建設人才培養要求，高等學校工科專業增加了學科前沿和學科交叉類課程，但專業基礎課面臨著學時壓縮的現實。如何解決學時壓縮與提高教學質量之間的矛盾，是眾多高校教師需要認真思考的問題。文章在分析知識點邏輯關系的基礎上，提出了由一般到特殊的教學順序設計方法，總結了采用由一般到特殊的教學順序的條件，并以經典力學課程中的知識點為例具體闡述了教學順序的優化方案。優化后的教學順序能夠保證在學時壓縮的基礎上，促進學生對課程理論的全方位理解，提高教學質量，并有效激發學生的學習動力。

［關鍵詞］教學順序；邏輯關系；教學優化；力學課程

［中圖分類號］ G642 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 2095-3437（2023）07-0085-04

新工科背景下，高等學校工科專業的培養方案和教學體系發生了一系列的改變[1-3] 。 為了提高學生的創新能力和工程素養，我國高等院校在保證中國高等教育特色的基礎上，積極借鑒國外學科建設的經驗[4]，逐步增加一些學科前沿和學科交叉類課程。但課程數量的增加必然會擠占專業基礎課程的教學課時。對于如何在學時減少的情況下完成教學任務并提高學生的科學素養和工程能力，學者們進行了多方面的探索。在教學模式上，李榮青等[5]對嵌入式系統設計課程的項目驅動教學模式進行了探究。常利武等[6]將“以賽促教”模式在工程力學課程教學中進行了實踐。陳立群[7]對歐美理論力學教材中的運動學授課內容進行了梳理，為編著適合我國工科教育的優秀教材提供了參考。徐鋒等[8]對新工科背景下地方高校材料力學“金課”建設路徑進行了探索。這些研究和探索為教學改革提供了思路，但教師在具體教學中仍需要對核心教學內容進行梳理和規劃，以保證教學內容的完整性并提高教學效率[9]。本文總結了筆者所在教學團隊的教學改革成果，在分析知識點之間邏輯關系的基礎上，提出教學順序的邏輯優化方法，并在教學過程中進行了實踐。

一、教學順序的邏輯優化方法

為了優化課程教學，任課教師在進行授課設計之前需要分解課程的知識點，并梳理課程知識點之間的邏輯關系。知識點之間的基本邏輯關系可以分為遞進關系、平行關系和覆蓋關系三類，如圖1所示。圖1（a）所示的遞進關系知識點之間要求有嚴格的先后關系，需要按照知識點之間的內在邏輯順序進行講授。圖1（b）所示的平行關系知識點之間沒有直接關聯，可以靈活選擇授課順序。如圖1（c）所示，如果一個知識點的變量包含了另一個知識點的所有變量，就形成了知識點之間的覆蓋關系。在覆蓋關系中，如果授課順序為知識點1、知識點2、知識點3，則為由特殊到一般的教學順序；如果授課順序為知識點3、知識點2、知識點1，則為由一般到特殊的教學順序。

在以往的教學過程中，一般采用由特殊到一般的教學順序。這種教學方法的優點是起點低，有利于學生逐步理解教學內容，但也存在比較明顯的缺點：首先，教學過程較為冗長，不符合目前新工科建設快速準確的教學要求；其次，低起點的簡化知識點往往不能與最終知識點完全對應，反而增加學生的理解負擔；最后，對知識點進行全面講述，不利于鍛煉學生的深度思考能力。

高年級工科大學生的理解能力和自學能力已經得到了較好的鍛煉，具備直接理解和接受專業課中難度較高的知識點的基礎。目前廣泛采用的線上線下相結合的教學模式也有利于知識點教學的靈活安排，例如可以將簡單的知識點安排至線上預習或課后拓展。綜上所述，對于工科類的專業課或專業基礎課，采用一般到特殊的教學順序是可行和必要的。

知識點之間存在覆蓋關系是采用由一般到特殊的邏輯化教學順序的基礎，但并非所有具有覆蓋關系的知識點都適用這種授課模式。如果知識點之間存在從靜態到動態、從線性到非線性的難度跳躍，簡化知識點與復雜知識點之間存在較大的難度差別，則不適合采用從復雜到簡化的教學順序。

結合教學實踐，從教學要求、知識點之間的關系和學術掌握程度等方面進行分析，確定可以采用由一般到特殊的教學順序的條件為：

（1）相關知識點之間存在覆蓋關系；

（2）復雜知識點為學生必須掌握的內容；

（3）學生已有的知識儲備滿足理解復雜知識點的需要。

在實際應用中應根據以上條件進行教學調整。如在圖1（c）所示的知識點中，如果知識點滿足以上所有條件，教學順序可以為知識點3、知識點2、知識點1；如果知識點2為必須掌握的知識點而知識點3為一般了解的內容，或者學生的知識基礎只能理解知識點2，則可以考慮教學順序為知識點2、知識點1、知識點3。

基于邏輯關系的教學順序優化不僅能夠節約課時，還有利于學生全面掌握知識點，并通過簡化模型加深理解，從而鍛煉學生的邏輯思維能力。針對一些關聯性強且具有覆蓋關系的知識點，采用由一般到特殊的教學順序是合適的。優化后的教學順序為先講授復雜知識點，然后講授簡化知識點，這樣能達到優化教學內容、增強學生能力的目標。

二、力學類課程的教學順序優化實例

經典力學類課程中一個完整的力學知識點包括維度、位移類和應力類的三種變量。

（1）維度：包括三維（空間問題）、二維（平面、可簡化為2個坐標變量的曲面問題）、一維（直線、可簡化為1個坐標變量的曲線問題）；

（2）位移類：包括位移、速度（速率）、應變、應變率等；

（3）應力類：包括力（集中力和線分布力）、應力（表面力和內應力）、體積力等。

其中位移類和應力類參數還可以細分出多種變量，例如應變包括正應變和剪應變、應力包括正應力和切應力等。復雜知識點的變量可能包括三維空間的所有分量。簡化知識點則可能涉及降維或減少部分變量，如三維空間問題降為二維平面問題、忽略切應力的問題。采用一般到特殊的教學順序則是根據教學條件，從合適的復雜知識點開始講授。下面以經典力學類課程的具體知識點為例，討論由復雜到簡化的教學模式的實施。

（一）理論力學

理論力學是一門理論性較強的技術基礎課，主要研究剛體在力系作用下的平衡規律和運動狀態的變化規律。無論是作用在物體上的力系還是物體運動狀態的改變，都存在著二維平面問題和三維空間問題，因此理論力學的教學內容中有許多平面問題和空間問題存在覆蓋關系的知識點。

以靜力學中的平面力系、空間力系為例，一般教材中的章節設計如圖2所示。平面力系中講授的知識點，在空間力學中重現，只是知識點的維數從二維平面問題升級到了三維空間問題。根據空間力系與平面力系的對應知識點的覆蓋邏輯關系，在授課過程中可以采用從三維復雜模型到二維簡化模型的優化教學順序。在講授完靜力學公理和受力分析后，可直接講授空間力系，詳細講解空間力的投影、空間力對點之矩、空間力對軸之矩的概念，空間任意力系的簡化和力系的平衡等內容，讓學生全面理解和掌握空間力學，然后直接將三維問題簡化為二維問題。這種由一般到特殊的覆蓋式授課模式，直觀地建立了工程實際的空間力系平衡和平面力系平衡之間的聯系，培養了學生的工程思維，減少了靜力學部分的授課學時，增強了后續知識點的教學靈活度。

（二）彈性力學

彈性力學是連續介質力學中固體力學的重要分支，研究彈性物體在邊界條件作用下產生的變形和內力及其相互關系。彈性力學課程一般先從平面應力問題、平面應變問題開始講授，然后講授三維問題的彈性力學規律。平面問題是三維彈性力學問題的簡化形式，構成如圖3所示的覆蓋關系。如果采用從一般到特殊的教學方式，在授課時教師就先從三維問題開始講授彈性力學知識，然后具體講授二維平面問題。實際上，真實物理模型都是三維的，平面問題只是三維問題的不完整簡化，這也是平面問題分為平面應力問題和平面應變問題的原因。從一般到特殊的教學方式不僅能讓學生深刻理解彈性力學的真實規律，還能從根本上使學生理解平面應力問題的三維特性，即平面應力問題的應變和平面應變問題的應力均為三維參數。

（三）流體力學

流體力學是研究流體的平衡與運動規律以及流體與周圍物體之間相互作用的一門學科。對于流體力學課程中的動力學部分，一般先講授理想流體的歐拉運動微分方程，再講授實際流體的運動微分方程（Navier-Stokes方程，即N-S微分方程）。與歐拉運動微分方程相比，N-S微分方程考慮了流體黏性引起的切應力。采用覆蓋式教學模式，先講授N-S微分方程，忽略流體的黏性，即在N-S微分方程中刪除因黏性引起的切應力就得到歐拉運動微分方程。在流體力學中采用覆蓋式教學模式能夠使學生準確把握流體黏性的作用、區別理想流體和黏性流體的動力學特征。

同樣基于由一般到特殊的覆蓋式授課模式原則，在講授積分形式的連續性方程（質量守恒方程）、伯努利方程（能量守恒方程）、動量方程和動量矩方程時，考慮到如圖4所示的4個基本方程與雷諾輸運方程的邏輯關系，應先詳細講授雷諾輸運方程，然后通過直接簡化條件得到連續性方程（質量流）、伯努利方程（能量流）、動量方程（動量流）和動量矩方程（動量矩流）。

（四）計算力學（有限元方法）

計算力學（有限元方法）是一種現代設計方法，主要應用于連續介質力學的分析，具有重要的經濟意義和巨大應用潛力。在講授結構力學的有限元方法時，往往從桿件結構講起，然后講梁和框架結構。結構單元從平面二力桿到考慮彎曲切應力的三維空間普通梁單元（Timoshenko梁），其坐標、位移和應變變量均有增加。采用由簡單到復雜的教學方法雖然在開始時容易理解，但對學生全面深入理解知識幫助不大；而且由于增加的變量較多，這種循序漸進的方式容易引起學生的思維疲勞。結構力學的有線元方法只是課程中的基礎部分，在課程改革中需要壓縮學時，因此應采用由一般到特殊的覆蓋式授課方法。綜合考慮知識點的難度（包括坐標變換、復雜應力狀態等），確定如圖5所示的教學順序。先分析基本梁單元，即考慮二維空間中梁的拉壓、扭轉、彎曲引起的位移，且不忽略彎曲產生的剪應力。然后由基本梁單元通過坐標變換得到空間梁的通用矩陣。最后對分析參數進行簡化，得到各種簡化結構模型。

三、結論

根據教學實踐，總結采用從一般到特殊的覆蓋式教學模式具有以下優點：

（1）在保證授課要求的前提下節約課時。由淺入深、循序漸進的教學模式勢必存在一些重復的推導過程，而由深到淺的覆蓋式教學模式包含了全部授課內容，同時可以避免重復推導、可以節約課時。采用覆蓋式教學模式后知識點的授課學時可減少40%。

（2）加深學生對知識點的全面理解，提高學生的邏輯思維能力。從一般到特殊的覆蓋式教學模式能夠使學生全面理解知識體系，準確把握復雜問題和簡化問題之間的關系。在實際教學過程中，可以結合具體問題開展簡化問題學習，提高學生處理工程問題的能力。

（3）平衡教學難度，避免思維疲勞。從一般到特殊的覆蓋式教學模式有利于激發學生的學習動力，避免起點過低引起心理松懈，以及類似理論的重復推導引起的思維疲勞問題。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 龔發云，王德發，呂棟，等. 新工科背景下地方工科高校教學模式改革探索[J]. 高教學刊， 2021（6）：156-159.

[2] 馬宏偉， 張偉偉. 新工科力學課程體系的幾點思考[J]. 高等工程教育研究， 2018（3）：6-12.

[3] 李貞玉，楊國程，王鑫.新工科背景下地方高?；ゎ惾瞬排囵B改革研究與實踐[J].高教學刊，2021（10）：164-167.

[4] 向美來，詹云峰，易偉松. 世界一流工程學科建設經驗與啟示：以佐治亞理工學院為例[J]. 寧波大學學報（教育科學版）， 2021，43（4）：102-108.

[5] 李榮青， 夏崢嶸，沈曉波. “嵌入式系統設計”課程的項目驅動教學模式探究[J]. 江蘇科技信息， 2021， 38（5）：62-65.

[6] 常利武，杜亞志.“以賽促教”模式在工程力學課程教學中的應用[J]. 力學與實踐， 2020， 42（4）：495-498.

[7] 陳立群.歐美理論力學教材中的運動學[J]. 力學與實踐， 2020， 42（6）：771-777.

[8] 徐鋒，范劍，許晨光. 新工科背景下地方高校材料力學金課建設路徑與探索[J]. 力學與實踐， 2020， 42（2）： 226-231.

[9] 趙增輝， 李龍飛，付彥坤，等. 基礎力學系列課程教研組建設初探[J]. 大學教育，2018（10）： 11-13.

［責任編輯：鐘 嵐］