從一道二次函數(shù)題談代數(shù)運算能力的落實

廣東省廣州市第十六中學(510062) 梁鎮(zhèn)輝

1 基于‘學業(yè)要求’,精選運算典例

新標準在課程內(nèi)容呈現(xiàn)上注重數(shù)學知識與方法的層次性和多樣性[1], 對二次函數(shù)的運算要求方面主要涉及函數(shù)表達式的計算、交點坐標的求解、運用配方法轉(zhuǎn)化函數(shù)表達式形式、求頂點坐標、關(guān)聯(lián)方程和不等式等. 此外,習題設計要關(guān)注數(shù)學的本質(zhì)和通性通法, 讓學生感受數(shù)學運算多樣性[3]. 基于上述分析,在典例選擇上,選取了2019 年山東省泰安市岱岳區(qū)九年級(上)期末試卷第23 題,已知二次函數(shù)y=x2+2mx+(m2-1)(m是常數(shù)). (1)若它的圖象與x軸交于A,B兩點,求線段AB的長度. (2)若它的圖象頂點在直線y=-x+3 上,求m的值. 該題目考察二次函數(shù)相關(guān)運算能力,解法多樣,還能夠提升學生含參運算能力,體現(xiàn)了適應學生運算能力的發(fā)展需求.

2 著力‘符號的運算和推理’,強化運算技能

新標準建議老師在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域教學過程中,通過符號的運算和推理提升運算能力. 標準還要求教師在教學過程中,關(guān)注學生個性化、多樣化的學習和發(fā)展需求,不同的學生在學習數(shù)學的過程有不同的收獲, 當然也會形成不同的理解.學生二次函數(shù)知識構(gòu)建的層次性和多樣性差異,使得學生在二次函數(shù)的運算和推理過程中,產(chǎn)生不同的認識和解法,我們尊重學生的主體地位,鼓勵一題多解,促進學生在原有二次函數(shù)相關(guān)基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗上得到后續(xù)發(fā)展.

2.1 典例問(1)的解法

求線段長的數(shù)學本質(zhì)是二次函數(shù)與x軸交點橫坐標的差,可轉(zhuǎn)化為一元二次方程的求根問題,認識到多種求根方法,便有如下解題思路:

2. 利用配方法求根. 因為0 =x2+2mx+m2-1 =(x+m)2-1,∴(x+m)2=1,解得x1=-m+1,x2=-m-1進而解決問題.

3. 利用因式分解求根. 因為0=x2+2mx+(m-1)(m+1)=(x+m+1)(x+m-1),解得x1=-m+1,x2=-m-1進而解決問題.

顯然,典例問(1)立足把二次函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為解含參的一元二次方程的求根運算問題,在沒有具體解的情況下,用含字母m的代數(shù)式代入求根公式、使用配方法或者因式分解這些‘通性通法’,表示解的代數(shù)式,發(fā)展學生符號意識. 用含參的代數(shù)式計算線段長度,提升學生代數(shù)式與代數(shù)式運算的能力.

2.2 典例問(2)的解法

問(2)的運算對象顯然是二次函數(shù)頂點坐標,從不同方面認識頂點坐標的意義,則有以下解題思路:

2. 利用配方法把函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為頂點式求解. ∵二次函數(shù)y=x2+2mx+(m2-1)= (x+m)2-1,∴頂點坐標為(-m,-1),進而解決問題.

3. 利用頂點坐標落在對稱軸上轉(zhuǎn)化為用x軸兩個交點計算對稱軸求解. 由(1)知A、B關(guān)于拋物線對稱軸對稱,則=-m,代入拋物線解析式得y=-1,進而解決問題.

顯然,典例問(2)立足頂點坐標的意義理解,強化了二次函數(shù)一般表達式下頂點公式代入計算能力和配方法轉(zhuǎn)化函數(shù)表達式的技能,借助函數(shù)圖象的軸對稱性可以快速求出頂點橫坐標. 不同角度的理解和思維方法,促進學生學會選擇合適的運算思路解決問題的素養(yǎng).

3 著力‘引發(fā)學生思考’,深化運算內(nèi)涵的認識

新標準提出在教學中要幫助學生建立能體現(xiàn)數(shù)學學科本質(zhì)、對未來學習有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的知識體系[1]. 二次函數(shù)學習完后,學生能否總結(jié)歸納相關(guān)運算的依據(jù)呢? 在運算的過程中如何幫助學生加深函數(shù)轉(zhuǎn)化為方程問題的思想方法呢? 如何發(fā)展學生運用二次函數(shù)的知識和方法發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的能力?

3.1 引發(fā)學生思考公式內(nèi)涵,培養(yǎng)運算推理能力

新標準要求教師幫助學生學會用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看待問題, 形成科學思維發(fā)展核心素養(yǎng)[1]. 由完 全 平 方 公 式(x1-x2)2= (x1+x2)2-4x1· x2以 及|x1-x2|2= (x1-x2)2, 引發(fā)學生由根的關(guān)系聯(lián)想韋達定理解決問題,培養(yǎng)整體運算能力,發(fā)展代數(shù)的邏輯推理素養(yǎng). 可得到典例(1) 的新解法: 若A、B兩點橫坐標分別為x1、x2,則AB=|x1-x2|,Δ=4,即Δ＞0,方程有解,由韋達定理x1+x2=-2m,x1x2=(m2-1),且(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=4,代入得AB=|x1-x1|=2.

3.2 引發(fā)學生思考解題困惑,培養(yǎng)運算轉(zhuǎn)化能力

由于頂點在拋物線上, 也落在直線上, 對頂點的認識就可以轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點. 第一次引發(fā)學生思考問題:能否轉(zhuǎn)化為聯(lián)立方程■組求交點坐標的方法? 可得典例

由于此處解方程遇到困難, 第二次引發(fā)學生思考問題:聯(lián)立方程組的解題過程有誤嗎? 思路對嗎? 解不出根怎么辦? 是不是還可以轉(zhuǎn)化求解思路? ...... 學生很快得出兩個結(jié)論: 思路正確, 解題過程無誤; 學生通過消x的思路得y=(6-2y)2+2m(6-2y)+(m2-1)仍然無法解出y,大家再次陷入困局.

由于解方程的困難還沒有解決, 第三次引發(fā)學生思考問題: 最終問題是求出m, 把字母m當作這個方程的未知數(shù)轉(zhuǎn)化求解思路可以嗎? 于是得關(guān)于m的一元二次方程可是事與愿違,同樣無法求出m.

由于如何解方程的問題依舊沒有解決,最終第四次引發(fā)學生思考問題: 二次函數(shù)的頂點坐標是唯一的嗎(由于拋物線開口方向與大小確定,那么m就只有一個對應的值)? 解析式中字母m的值也是唯一的嗎? 關(guān)于m的一元二次方程有多少個解? : 很快學生發(fā)現(xiàn)頂點唯一,即m的解的個數(shù)只有一個,聯(lián)想到根的判別式,即關(guān)于m的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根,得x=8. 繼而解得m=-8.

這種解法真是“山重水復疑無路,柳暗花明又一村”,看似無法運算的含參方程的問題,如果師生及時提出合適的問題,轉(zhuǎn)化思維,就會“直搗黃龍”.

3.3 鼓勵學生質(zhì)疑問難,培養(yǎng)運算思辨能力

運算能力是算和思、操作和思辨的融合[2]. 先鼓勵學生思考: 頂點坐標是一個未知量, 能否通過設元辦法求解呢? 如何設元表示頂點坐標比較合理簡便呢? 學生根據(jù)題意分享自己的看法, 得到合理且簡便的設元新思路. 因為頂點在直線上, 設頂點為(h,-代入拋物線解析式h+ 3 =h2+ 2mh+m2-1,整理得0=h2+(2m+)h+(m2-4).

接著鼓勵學生質(zhì)疑: 這個方程能解嗎? 需要轉(zhuǎn)化思路嗎? 此時, 學生經(jīng)過前一種轉(zhuǎn)化思路的引導, 很快把這個不能直接求出h解的參數(shù)問題, 轉(zhuǎn)化為關(guān)于h的一元二次方程, 如法炮制, 拋物線的頂點只有一個, 即關(guān)于h的方程0 =h2+(2m+)h+(m2-4)有兩個相等的實數(shù)根,∴Δ = (2m+)2-4(m2-4)= 0,解得m=-. 解到這個地方,老師和學生全都驚訝了,為什么這個思路與前面的解題方法一樣,但是結(jié)果卻是不同的呢?

緊接著鼓勵學生質(zhì)疑: 是不是解題過程有誤? 是不是方法不對? (實際上過程和方法都對)學生質(zhì)疑得到: 頂點是唯一的本質(zhì)不應該是h有唯一解, 而應該是m有為一解, 把字母m當作這個方程的未知數(shù). 于是轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的一元二次方程m2+2hm+(h2+h-4) = 0. 由于頂點是唯一的,因此關(guān)于m的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根,∴Δ = (2h)2-4(h2+h-4) = 0, 得h= 8. 繼而解得m=-8.(全班嘩然)

引導學生質(zhì)疑同一種解題思路下, 為什么兩種結(jié)果完全不一樣呢? 實際上我們畫出這兩個函數(shù)的圖象(草圖也可以)就發(fā)現(xiàn)問題所在. 即對拋物線而言,一共有兩個點落在了直線上,除了頂點外,還有另外一個點. 所以利用直線解析式設定拋物線頂點坐標就不是‘唯一’的了,(h,-h+3)有可能是頂點,也有可能是兩個圖象的其它交點,因此對應h的方程有兩個不相等的實數(shù)根了. 而頂點坐標的唯一性決定了函數(shù)表達式的唯一性,即m值的唯一性,所以轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的方程有兩個相等實數(shù)根才是合理的. 通過這樣的質(zhì)疑問難,讓不同層次的學生的思維真正得到鍛煉,既有正向思維也有逆向思維,既有模仿訓練也有區(qū)分思辨,從而培養(yǎng)學生的數(shù)學運算能力和運算實效性[3].

總的來說, 二次函數(shù)的計算問題, 乃至其它方面的數(shù)學運算問題, 有其基本方法和基本思路, 需要‘注重和夯實運算的過程性教學[3]’. 同時在訓練基本運算技能的基礎上, 需要創(chuàng)造機會讓學生多思、多辨, 經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題和解決問題的過程, 提升學生的數(shù)學素養(yǎng). 依據(jù)新課程標準精神, 借助二次函數(shù)的學習, 希望學生在價值觀引導上, 能夠形成積極的解法探究精神和數(shù)學學習興趣; 在品格培養(yǎng)方面, 形成善于思考、主動提出合理問題的學習習慣和合作交流的意愿;在關(guān)鍵能力培養(yǎng)當中, 能夠洞悉二次函數(shù)運算內(nèi)涵, 及時轉(zhuǎn)變思維, 培養(yǎng)起高中階段學習所必須具備的代數(shù)運算能力.