應時勢之變,創作業之新*
——“雙減”政策下初中數學創新作業探究

廣東省廣州市南沙東涌中學(511453) 霍銳泉

2021 年4 月,教育部辦公廳發布《關于加強義務教育學校作業管理的通知》,明確提出義務教育階段學生每天完成書面作業的時間,要求創新作業類型方式. 2021 年7 月,國家出臺“雙減”政策,要求“設計符合年齡特點和學習規律、體現素質教育導向的基礎性作業”. 作業是課堂學習的延伸,能讓學生鞏固所學知識以及內化為自己的經驗,是反饋教學效果與學習效果的重要途徑. 教師根據作業完成的情況,可以對教學內容、教學方法、教學策略等及時作出調整,能有效促進教與學的開展. 作業作為檢驗教與學效果的重要觀測點,它的設計與實施是實現“減負提質”的重要一環. 隨著“雙減”政策的全面落實,改變原有陳舊、低效、單一的作業勢在必行的,作為一線教師要努力適應新的教育形勢,開展創新作業研究是非常有必要的.

1 創新作業一: 學生“講題”視頻作業

學生在學校學習時的作業質量有一定的保障,沒有老師監督之下的周末作業質量大降. 對于周末的作業很多學生是通過手機進行查找答案或者直接抄襲答案,并不能確保學生能真正掌握相關的數學知識. 為了老師也為了讓家長了解孩子一周的學習效果,我們以學生講題為抓手,對學生的學習情況進行考查. 周末布置“講題”作業給學生,讓學生以“講”思路的形式來表達對數學問題的思考與理解,通過錄制講題視頻完成作業并上交,實踐的效果非常明顯. 雖然,有部分學生是看了別的學生的視頻后再錄制視頻上交,但從學生講題的流暢度上可以看出學生是否掌握了相關的知識. 下面以矩形復習課的一道作業題為例進行說明.

案例1 中考復習講題作業

如 圖1, 在 矩 形ABCD中,DE交BC于E點 且DE=AD,AF⊥DE于F,求證:AB=AF.

圖1

作業要求根據自己的個人理解,把自己的解題思路講出來,錄制一段完整的講解視頻.

設計說明本題綜合考查了矩形性質、全等三角形的判定、三角函數、三角形相似等知識. 讓學生突破知識界限,綜合運用所學知識解決問題、提升能力是在初三復習階段的重要目的. 傳統的數學作業以上交書面為主,較多的學生使用手機搜答案、相互傳閱答案、直接抄襲等. 讓學生錄制講題的作業,可以有效提高學生的自我監控能力,要順利完成講題作業,就要認真聽課積極思考,這樣能促使學生自覺地參與課堂學習. 即使想抄襲別人的作業,也要在理解別人的講解上進行錄制,讓數學學習真正發生,從而提高學生學習的有效性. 與書面作業相比,學生的講題更能鍛煉學生的數學語言能力,也更能促進學生深入思考,提高學生的思維水平,對數學知識的理解更透徹.

作業效果每個人的能力與知識面不同,思考的方式與解題經驗不相同,語言表達能力與習慣不同,所錄制的講題視頻盡顯學生個人特色. 在這個作業中,學生根據個人對問題的思考,從不同的角度、思路進行講解,將外在的知識內化為能力. 大概有以下的5 種思路.

思路1由已知條件易得∠ADF= ∠DEC,∠AFD=∠C= 90°, 而DE=AD, 則得到ΔADF∽= ΔDEC, 從而得AF=CD. 而在矩形ABCD中AB=DC, 因此,AB=AF.

思路2由AD//BC得∠ADF= ∠DEC. 因為sin ∠ADF=, 且DE=AD, 所以AF=CD,而AB=DC,因此AB=AF.

思路3由∠ADF= ∠DEC,∠AFD= ∠C= 90°,可得ΔADF∽ΔDEC,所以. 而DE=AD,所以AF=CD,因為AB=DC,所以AB=AF.

思路4如圖2, 連結AE, 則AD//BC得∠DAE=∠AEB, 而AD=DE, 則∠DAE= ∠DEA, 因 此,∠DEA= ∠AEB. 而∠AFE= ∠B= 90°,且AE=AE,得到,則AB=AF.

圖2

思路5如圖3, 連結AE、BD, 過E作于G, 可得∠DAB= ∠ABC= 90°, 由四邊形ABEG是矩形得AB=GE. 因為SΔABD=SΔAED,所以,而AD=DE,由此可得AB=AF.

圖3

2 創新作業二: 繪制思維導圖作業

愛因斯坦曾說他是利用一幅幅的圖像來思考問題的,美國圖論學者哈里有一句名言“千言萬語不及一張圖”,這就說明圖像對學習的重要性. 相關研究表明,人腦對圖像的信息處理能力是文字的千倍,利用圖像對知識進行加工、儲存,使所學的知識系統化、結構化,會提高認知的效果. 思維導圖是由英國的著名心理學家、教育家東尼·博贊創造和提出,通過圖示表示知識結構之間的關系,把思維通過圖示使之可視化. 思維導圖能促進思維激發和思維整理,一般通過圖文并茂的形式呈現,利用圖像、線條(可以是直線也可以是曲線)、符號等配以文字說明,記載著繪圖者的思考信息. 繪制者可以根據個人的喜好涂上顏色,從而形成一幅漂亮的、具有個人特色的知識“藏寶圖”.

案例2核心知識思維導圖作業

如圖4 所示的是拋物線y=ax2+bx+c(a/=0)的圖像的一部分,你能從中得到哪些信息?

圖4

作業要求根據圖像信息,從不同的方面盡可能多的寫出自己的結論.

設計說明二次函數是初中階段函數內容的核心知識,而二次函數的圖像是重點中的重點,用思維導圖的方式呈現二次函數的核心知識,可以讓學生理解各知識點之間的相互聯系、相互轉化,有助于學生形成知識網絡結構,掌握完整的核心知識體系,學生才會對知識理解更好. 通過繪制思維導圖讓學生對所學的知識內涵進行串聯、聯想和應用,會讓學生學習和應用所學知識解決問題也對核心知識產生整體的把握. 這是一道開放性的作業題,由于學生存在差異,思考的角度不盡相同,因此得出不同的結論,從一道出發,讓學生的思維發散、聯想,培養了學生的發散思維,同時也培養了學生的創新性思維,而知識之間有內在的邏輯聯系,又能使學生的邏輯思維能力得到發展、提高.

作業效果不同層次的學生有不一樣的結論,例如拋物線開口向下;頂點是(1,4);對稱軸是x=1,二次函數有最大值4;x ＜1 時,y隨x的增大而增大;x ＞1 時,y隨x的增大而減少;拋物線與x軸有兩個交點,分別是(-1,0)和(3,0);b2-4ac ＞0;a ＜0;b ＞0;c ＞0;abc ＜0;當-1＜x ＜3時,y ＞0; 當x ＜-1,x ＞3 時y ＜0;a - b+c= 0;a+b+c ＞0;4a+2b+c ＞0;a+b ＞m(am+b)(m/=1);可以分別利用頂點式、交點式、一般式3 種方法求出二次函數的解析為:y=-(x-1)2+4、y=-(x+1)(x-3)、y=-x2+2x+3;方程ax2+bx+c= 0 的兩個根是-1,3;不等式ax2+bx+c ＞0 的解集是-1＜x ＜3;不等式ax2+bx+c ＜0 的解集是x ＜-1,x ＞3,等結論.

案例3單元思維導圖作業

作業要求一個單元學習完成了,請同學們根據本單元所學的知識點進行繪制單元思維導圖.

設計說明教學離不開復習,通過復習可以對已學內容進行鞏固、梳理,把每個課時的知識進行歸納、提煉,把散亂的知識進行系統化、結構化. 但現實中,由于知識已學過,復習只是“溫故”而不是“知新”,就如把舊知識進行“回爐”,因而缺少了新鮮感,難以激發學生復習的興趣. 現在初中學生富有個性,繪制思維導圖剛好能凸顯他們的個性. 把思維導圖融入復習教學中,讓學生按自己的理解,對已學過的單元知識進行整理、分析、歸納、提煉. 動手制作思維導圖的過程,是學生對數學知識主動建構的過程,根據自己的經驗把抽象的數學知識進行可視化的呈現,進而優化自己對數學的認知結構,將數學知識內化為自己的認知,從而真正達到理解數學知識、掌握數學知識.

作業效果課堂上讓學生在與同學的對照過程中,通過檢查、思考、添加或刪掉細節內容,修改思維導圖,最終呈現一個獨特性、具有個性、完整的知識網絡,加深對知識點的理解和思考,從而完善自己的知識結構. 圖5 是學生的單元思維導圖作品.

圖5

3 創新作業三: 小課題研究作業

在國外,小課題叫作project(項目),小課題能激發學生的學習興趣,非常受學生歡迎. 在進行小課題任務時,學生通常需要合作探究,改變單一學習為合作學習方式. 在日常生活當中總會遇到實際問題,如測量物體的高度,學生需要把實際的問題轉化成數學問題,在建立數學模型后利用所學的知識進行解決.

案例4 研究旗桿高度

作業要求以小組為單位,查閱有關資料或參考教材的例題、習題中的測量方案,利用已掌握的數學知識,制定測量旗桿高度的方案,根據實際情況研究方案的可行性,以及解決測量過程中遇到的問題.

設計說明在人教版九年級數學下冊第二十七章“相似”一章中設有一個數學活動——“測量旗桿的高度”. 在第二十八章“銳角三角函數”一章中也有一個數學活動——“利用測角儀測量塔高”. 這個研究作業不難,也有一定的探究性、趣味性. 在上述兩章書中都有測量物體高度的例題及習題,學生可以通過查閱課本或資料就能解決問題. 讓學生進行小組合作研究,經過充分思考、討論,制定出組內認為可行性的方案, 可以培養學生的交流能力、創新精神. 在學完相似三角形、解直角三角形相關知識后進行“小課題”研究活動,更好地實現了知識的融合與知識網絡的構建. 讓教材中的“數學活動”素材最大限度地發揮其教育功能和價值,真正使之成為有利于學生的知識形成與應用,使學生的數學知識結構化、體系化的載體.

作業效果同學們通過查閱資料找到了有關估算物體高度的不同方法. 如,泰勒斯測量金字塔高度的方法,利用人的影子進行測量,利用標桿進行測量,利用鏡子反射原理進行測量,利用了改變測量的角度大小以及測量前后兩者之間的距離,利用三角函數的知識計算出塔的高度等方法. 同學們把搜集到的方法進行對比,還對這些方法進行了總結,發現大致分為利用相似三角形、三角函數的方法,后來在老師的提醒下想到利用初二所學的勾股定理知識解決. 同學們對各種方法進行探究,最終形成實踐以下的方案.

3.1 利用相似三角形的知識

方案1課本第39 頁的泰勒斯利用影子的方法. 如圖6,利用太陽光是平行線的性質,構成ΔABC與ΔDEF相似,得,通過變形可以得到AB=,只要分別測量出標桿DE的高度,以及旗桿與標桿的影子BC和EF的長度,把測得的相應數據代入式子,即可求出旗桿AB的高度. 當然,這個測量要在同一時刻的條件下,不然影子的長度發生改變,便會導致測量的數據不準確.

圖6

方案2對泰勒斯法做法進行修改.如圖7,當標桿影子的頂端與旗桿的影子頂端重合, 由ΔABC∽ΔDEC, 可以得到. 只要分別測量出標桿DE的高度, 以及旗桿與標桿的影子長度BC和EC,利用式子,即可求得旗桿AB的高度.

圖7

方案3課本第43 頁利用鏡子的方法. 如圖8, 在旗桿與人之間放置一塊鏡子, 讓眼睛D處通過鏡子能看到旗桿頂A點, 分別測量DE、CE、BC的長度, 根據相似三角形, 即可求出旗桿的高. 因為這里∠ACB= ∠DCE, 而ΔABC∽ΔDEC, 可以得到式子,則旗桿的高度AB=

圖8

方案4課本第54 頁利用標桿的方法. 如圖9, 當人的視線與標桿頂端D、旗桿頂端A成一直線時(即G、D、A三點在一條直線上) , 這時ΔACG∽ΔDEG, 可得即,而CB=EF=GH. 只要分別測量出眼睛與地面的距離GH、標桿的高度DF、人到標桿的距離EG、人到旗桿的距離CG,利用AC=即可求出AC,則旗桿AB的高度為AC+GH.

圖9

3.2 利用三角函數的知識

方案5課本第81 頁的數學活動,通過測角儀測量高度的方法. 如圖10,人站在點E處, 構建出RtΔADC, 則tanα=, 此時DC=EB. 利用測角儀測出仰角α的度數, 再測量出人眼D與地面E之間的距離DE以及人到旗桿的距離EB, 則旗桿AB的高度為EB·tanα+DE.

圖10

方案6課本第82 頁測量塔高的方法. 如圖11,當人站在點E時,利用測角儀測出仰角α的度數,當人往前走到達F點(E點和旗桿之間選擇一點G),測出仰角β的度數,只要測量出DE及EG的長度,根據tanα=,即AC=,可得DF=

圖11

方案7課本第75 頁利用兩建筑物的方法. 如圖12, 從一建筑物DE處測量旗桿頂端A仰角α的度數以及旗桿底端B俯角β的度數, 再測量DE(BC) 的距離, 根據tanα=,則旗桿AB的高度為DC·tanα+DC·tanβ=DC(tanα+tanβ).

圖12

3.3 利用勾股定理的知識

方案8初二數學下冊課本第29頁勾股定理的方法. 如圖13, 先測量出旗桿底端的繩子垂到地面時多出的長度m, 再把繩子的下端拉開, 使下端剛好接觸地面,構成直角三角形ABC,測量此時CB的長度n,利用勾股定理(AB+m)2=AB2+n2, 化簡得2m·AB=n2-m2, 即AB=代入對應的數據則可求出旗桿的高度AB.

圖13

4 對初中數學創新作業的思考

在“雙減”政策前,教師對作業的布置和設計不夠重視,學生課后作業量大,完成作業時間長,造成學生作業負擔過重、心理壓力過大.“雙減”政策對義務教育階段學生每天完成書面作業的時間作出明確要求,鼓勵布置分層、彈性和個性化作業,堅決克服機械、無效作業. 教師應將課外作業作整體規劃,要摒棄過往機械的、反復練習的作業,要進行創新作業研究,設計符合學情的多樣化作業,提升作業的有效性,做到減負增效. 提高作業的有效性、針對性,尊重學生的個體差異和不同需求,讓初中數學作業成為激發興趣、鞏固知識、提升能力的有效手段,切實減輕學生過重的作業負擔,滿足學生個性化的作業需求,發揮作業育人功能.

4.1 學生“講題”作業促進學生對知識完成自主建構

《義務教育數學課程標準(2022 年版)》倡導“運用數學語言表達自己的想法”,學生講題是實現上述目標的有效途徑. 根據學習金字塔理論研究表明,通過學生講述給同學聽的,兩周后的學習保持率達仍到90%. 學生講題能發揮學生學習的主動性,學生要把題講得明白,不僅要理解題意,還需合理組織自己的語言把解題思路以及解題方法進行講解,這個過程就是自主探索解題過程以及優化的過程.“語言是無聲的思維,說話是出聲的思維”,通過講題促進學生思維的發展. 學生講題是學生主動參與的過程,學生對所學數學知識、內容的理解和內化,通過自己的語言表達出來,從而建構自我知識體系的課堂教與學活動. 學生講題是學生思維可視的活動過程,是學生對數學知識進行自我建構、完善的過程,發展和提高學生的數學表達與數學思維能力. 學生講題解放學生的嘴,讓學生自信地“說”,充分展示學生的思維;解放學生的眼、腦,讓學生大膽地“想”,給學生思考的空間. 學生講題能點燃學生思維的火花,實現思維的交流與碰撞,能讓學生深入思考、融匯方法、體悟思想,激發智慧,使學生的思維不斷發展、不斷升華,感悟數學本質,提升數學素養,促進學生深度學習.

4.2 布置個性化作業,讓學生個性得到張揚

課后作業要以學生為本,滿足學生個性化學習和發展需求,有效提升學生高階思維水平. 收集平時教學中學生的易錯題作為周末的作業,要求學生根據自己的錯題情況進行篩選,在周末拍兩道講題視頻上傳到班級數學微信群,這樣讓學生知道自己的短板,并及時做好鞏固強化,我們還可以引導學生進行改題、編題的個性化作業,切實減輕學生作業負擔. 有條件的話,可以借助互聯網時代大數據的技術,利用AI技術有針對性地進行精準的作業布置,實現不同學生布置不同的作業. 而思維導圖的作業可以讓學生鞏固所學、增加對知識的理解、完善知識體系. 繪制思維導圖是對知識進行內化,對各知識之間的邏輯關系進行梳理使思維得以提升,學生的思維變得可視化、清晰化、條理化. 這樣既尊重學生個性的差異,又能促進不同層次學生的思維發展.

4.3 布置實踐性作業提高學生的綜合能力

《義務教育數學課程標準(2022 年版)》倡導在綜合與實踐領域進行項目式學習,強調讓學生經歷發現→提出→分析→解決問題的過程. 讓學生在研究的過程中發現問題,并將其正確地轉化為數學問題,從而構建數學模型,綜合運用數學以及其他學科的知識與方法解決問題. 在研究中伴隨著獨立思考問題與他人合作研究,提出自己的思路與方法,與伙伴們共同商討設計解決問題的方案,最終得到符合問題背景的模型解答. 在人教教材的每章小結之前都設置了“數學活動”,在現實中“數學活動”課被老師們所忽視. 但“數學活動”課是促使學生綜合運用數學知識,充分體現學生數學思維、深化數學知識應用, 積累數學活動經驗的很好載體. 在“雙減”背景下,“數學活動”是學生課外作業寶貴資源,我們應該充分挖掘“數學活動”課的內在價值,把“數學活動”變成讓學生進行實踐性的“小課題”研究,讓學生在研究中學會應用數學知識解決實際生活的問題,在解決實際問題中學生的綜合能力得到提高.

我們要適應新的教育教學改革的形勢要求, 要依據課標、立足教材,設計符合學生認知水平,同時又具有個性化、實踐性的作業,讓學生在掌握數學知識的同時,讓各層次的學生都獲得成功感,享受完成作業的快樂.