關于人教版選擇性必修一中兩種距離公式統一性的思考

廣東省東莞市第八高級中學(523629) 何國鋒

1 問題提出

人教版選擇性必修第一冊在“1.4.2 用空間向量研究距離、夾角問題”[1]中借助投影向量給出了空間內點P到直線l的距離公式:

√

(v為直線的方向向量,v0為直線的單位方向向量,A為直線上一點)以及點P到平面α的距離公式:

(n為平面的法向量,n0為平面的單位法向量,A為平面α內一點).

教材關于兩個公式推導方式: 公式1○用到了的是向量在直線方向向量v上的投影向量以及勾股定理; 公式2○用到了的是向量在平面的法向量n上的投影向量,這么處理充分發揮了向量的工具作用,巧妙的利用了投影向量,學生也比較容易理解和接受. 但從公式的結構上來看公式1○顯然比較復雜,不是十分美觀,學生也不便于記憶. 筆者的思考是: (1)教材為什么采用在不同的向量上的投影向量來處理呢? (2)這兩個公式能否統一,使得公式更加簡潔美觀呢?

2 問題解決

首先,要統一我們必須給出一個與直線垂直的向量,我們可以類比平面的法向量定義,來定義直線的法向量:

定義設直線l在平面α內,我們把所在直線垂直于l且平行于平面α(或在α內)的非零向量n稱為直線l在平面α內法向量(如圖一所示).

圖1

如圖2, 設點P與直線l(P在l外) 所確定的平面為α, 已知直線在平面內的法向量為n,A為直線l上一點, 則P到l的距離為在n上的投影向量的長度即

圖2

由此,借助直線的法向量以及平面的法向量我們可以將兩個公式1○2○統一為:

其中: (1)當是點到直線線距離時,設l與點確定的平面為α,n為l在平面α內法向量;A為直線上一點;

當是點到平面距離時,n為平面的法向量;A為平面內一點.

接下來,我們如果要用公式3○來求點到直線的距離,必須解決的問題如何求直線l在平面α內的法向量呢? ,在此提供如下兩個方法:

方法1: 如圖3,設l與點P確定的平面為α,其中α法向量為m,直線l的方向向量為v,所求直線的法向量為n,則利用n ⊥m,n ⊥v即可求出一個直線l在平面α內法向量.

圖3

方法2: 如圖4,設l與點P確定的平面為α,向量a,b為α內不共線的向量,所求直線的法向量為n,根據向量共面定理,存在實數x,y,使得n=xa+yb,最后利用n ⊥v(v為直線方向向量)即可求出一個直線l在平面α內法向量.

圖4

圖5

3 應用舉例

例題1在四棱錐P -ABCD中,底面ABCD是正方形,側棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=2,E是PC的中點,求A到BE的距離.

通過以上分析與應用,我們將兩種距離公式在結構上進行了統一,使得公式更加美觀,學生也更加便于記憶和運用,同時推導過程使學生對距離的本質的理解以及向量在幾何中的作用影響更為深刻. 不僅如此,如果將公式運用平面解析幾何中點到直線距離公式的推導過程中,就可以避免教材推導過程[2]中的復雜計算, 可以節約時間也便與學生記憶,還可以進一步讓學生體會到數學的和諧和統一美[3].

例題2(推導平面內點到直線的距離公式) 設直線l:Ax+By+C=0,點P(x0,y0),求P到直線l的距離.

解: 如圖6, 易知l的方向向量V= (B,-A), 設其法向量為n= (x,y), 由n ⊥ v得,Bx -Ay= 0, 令x=A, 則y=B, 即n= (A,B). 設Q(x1,y1) 為直線上一點, 則Ax1+By1+C= 0,= (x0-x1,y0-y1), 從而,· n=A(x0-x1) +

圖6