磁驅動中心對稱撓曲電夾層板力電耦合性能分析1)

郭子文 章公也 糜長穩

(東南大學土木工程學院,南京 210096)

引言

力電耦合效應是廣泛存在于各類電介質材料中的多場耦合效應之一,常見的形式有壓電效應、電致伸縮效應、鐵電效應等[1-5].一些線性力電耦合效應,如壓電效應和撓曲電效應,由于可以實現電能和機械能之間的相互轉化而被廣泛應用于多種機電器件和設備中,例如諧振器、傳感器、發電機和濾波器等[6-10].

撓曲電效應是電介質中應變梯度(非均勻應變)與電極化之間的耦合(正撓曲電效應),或者電極化梯度與應力的耦合關系(逆撓曲電效應).正撓曲電效應將機械能轉化為電能,可用于制造傳感元件或發電元件.逆撓曲電效應能夠將電能轉化為機械能,可應用于制造驅動元件.在傳統壓電材料中,均勻應變(如單軸拉壓)能夠通過壓電效應激發電極化,其中,非中心對稱晶體是材料表現壓電性的必要條件;而撓曲電效應即使在中心對稱晶體中,也可通過非均勻應變(如彎曲變形)局部破壞材料內部正負電荷的對稱性并誘發撓曲電極化.近年來,撓曲電效應逐漸引起了研究者們的廣泛關注.相比于壓電效應,撓曲電效應具有明顯的優勢.一方面,壓電效應僅存在于20 種非中心對稱的介電材料中,這極大限制了壓電材料的進一步發展與應用.而非均勻應變能夠在所有介電材料中產生電極化,即撓曲電材料的來源比壓電材料更廣泛.另一方面,由于壓電材料在高于居里溫度時會發生相變,導致材料對稱性增高,壓電性消失,因而壓電效應很難應用于高溫場合,而撓曲電效應沒有這個限制,故撓曲電材料的工作溫度范圍更廣.除此之外,撓曲電效應會隨著尺度的降低而急劇增強,當材料特征尺寸達到微納米量級時,撓曲電效應會變得十分顯著,因此在微納米材料中撓曲電效應變得更加不可忽視[11-12].

在考慮撓曲電效應的連續介質力學模型中,機械載荷引起的彎曲變形和曲率引起的撓曲電極化是大多數研究人員關心的問題[13-20].除此之外,利用熱彈性、熱電性或磁致伸縮效應引起的熱或磁致變形和電極化在多場耦合領域也已得到廣泛應用[21-24].特別地,與直接施加機械載荷相比,利用磁電耦合材料進行磁調控是一種非接觸式的智能驅動方法,通常出現在以壓磁性材料作為驅動器的復合結構中,能夠實現磁-力-電的多場耦合.磁電耦合材料具有很多重要的應用,包括磁傳感器、數據存儲、醫學中的遠程藥物傳遞和無線能量采集器等[25-27].雖然自然界中的磁電耦合單相材料確實存在,如BiFeO3,Cr2O3和YMnO3,但是,它們具有較低的居里溫度并且在室溫下的磁電耦合性能很弱,這無疑限制了磁電耦合材料的應用[25].為此,人們轉而采用壓電和磁致伸縮復合結構,用以規避單一構型磁電材料的缺點,如BaTiO3和CoFe2O4磁電復合材料[28]、PZT 壓電陶瓷與稀土合金Terfenol-D 磁電復合材料等[29].近期,Li 等[30]針對一維非壓電懸臂梁的研究表明,通過磁場也可以激發撓曲電極化,這進而拓寬了撓曲電器件的應用范圍.

現有文獻對于撓曲電效應的結構理論研究大多只針對彎曲和屈曲等靜態問題,缺乏對于較為復雜的受迫振動等動態問題的研究,尤其是將磁場作為驅動源時的動態振動機制尚不明晰.有鑒于中心對稱撓曲電介電材料在微納米尺度下顯著的力電耦合效應和磁場的非接觸驅動特性,本文以具有單個撓曲電層和兩個對稱壓磁層組成的夾層板為例,通過多物理場結構理論建模,研究夾層板在全局和局部磁場驅動下的動態力電耦合響應,以期為磁控機電器件的優化設計提供新的改進思路.

1 結構理論框架

從連續介質力學的角度看,對于特定的模型結構,可以將三維框架簡化為一維的梁、桿或二維的板模型,再通過解析法對這些模型進行求解.因此,本節將基于Mindlin 發展的多物理場結構理論分析方法建立撓曲電夾層板的二維理論分析框架.

1.1 單層撓曲電板

如圖1 所示的單層撓曲電薄板,長度和寬度分別為a和b,厚度為2h.采用直角坐標系 (x1,x2,x3),在外部橫向力q(x1,x2)的作用下發生變形.根據Mindlin 結構理論假設,板內任意質點的位移可沿板的厚度方向按級數形式展開,其一階截斷的表達式為[31-32]

圖1 單層板及采用的坐標系Fig.1 A single-layer plate and coordinate system

其中,φ(0)和 φ(1)表示沿板面的零階電勢和沿板橫向的一階電勢.

根據經典偶應力理論[33-36],無窮小應變張量定義為 ε=(?u+u?)/2;曲率張量表達式為χ=θ ??,其中 θ(=(?×u)/2) 為旋轉矢量.結合式(1) 可得非0應變和曲率分量分別為

此外,靜電場強度可由電勢的負梯度計算得到,即E=-?φ.結合式(2)可得其分量形式為

根據偶應力撓曲電理論[36-37],單層撓曲電板的Gibbs 自由能(G)在 [0,T]時間內的一階變分為

對應于上式的本構方程為[38]

其中,Cijkl為撓曲電板的4 階彈性剛度張量、sij為介電系數張量、fikl為3 階撓曲電系數張量,反映電極化和曲率之間的力電耦合效應.

1.2 夾層板的三維本構關系

考慮圖2 所示的三明治式壓磁驅動撓曲電夾層板結構,該模型建立在直角坐標系 (x1,x2,x3)之中,由中間的撓曲電層和沿著撓曲電層的中面呈上下對稱分布的兩個壓磁層組成.其中,撓曲電層選用具有中心對稱的立方晶體結構(m3m 點群)材料,具有撓曲電性.壓磁層選用具有橫觀各向同性的六方晶體結構(6mm 點群)材料,不含壓電性和磁電耦合效應,僅考慮壓磁性能.兩側六方晶體壓磁層的c軸雖均沿x3方向,但是二者極化方向相反.在橫向磁場H3作用下,當其中一個壓磁層在面內由磁致伸縮效應產生拉伸變形時,另一個壓磁層則會產生壓縮變形,夾層板結構整體的拉壓變形得以相互抵消,反之亦然.

圖2 磁場作用下的夾層板模型Fig.2 A sandwich plate model under a magnetic field

對于立方晶體結構材料,撓曲電層的三維本構關系為[38]

對于橫觀各向同性結構材料,上部壓磁層的三維本構關系為[39]

下部壓磁層的c軸方向為負時,壓磁系數的符號發生改變,因而其面內正應力本構方程變為

1.3 夾層板的控制方程和邊界條件

對應的邊界條件為

其中,ρ表示質量密度.式(13) 中的物理量建立在(n,s,x3)下,由坐標系(x1,x2,x3)轉換得到[41].

將式(3)～式(5)、式(8)～式(10)代入式(13),再將所得二維本構代入式(11),可得到以位移,,,電勢 φ(1)以及磁場強度H3表示的夾層板控制方程,即

其中

2 受迫振動分析

為了論證上節建立的撓曲電夾層板二維理論模型,本節將分別對其在全局和局部橫向磁場作用下的動態力電耦合響應展開研究.以簡支板閉合電路狀態為例(邊界配置如圖3 所示),邊界條件可根據式(12)得到,即

圖3 橫向磁場驅動下夾層板的邊界配置Fig.3 Boundary configuration of sandwich plate under a transverse magnetic field

對于矩形板,沿x1=0 和x1=a,邊界條件為

將二維本構代入式(18)可進一步得到

沿x2=0和x2=b,邊界條件為

將二維本構代入式(21)可進一步得到

本節主要分析外部磁場對模型的驅動作用,不考慮體力項,即令.夾層板受到時諧磁場的作用,磁場強度表達式為

其中,ξm=mπ/a,ζn=nπ/b,ω是板的激振頻率,i 是虛數單位并滿足i2=-1.代表磁場強度正弦級數展開式的系數,可通過積分計算得到,即

取決于外加驅動磁場的形式,位移場和電勢場也必然具有相應的時空分布特征,即

將式(23)和式(25)代入控制方程(14)得線性方程組

其中,Kij和Mij分別為4×4 的剛度矩陣和質量矩陣,二者的非零分量為

為了求解數值結果,本節選取的板尺寸參數為:h=10 nm,c=0.4h,a=b=40h.壓磁層和撓曲電層材料分別選取CoFe2O4和Si,二者的物理參數如表1 所示[40,42].值得注意的是,由于CoFe2O4的撓曲電系數無法在現有文獻中得出,本文忽略了壓磁層的撓曲電效應[43].

表1 CoFe2O4 和Si 的材料參數Table 1 Material parameters of CoFe2O4 and Si

2.1 全局磁場驅動

本小節研究全局磁場驅動下復合板的受迫振動問題,考慮幅值為h0=1.0×106A/m 的正弦型磁場強度分布形式

圖4 展示了單側壓磁層驅動撓曲電雙層板(藍色線條)(參見文獻[40])與當前夾層板模型(紅色線條)在正弦型全局磁場驅動下的一階電勢幅頻關系對比,兩種模型的材料組分占比和幾何尺寸均保持一致.從圖中可以看出,一階電勢表現出明顯的頻率依賴性,當激振頻率遠離固有頻率時,一階電勢的振動幅值幾乎為零,而當激振頻率靠近固有頻率時,一階電勢的振動幅度急劇增加,在固有頻率處達到最大值.此外,相較于“雙層復合板”、“當前夾層板”的一階電勢明顯增大,峰值提高了10%以上,這表明對稱式驅動壓磁層分布方式趨于提高多層復合板的力電耦合性能.

圖4 全局磁場驅動下的一階電勢幅頻關系對比Fig.4 Comparison of amplitude-frequency curve of first-order potential under the global magnetic field

2.2 局部磁場驅動

本小節采用H3=h0exp(iωt)的均布局部磁場驅動復合板,磁場的驅動范圍是一個長度為2d(d＜a/2),寬度為2e(e＜b/2)的矩形區域,如圖5 所示的灰色區域,關于矩形板的中心(x0,y0)對稱.對于該均布局部磁場,式(24)中的傅里葉系數可計算為

圖5 局部驅動磁場作用區域(灰色區域)Fig.5 Local magnetic field area (grey area)

局部磁場的具體驅動范圍可通過改變d和e進行調整,為了便于進行數值計算,本小節取d=e=25 nm.

圖6 展示了局部磁場驅動下復合板的撓度振動幅值與激振頻率關系,其中,h0=1.0×106A/m.在式(23) 中共保留了30 項,此時的計算結果與保留60 項時在小數點后第3 位依然一致,表明在驅動磁場的傅里葉級數中取30 項可以滿足收斂性要求.從圖6 中可以看出,在0～5.0×1010rad/s 的激振頻率范圍內,一共出現了3 階固有頻率,相應產生了3 個共振峰,并且,隨著固有頻率的增加,共振峰值越來越低.受到復合板振動阻尼的影響,固有頻率不再表現為單一的頻率值,而是表現為一小段固有頻率區間.

圖6 局部磁場驅動下夾層板的撓度幅頻關系Fig.6 Deflection amplitude-frequency curve of the sandwich plate under local magnetic field

與圖6 的前兩階固有頻率相對應,圖7 給出了夾層板的撓度、轉角和橫向電勢振型.雖然這些振型實際上是復值,但由于它們的虛部遠小于實部,因此可略去虛部.由于矩形板幾何尺寸和磁場作用范圍的對稱性,夾層板的轉角的分布類似,出于簡化的目的,的分布未做展示.從圖7 中可以看出,這些振型具有很強的頻率依賴性,低階振型具有更大的振動幅值,而高階振型沿復合板長度和寬度方向具有更短的周期.特別地,從圖7(b)和圖7(f)中還可以明顯看出,由于磁場的局部驅動特征,在作用區域中心附近產生撓度、轉角和電勢峰值.圖7所展示的結果對板型磁驅動器(磁能轉換為機械能)和板型磁傳感器(磁能轉換為電能)的優化設計具有重要的參考價值.

圖7 局部磁場驅動下夾層板的前兩階撓度、轉角和一階電勢振型Fig.7 The first two order deflection,rotation angle and first-order potential mode of the sandwich plate under the local magnetic field

圖7 局部磁場驅動下夾層板的前兩階撓度、轉角和一階電勢振型 (續)Fig.7 The first two order deflection,rotation angle and first-order potential mode of the sandwich plate under the local magnetic field (continued)

3 結論

本文以探索新型磁控納米機電器件為研究背景,提出了一種新的三明治式壓磁驅動撓曲電夾層板模型,構建了夾層板的二維控制方程和邊界條件,并分析了矩形簡支板在全局和局部磁場激勵下的動態力電耦合響應.基于本文的數值研究結果可以獲得以下兩點重要結論.

(1) 在外部時諧磁場驅動下,夾層板的位移和電勢振動幅值依賴于激振頻率.隨著固有頻率的增加,振型幅值迅速衰減,振型表現出周期變化特征.

(2) 驅動壓磁層的分布方式對復合板結構的力電耦合響應具有重要影響,本文設計的對稱式驅動壓磁層分布方式趨于提高復合板的力電耦合性能.

本文的理論模型和研究結果可為磁控機電器件的優化設計提供新的改進思路.