一道中考題的變式探究與思考*

廣東省佛山市順德區北滘鎮君蘭中學(528311) 李美蘭

對“一題”逐層變式的深入研究,充分聚焦核心知識,有助于拓寬解題思路,發展學生的思維能力,提高學生應變能力,增強學生面對新問題敢于聯想分析、敢于創新的自信,從而提高學生解決問題的能力.

考題呈現如圖,ΔABC沿DE折疊,點A落在邊BC上的點F處,且ED//BC,下列結論中,一定正確的是1○ΔBEF是等腰三角形; 2○ED=2BC; 3○四邊形ADFE是菱形; 4○∠BEF+∠FDC=2∠A

解析: 本題的立意考查學生的幾何素養: 空間觀念、幾何直觀、軸對稱和推理能力. 并考查做題技巧:排除與推理相結合. 考查的知識側重點: 1○側重考查等腰三角形和菱形的判定; 2○側重考察中位線的判定與性質; 3○側重考查對折的性質運用. 由平行的同位角、內錯角相等,以及對折的對應角相等,可知1○是對的;因為E,D不是中點,易知2○是錯誤的;由對折的對應邊相等可得AE=EF,AD=EF,但不具備菱形的判定條件,故3○是錯的;由對折的對應角相等及兩對互補的平角可得4○是對的.

在本題作為例題的講解時,若只就題講題,學生的思維是不能得到提升與拓展的,我們在教學中,若能對例題進行多角度的變式與改編, 并發揮學生主動參與思考的能動性,教學便能事半功倍,下面筆者以該題為例來闡述變式教學的的改編思路與方法:

1 將題目條件一般化

改編1 如圖, ΔABC沿DE折疊, 點A落在邊BC上的點A1處, ∠A=70°,CΔABC= 8, 則下列的結論: 1○ΔBEA1是等腰三角形; 2○DE//BC; 3○∠2+

本題的改編多了周長的計算,實際上該題是綜合考查對折的對應邊與等量代換思想,教學中可設問:

師: 比較上一題,條件發生了哪些改變?

師: 除了該題的改編,你還可以將題目進行怎樣的變化?(接下來進行“你出題,我來做”小組活動)

2 將題目條件特殊化

改編2如圖,RTΔABC沿DE折 疊, 點A落 在邊BC上 的 點A1處,∠A= 70°,CΔABC= 8,則下列的結論: 1○AE=AD; 2○∠1-∠2 = 20°; 3○∠2 + ∠3 + 2∠C= 180°;4○CΔEBA1+CΔDCA1=8. 正確的有( )個.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

為增加角度的計算和代換,筆者在本題將任意三角形換成了直角三角形,并增加了一個已知的銳角,在原題基礎上稍稍降低了難度. 課堂上為了引導學生思考我們可以在學生獨立思考后,再增加問題引導:

師: ΔDEA1是等腰三角形嗎?

師: 題目中直角三角形能得出哪些性質?

師: 這個性質能解決題目中哪些結論?

以上三個設問讓學生獨立思考后,把想法與小組其它同學進行交流.

3 繼續將條件層層遞進更特殊化

改編3如圖, 等邊ΔABC沿DE折疊, 點A落在邊BC上的點A1處, ∠A= 70°,CΔABC= 8, 則下列的結論: 1○ΔDEA1是等腰三角形; 2○ΔBEA1與ΔCDA1相似;3○∠2+∠3 = 120°; 4○CΔEBA1+CΔDCA1= 8. 正確的是

本題改編增加了相似三角形的考查,通過角的關系,學生容易得到∠1 = ∠2, 而∠B= ∠C= 60°,由此得知兩個三角形相似, 所有2○是正確的.

該題中我們將選擇形式改為填空題,實際上是提高了難度,減少學生利用排除法等因素來做題、排除法是選擇題完成的重要方法,但有時未理解知識,卻猜對了,那將原題的設問改編為填空題、就避免這種情況,使學習真正發生.

我們還可以在這基礎上,繼續讓圖形更加特殊化: 若點A1是BC的中點,讓學生繼續探討能從圖中得出哪些其它結論?

在這變化過程中,滲透研究問題的數學思想和方法從一般到特殊,或者從特殊到一般,在特殊的圖形里探索開放性的結論,難度說大也不大,但卻能拓寬學生事業,培養學生批判性思維.

4 將某些條件發生改變,結論同時改變

改編4如圖,RTΔABC,∠BAC= 90°,∠C= 30°,RTΔABC沿DE折疊,點C落在邊BA上的延長線的點C1處,若C1D⊥BC,則下列的結論: 1○C1F=EF;2○ΔDFE是等邊三角形;3○ΔABC與ΔDBC1相似;結論是正確的有( )個.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

改編分析: 直角三角形的性質, 特殊角三角函數, 等邊三角形的判定,三角形相似的判定,以及三角形相似的性質等知識綜合起來, 綜合性開始逐漸增強, 難度也有所增加,題目變式中,學生進一步理解對折圖形的性質. 有折疊可知∠C=∠FC1E=30°,利用直角三角形的兩個銳角互余可得∠B= 60°,∠AC1D= 60°, 由此可得∠FC1E= ∠FEC1,1○正確;由對折可知∠CDE= ∠FDE= 45°,所以2○錯誤;由兩個角對應相等的三角形相似可得3○正確;由兩個三角形的相似比是可知4○錯誤,綜上所述,共有2 個結論正確,選B.

5 繼續設置開放性問題

讓學生思考完成上題改編問題后,繼續設置開放性問題,對學生的思維火花繼續推波助瀾,使學生的思維浪花一波未平一波又起一波.

改編5 追問: 上題中, 你還能從中得到什么正確的結論?

此時的開放性設問像是及時雨,學生本以為就要解決問題了,此時心理學有研究說明,在接近問題解決的尾聲時,人的思維會逐漸成放松疲憊狀態,注意力也會開始下降,而此時及時的進一步設問,對學生的思維火花繼續推波助瀾,使學生的思維浪花一波未平一波又起一波.

教學中教師不僅要善于誘導學生去發現問題,更要善于幫助引導他們總結歸納問題,使其認知水平逐步提高. 有了反思要求,就不會出現一味反復操練的盲目性,有了反思,就會既見樹木,又見森林,就很容易把數學過程抽象化,而不只是把數學看作就是一些過程,一些細枝末節.

6 將題型改成填空題,讓知識進一步落實到位

改編6如圖,RTΔABC沿DB折疊, 點A落在邊BC上的點A1處∠BAC=90°,∠C= 3. 則下列的結論: 1○A1C=A1B; 2○連接AA1, 則ΔABA1是等邊三角形; 3○四邊形ABA1D是菱形; 4○連接A1F, 則A1F=A1C; 以上正確的結論是

改編分析: 當圖中對稱軸發生改變時, 出現了四邊形ABA1D,在原題的基礎上,增加了菱形的判定知識的考查,這樣的改編,將三角形—直角三角形—四邊形—菱形等知識進行串聯,由點帶線,由線帶面逐步組建知識結構. 而且將考題改為填空題的形式,學生不能再使用排除法解題,無疑難度相對是增加了. 學生必須具備空間觀念、幾何直觀和推理能力等綜合能力才能解題,讓知識進一步落實到位.

7 繼續進行開放性設問,并結合小組交流,在課堂中期給學生注入了新鮮的思維生命力與激情

改編7上題解決后,老師進一步設問: 具備什么條件,四邊形ABA1D會是菱形?

在數學中問題無處不在,疑問無處不在. 因此課堂設疑提問是課堂教學重要環節,也是體現我們教師的基本功是否深厚的一把標尺. 該問題具備有充分的開放性,學生可以回答: 對邊平行,對角線互相垂直平分等等條件. 開放性的問題有利于培養學生的發散性思維,不被封閉性條件所拘泥. 在前面這么多題的訓練下,學生的無疑可能開始進入疲憊與容易開小差時間,此時的設問與小組交流無疑在課堂中期給學生思維注入了新鮮的思維生命力與激情,繼續攀登.

8 將上題的開放性設問改成解答題,完成后進行小組展示和交流

改編8如圖, RTΔABC沿DB折 疊, 點A落 在 邊BC上的點A1處, ∠BAC=90°,∠C=30°,若A1D⊥AC,

(1)求證:四邊形ABA1D是菱形;

(2)連接AA1,DC,若AB=2,求四邊形ADCA1的面積.

改編分析: 本題的改編,將三角形的折疊問題逐步過渡到特殊四邊形的研究中去,讓學生從題目的自然變化中感受到四邊形與三角形的密切聯系,進一步梳理三角形與四邊形的知識關系. 從上題的3○結論的排除,自然會想到具備什么條件它會是菱形的思考中來,在此基礎上,將上題的填空進一步改編成大題,自然順暢而且水到渠成. 第二個問題是計算題,綜合運用直角三角形的性質、特殊角的三角函數、菱形的判定與面積計算等知識. 兩個問題結合在一起,緊密相連,環環相扣.

實際上我們還可以把三角形這個條件換成平行四邊形、矩形、菱形和正方形,這樣的教學充分體現方法體系、思想體系、知識結構的整體性教學,根據上述方法進行條件和結論得出一般化或特殊化再進行層層深入的變式, 這將是一個“圖形的折疊專題”綜合性學習,在這里因為篇幅影響,將不再對改編進行一一闡述了.

像本文中改變題目的條件會導出什么新結論,保留題目的條件,結論能否進一步加強,條件做類似變換,結論能擴大到一般,等等,像這樣富有創造性的全方位思考,常常是發現新知識、認識新知識的突破口. 通過這種反思,由一題多變,側重訓練了思維遞進性;由條件和結論的換位,側重訓練思維的變通性;由多向探索,側重訓練思維的廣闊性. 掌握一類題型的解法,可以達到事半功倍的效果.

筆者在長期的教學實踐中漸漸摸索出數學變式教學的幾種有效策略:

策略一: 正向與逆向相互轉化

一個命題的題設和結論是因果關系的辨證統一,題型變式時,不妨從它的正面出發,逆向思維,培養學生正向思維、逆向思維,發散思維. 例如我們在教學中可將題目將某些條件發生改變,結論同時改變. 在數學習題教學中,一題多變也得循序漸進,步子要適宜,變得自然流暢,使學生的思維得到充分發散,而又不感到突然. 總之,在數學習題教學中,選用一些非加探索不能發現其內在聯系的習題. 采用一題多解與一題多變的形式進行教學,可以幫助學生對知識系統性、特殊性、廣泛性的深刻理解.

策略二: 從一般到特殊,或者從特殊到一般

變式教學中滲透研究問題的數學思想和方法: 從一般到特殊,或者從特殊到一般. 方法和思想的提煉無疑讓學生從知識層面的理解到達一個升華的的過程. 在特殊的圖形里探索開放性的結論,難度說大也不會大,能夠讓學生在思考研究之后得到一些結論,這能夠使學生自信心增強,也拓展學生的發散性思維. 課堂教學要鼓勵學生去大膽嘗試,勇于求異,激發學生創新欲望.

策略三: 問題驅動,讓學生思維火花熠熠生輝

教學中我們可以在下列重要環節進行問題驅動:

1. 導入新課時設問,創設問題情境,使學生的注意力集中,激發學生探求知識的欲望.

2. 圍繞教材的重點和難點進行問題驅動,為學生搭建跳一跳能摘到果子的墊腳石,達到突出重點、分化難點目的.

3. 在容易混淆、模糊不清的地方進行問題驅動,有效幫助學生區分“黃豆”、“綠豆”何不同.

4. 設置錯誤的問題情境,在典型錯題處進行問題驅動,引發學生的認知沖突,幫助學生深入分析、理解錯誤的本質從而牢固的掌握知識.

策略四: 題目設計由封閉向開放轉化

例如當學生解決了某個問題是,我們可以乘勝追擊設問:你還能從中得到什么正確結論? 設問的開放性不會限制學生的思維,能促進他們全方位的對圖形進行研究和探索,開放性的設問重在引領學生的發散思維,期待直指解決問題的方法悟于變式的過程.

策略五: 將題型可在填空題、選擇題、解答題、代幾綜合題相互轉換,讓知識進一步落實到位

題目變式中,逐漸將三角形—直角三角形—四邊形—特殊四邊形等知識進行串聯,由點帶線,由線帶面逐步組建知識結構,而且將考題填空題、選擇題、解答題、代幾綜合題相互轉換. 例如將選擇題變式為填空題,學生不能再使用排除法解題,無疑難度相對是增加了. 學生必須具備空間觀念、幾何直觀和推理能力等綜合能力才能解題,讓知識進一步落實到位.

策略六: 從定點到動點逐漸變式

教學中題目的難度逐漸增大,圖形逐步趨向復雜,需要學生由綜合思考問題和解決問題的能力. 題目也由最開始的單一圖形逐步變式為綜合圖形,或者由單一的兩個三角形的全等變式成復雜圖形的多次全等,由定點變成動點,但因為由淺入深,層層遞進,學生開始具備了基礎知識的儲備,也有了解決這類問題的基本思路,使到他們有解決問題的信心與耐心. 這是攀登數學問題的兩把金鑰匙,有了這把金鑰匙學生便有了勇氣和忍耐力,這點尤其重要.

策略七: 從單一的純幾何題逐漸變式為代幾綜合題,尤其與二次函數最值結合,緊扣中考方向

要從中錯綜復雜的關系里尋找解題切入點需要的能力較高. 但因為變式循序漸進,逐步形成方法體系,思想體系,學生并不會覺得難以“高攀“,課堂上可讓學生小組探索,讓學生通過傾聽他人的意見和想法,將解決問題的方法進一步梳理. 最后再讓學生自行更正自己的解答過程.

策略八: 將最終想要呈現的重要幾何綜合壓軸題進行處理,褪去繁華,回歸最初雛形

在初三總復習壓軸專題時,呈現的的圖形復雜,綜合動點、函數、最值的題型難度是很大的,如果一上課就把該題呈現,估計會讓絕大多數的學生望而卻步,全嚇跑了. 因此科學在課堂里逐漸呈現從易到難,從常規基礎題到代幾綜合壓軸題也是數學教學的關鍵. 我們可以將該題處理一下,呈現本節課的“一題”最基礎的模樣開始進行初步探究.

就題做題的教學,學生對考題的思考是封閉的. 在解決問題中,知識沒有得到進一步的整合,思維沒有得到進一步的激活,思考到淺層就戛然而止. 我們反對就題論題的例題教學,倡導基于整體性的大單元復習課的教學設計,基于“一題”的深入研究,“借題發揮”,“一課一題”的深度變式教學是非常有意義的.