數學核心素養導向下的單元整體教學設計
——以“二次函數”單元設計為例

華南師范大學附屬中學(510620) 許 健

《義務教育數學課程標準》(2022 版)明確指出“為實現核心素養導向的教學目標,不僅要整體把握教學內容之間的關聯,還要把握教學內容主線與相應核心素養發展之間的關聯.”核心素養是指學生應具備的能夠適應終生發展和社會發展需要的必備品格和關鍵能力,是數學課程目標的集中體現. 數學的核心素養主要抓好四個方面:“情境與問題”、“知識與技能”、“思維與表達”、“交流與反思”,所以對應的教學任務設計應該要設計合適的教學情境、把握好數學內容的本質、啟發學生獨立思考、積累數學思維經驗. 為了達成以上的教學目標與課堂要求,在《義務教育數學課程標準》(2022 版)中的“教學建議”部分提出了要“注重教學內容結構化、注重教學內容與核心素養的關聯以及重視單元整體教學設計[1].”

章建躍博士提出單元整體教學設計可以充分“體現數學的整體性、邏輯的連貫性、思想的一致性、方法的普適性、思維的系統性, 切實防止碎片化教學, 通過有效的“四基”“四能”教學,使數學學科核心素養真正落實于課堂[2].”可見單元整體化教學的核心是追求教學系統化,但系統化有時需打破教材已有的章節框架,正如新課程標準里指出“要改變以課時為單位的教學設計,應整體分析教學內容和學生的認知規律,合理安排整合教學內容,整體設計,分步實施,促進學生對數學教學內容的整體理解和把握.”

整體分析教學內容是單元教學設計的起點,全方位了解知識的結構,教師整體把握教學的知識、內容與思想,需要落實的核心素養;符合學生的認知規律是落腳點,偏離學生認知的總是難以達成理想的效果,所以了解學生的已有認知及思維特征和能力是教學設計的重要環節;落實教學的內容、知識和思想是教學設計的突破點, 結合知識和思想的分析,教師針對性的對單元教學進行設計,設計出既能貼近學生認知,又能落實知識、思想、重點核心素養的教學方案.

1 數學核心素養導向下單元整體教學設計的準備

單元整體教學設計由宏觀到微觀共分四個層次: 數學學科內容之間及其與相鄰學科的聯系、高等數學與初等數學的聯系、數學單元之間的聯系、單元內部各個課時之間的聯系.[3]通過對整體的深入研究,形成核心素養落點的重要載體、模塊知識學習的基本思路、辨析定義、定理、結論的思想方法、探究、解決問題的策略體系的架構.

1.1 分析單元的地位——以大單元為舵,指導教學要求

通過了解上位知識從宏觀層面了解“研究內容的本質是什么”、“為什么要研究”,由下位知識從微觀角度分析“用什么研究方法”“研究哪些內容”“如何應用這些知識”等. 二次函數的上位知識是函數. 下位知識是二次函數的圖象、性質及其應用等.

函數是現代數學中最基本的概念,是描述客觀世界中變量關系和規律的最為基本的數學語言,是解決客觀、實際問題非常重要的工具. 它貫穿了整個數學學習生涯(如圖1).

圖1

史寧中教授將數學的基本思想歸結為三個核心要素: 抽象、推理、模型[4]. 函數的知識是實現三大基本思想的優良載體,函數是從現實中的變量關系抽象而來,再在形式抽象的基礎上進行二次抽象,實現符號化、形式化和公理化的表達.運用形象思維、邏輯思維和辯證思維進行推理,實現函數體系的完善和研究手段的豐富,最終運用函數思想與模型思想解決現實問題. 整理函數知識的整體框架,從現實中的一些變量關系引出函數的概念. 由離散的視角初步認識和學習函數,進而用連續的視角分析性質;以一次函數、二次函數和反比例函數作為基礎示例幫助學生建立認知,并借助這些基本初等函數的研究,了解函數的一般研究方法,特別需要注意的是,函數這套研究方法是一以貫之的,因此讓學生熟練掌握函數研究方法是一項重要的教學目標.

1.2 分析課程要求——以小單元為軸,確定單元目標

何小亞教授提出“先從整體知識的研究對象、研究方法和用途等方面給學生一個全面的概述,使學生對知識單元有一個整體的認識,然后逐個學習[5]”的教學策略. 明確培養的一般方法,關鍵能力,基本思想方法和核心素養的情況下,教師思考如何把這些內容合理且有效地嵌入課堂. 現以“二次函數”為例探究單元整體教學設計,結合整體要求,制定本單元學習目標.

第一、理解變量的二次關系,學會運用不同的方法刻畫變量的二次關系,培養學生的辯證思維,提升學生的數學抽象能力.

第二、會靈活運用二次函數的不同表達形式. 函數表示的三種基本形式: 列表法、圖象法、解析法. 圖象的探究不能只停留于描點法,還應掌握運用圖象變換探究函數圖象的方法;對于解析法應要求學生能夠根據不同的條件選用不同的解析式表達,并理解交點式的豐富內涵.

第三、掌握二次函數的性質并熟練運用. 函數的性質是函數學習重要的外顯、輸出部分,掌握二次函數的最值、增減性和對稱性,會運用這些性質解決相關問題.

第四、掌握函數的研究方法. 不難發現,函數的主干內容和學習路徑類似(如圖2 所示). 研究時特別關注以下幾個方面: 1、代數的運算與圖象的表達并形成數形結合思想;2、探究函數與方程、不等式三者的密切聯系,形成轉化與化歸思想;3、通過二次函數的分類討論,提升學生的邏輯意識,培養學生的嚴謹推理的思維.

圖2

第五、主要數學核心素養的發展. 經過二次函數的學習提升學生的數學運算、邏輯推理和數學建模等核心素養,特別是數學建模能力.

總而言之,二次函數的單元整體教學設計采用“總—分-—總”的方式,在上位知識——函數的一般性概念和常用研究過程與手段的指導下,進行下位知識的單元主題教學,教會學生函數的研究角度和方法,結合不同課時內容,合理地培養知識能力、落實數學思想的培養,建構學生的抽象、推理、模型的數學思想,發展學生的相關核心素養.

2 核心素養導向下的學情、教法學法分析

根據核心素養的要求,教學要關注學生的“四基”“四能”的發展. 所以進行學情分析時則應關注已有的“四基”“四能”的水平,明確通過單元學習后需要達到的水平,而兩者的“中間區域”則是學生需發展與提升的. 因此學情分析應了解學生現有水平,結合“中間區域”尋找有效的教法,學法指導則是保證學生在清晰的邏輯下自主的發展與提升,形成繼續學習的能力.

2.1 學情分析——以學情為槳,幫助知識吸收

知識與技能方面: 學生已經學過了函數的概念及其性質,一次函數的概念、圖象及其性質、一次函數、方程、不等式的關系;了解函數的結合圖象的定性研究方法,具有運用數形結合處理數學問題的經驗,但靈活運用不足;

經驗與活動方面: 學生處于抽象思維初建階段,從客觀事物抽象出數學知識以及對抽象對象的二次抽象能力欠缺;嚴晴,喻平在《初中生邏輯推理能力的現狀調查》得出了“初中生掌握了基本的邏輯推理能力,對邏輯形式的認識不足難以保證推理的順利進行”[7]的結論.

發現與提出問題方面: 這個階段的孩子大多以被動學習為主,主動發現問題的意識不夠強,但是在認識問題后提出問題的能力尚可.

分析與解決問題方面: 學生具備一定分析問題的能力,但是由于邏輯推理的能力所限,有時會提出一些想法,但推導過程的嚴謹性不足;解決問題能力主要依靠模仿,自主解決問題的意識不足.

2.2 教法及學法的指導——以學生為能,驅動自主學習

知識與技能方面: 借助同化的形式幫助學生學習二次函數的概念、探討二次函數的圖象與性質,運用圖式的形式學習二次函數的圖象變換,培養學生作圖意識,引導學生發現函數與方程、不等式在圖象上的表達,培養學生的數形結合能力. 以問題導向型課堂為主, 引導學生發現問題、思考問題、提出問題,強調學生利用已有知識和經驗進行知識自主建構和自發研究.

經驗與活動方面: 采用順應的方式研究二次函數的最值,二次函數、方程及不等式關系,函數的應用則可以鼓勵學生留意生活中與二次函數相關的問題;設計探究式課堂,激發學生思考和思維的互動,組織學生個人反思及小組討論學習,最終達到學生思維水平的提升,在順應的過程中可以在教材的基礎上增加部分內容,以加深學生的認識.

在整個單元的學習過程中,學生要做好兩個方面: 一要建立知識思維導圖,結合所學知識更新思維導圖并嘗試突破章節限制,與其他的所學知識構成更為龐大的知識系統. 二要總結學習模式,歸納思想方法,形成一套有清晰邏輯線的函數單元體系及函數知識的學習體系.

3 單元整體教學設計

為了達成學生對知識的系統認識,思想方法的融會貫通,核心素養的頓悟提升,結合“研究什么? ”“怎么研究? ”“研究目的? ”“如何運用? ”“存在哪些外延和內涵? ”“如何實現思想方法的滲透和核心素養的提升? ”等問題,進行二次函數的單元整體教學設計.

本單元整體設計并未嚴格按照人教版的的章節,考慮知識的延續性和思維、方法的一貫性以及學生的已有能力,對個別知識內容進行了調整,如添加了二次函數在給定區間的最值討論和一元二次不等式;加強一次函數與二次函數的關系研究,引導學生分析一次函數和二次函數的交點的分布問題. 具體設計方案如表1.

表1

4 單元整體教學設計評價

教學評價是對教學效度的重要評判依據,PISA 關于數學素養的評價中強調“超數學情境”能夠有效的測試學生的核心素養,數學核心素養強調的過程、思想和經驗,并不獨立于知識、技能、思想、經驗之外,曹一鳴教授提出了探索學生的“表現性評價”與“真實性評價”來評價核心核心素養[8].

“表現性評價”主要體現在學生課堂上的表現,通過設計現實的、可操作性的任務,學生在探究和解決問題上的表現,以及研究過程中提出問題的能力及問題的深度進行學生學習的評價. 如探究二次函數的最值問題,結合“過山車”的模型,探究車體的最高位置與最低位置,教師觀察學生對此問題的討論及分類,結合學生進行該問題的遷移思考進行學習評價.

“真實性評價”則是力圖糾正標準化紙筆測試的弊端,通過復雜的數學問題和不良結構的問題來檢驗學生的發展能力. 不應限于書面的作業、測試,還可添加研究性學習的活動.如學完二次函數與不等式的關系后,在習題中可以加入非二次函數與相關不等式的求解,以檢驗學生數形結合的掌握程度和函數與方程思想的理解程度.

單元整體教學設計的目的不只是停留在知識層面,更重要的是能力和思想上的提升,而以上兩種評價方式恰與目標吻合,不是停留在程序的解答、復制及再現,而是評價學生潛在的思維水平和應用知識的能力.

5 核心素養導向下的單元整體教學設計的反思

5.1 以大單元為視角,看到數學知識的整體結構及本質

遵循數學的知識結構的的單元整體教學設計,凸顯數學的概念(知識)的強邏輯性,按照一定的層次、網絡結構形成一套有序的組織,函數的內容更是如此,如果教師和學生的眼光只是停留在二次函數, 最終很可能“只見樹木, 不見森林”,不利于學生學習函數的其他相關內容. 通過搭建大單元的知識框架,教師先看清看透,帶著“針”和“線”和學生一同串聯知識,讓學生的知識建構呈現體系化;學生在此過程中內化知識的體系,發現知識的本質,掌握研究的方法,發展數學建模、數學抽象等核心素養.

5.2 以“學生主體”為線索,摸索探究助學生走向深廣

“以生為本”是在核心素養下教學的課堂要求,以學生認知水平和已有的學習經驗為基礎,明確需達成的思想、方法和核心素養,遵循學生的認知結構情況下,合情合理地進行教學設計,可有效地避免“下手過重”或者“意猶未盡”的情況發生. 一元二次不等式的求解問題是聯系代數與幾何、呈現數形結合的重要材料,雖然課本上并沒有專列內容進行講解,但當帶著學生函數與方程時,再進一步發現不等式與方程、函數的關系,學生不存在思維上的阻礙和能力上的限制,因此,結合學生的具體情況和能力,聯系教學內容的要求,對教學進行大膽的設計,引導學生探一探深度,看一看廣度,讓學生更全面、更深層地認識知識,促進學生數學學習品格的提升.

5.3 以整體分析作為節點,培養學生的自主學習能力

建立有序、整體、系統的知識脈絡, 單元小結不容小覷,本著“總—分—總”的結構進行二次函數的教學設計充分考慮到總結歸納的重要作用,對于“二次函數”的單元總結甚至針對函數相關章節進行總結,在回顧重要知識點的同時,與學生一起理清脈絡、歸納方法,梳理函數的研究過程,找出邏輯線,并將學生帶往更“高處”,從更高的觀點找到不同函數的共同點,透過一些簡單基本函數看到函數的本質,形成舉一反三的能力,并創造學生獨立研究陌生函數的機會,提升自主學習的意識和遷移應用的能力.

單元教學的核心思想與重要成果與核心素養的培養是高度吻合的,重視學生的邏輯與思維的培養. 課堂不僅限于知識的講解、方法的訓練,更注重引領學生全面、寬廣地了解知識,抓住知識的本質屬性,抓住不同知識的共同特征. 單元整體教學設計恰是一個符合育人要求、學科需求、學生發展的可行路徑,按照數學知識結構和學生認知結構科學地、有效地設計單元主體,組織合適的活動及相應的評價,促使學生數學思想的生成及核心素養的落地.