深度學習視角下的高中數學課堂教學策略探究*
——以圓錐曲線的定義及標準方程教學為例

廣東省廣州市鐵一中學(510600) 范選文

所謂深度學習,就是指在教師的引領下,學生圍繞著具有挑戰性的學習主題,全身心積極參與、體驗成功、獲得發展的有意義的學習過程. 在這個過程中,學生掌握學科核心知識,理解學習的過程,把握學科的本質及思想方法,形成積極的內在學習動機,成為既具獨立性、批判性、創造性又有合作精神的優秀學習者. 深度學習的特點決定了它是一種學生主動性的探究活動,教師在整個課堂教學中扮演的角色是引導者和輔助者. 下面筆者將結合2019 版新教材選修二第一章圓錐曲線的課堂教學進行具體闡述.

1 深度解讀教材,整體單元設計教學內容

“深度學習”的四個核心要點之一是教學中學生的學習必有教師的引導和幫助,所以在教學前教師必須深入解讀和理解教材,理解不同數學學科核心素養水平的具體要求,不僅關注每一節課的教學目標,更要關注主題、單元的教學目標. 所以,整體把握教學內容對促進數學學科核心素養連續性和階段性發展具有重要意義. 這就是需要教師整體單元設計教學內容,而且需要做到教學設計的數學整體性、邏輯連貫性、思想的一致性、方法的普適性和思維的系統性. 下面從兩方面闡述圓錐曲線設計的整體性.

1.1 知識技能的整體性

圓錐曲線部分按照橢圓、雙曲線、拋物線的順序,從知識技能角度看,三者的知識結構相近,研究的內容、過程和方法是“同構”的,具有統一性. 教材對每一種圓錐曲線都按照“曲線的幾何特征一曲線的定義及標準方程一通過方程研究曲線的性質及應用”的過程展開,并把橢圓作為重點,強調它的典型示范作用,注重數學思想和基本方法的引領性,雙曲線、拋物線的研究通過類比橢圓來完成. 教材中的整體教學框架如下:

1.2 研究過程和數學思想方法的整體性

數學學習的核心是思維方法的學習,以思想方法進行單元教學的整體設計,用高觀點、思想性去引領學生的學習,更有利于學科素養的提升. 對于圓錐曲線的學習,知識的內在統一性是一條明線,內隱的用代數的方法研究幾何,深刻認識數和形的辯證統一是一條暗線. 圓錐曲線涉及到的數學思想方法有: 轉化思想、方程思想、類比思想等. 教學過程中,可以基于思想方法整體性(由形到數再到形)來研究圓錐曲線的知識. 下面以橢圓的標準方程和幾何性質的研究為例,形成如下的圓錐曲線每個小單元的研究框架(以橢圓為例):

2 創設教學情境探究,拓展學生思維空間

教學過程的情境化,主要指的是將教學情境貫穿于整個教學過程. 高中數學很多內容具有抽象性,理解和學習難度較大. 為了增加學習趣味性,保障學習有效性,教師可以針對教學內容創設切合實際的情境,拓展學生思維空間,提升單元教學實效性,引發學生更深層次的思考,促進學生的思維發散與創新. 下面闡述新教材中橢圓和雙曲線情境探究的意圖:

2.1 橢圓情境探究

取一條定長的細繩,把它的兩端都固定在圖板的同一點,套上鉛筆,拉緊繩子,移動筆尖,這時筆尖(動點)畫出的軌跡是一個圓. 如果把細繩的兩端拉開一段距離,分別固定在圖板的兩個點F1,F2,套上鉛筆,拉緊繩子,移動筆尖,畫出的軌跡是什么曲線?

在這一過程中,移動的筆尖(動點)滿足的幾何條件是什么?

情境設計意圖從學生已經掌握的圓的知識體系的觀點創設橢圓定義的情境, 這樣的探究引發了學生的問題意識,創設了合情推理的情境,而不是直接描述橢圓定義,培養了學生敢于和善于猜想,形成數學直覺、發展數學思維和獲得數學發現的素質.

2.2 雙曲線情境探究

如圖3.2-1,在直線l上任取兩個定點A,B,P是直線l上的動點. 在平面內,取定點F1,F2,以F1為圓心、線段PA為半徑作圓,再以F2為圓心、線段PB為半徑作圓.

我們知道,當點P在線段AB上運動時,如果|F1F2| ＜|AB|, 那么兩圓相交, 其交點M的軌跡是橢圓; 如果|F1F2|＞|AB|,那么兩圓不相交,不存在交點軌跡.

如圖3.2-2,在|F1F2| ＞|AB|的條件下,讓點P在線段AB外運動, 這時動點M滿足什么幾何條件? 兩圓的交點M的軌跡是什么形狀?

情境設計意圖借助信息技術(幾何畫板)回顧橢圓的定義和軌跡,從而引導學生發現和構建雙曲線的定義(到兩定點之間距離之差等于定長),再借助信息技術呈現雙曲線的圖像,可以讓學生非常直觀感受出雙曲線具有兩支的問題,從而讓學生更加深刻的理解雙曲線的定義(距離之差的絕對值等于定長).

3 以問題為載體,促進學生深度學習

提出一個問題,往往比解決一個問題更重要. 在教學過程中,教師要有意識引導啟發學生學會如何發現有意義、有價值的問題,而不是簡單地尋找答案. 教師要設計不斷深入的問題串,為師生架設聯系的橋梁,啟發引導學生參與學習過程,引導他們經歷觀察、發現、歸納、推理等活動,探尋本質.教師要以問題為載體,以問題串開展數學教學,優化課堂結構,促進學生的探索思考,加深他們對數學問題的理解. 在課堂中以問題為載體,強化學生的問題意識,學生就會展開想象,自由探討,積極思維,大膽提出問題,揭示問題之間的聯系,從而促進學生的深度學習.

下面筆者在雙曲線定義及標準方程第1 課時的教學片段為例(設置問題串):問題1如果點M(x,y)在運動過程中, 滿足方程問: 點M(x,y)的軌跡是什么曲線? 為什么? 寫出它的方程.問題2若點M問(x它,y的)軌滿跡足又方是程什么曲線?問題3如果點M(x,y)在運動過程中, 滿足方程問: 是否知道點M(x,y)的軌跡是什么曲線? 假若不知道能否求出點M(x,y)的軌跡方程?問題4如果=點4 的M軌(x跡,y方)程滿又足是方什程么?

問題5 平面內與兩個定點的距離的差等于常數的點的軌跡是什么?

問題6 平面內與兩個定點F1,F2的距離的差的絕對值等于非零常數(等于|F1F2|)的點的軌跡是什么?

問題7 如圖,圓O的半徑為定長r,A是圓O外一個定點,P是圓上任意一點. 線段AP的垂直平分線l和半徑OP相交于點Q,當點P在圓上運動時,點Q的軌跡是什么? 為什么?

問題8 點M(x,y)滿足

問:點M(x,y)的軌跡是什么曲線? 化簡求出點M(x,y)的軌跡方程.

問題9 如圖, 雙曲線的焦距為2c, 焦點分別是F1(0,-c),F2(0,c).a,b的意義同上, 這時的雙曲線標準方程是什么?

在“問題串”的引導下,學生可以完整地經歷雙曲線定義和標準方程探究過程:

(1)問題1、2 是讓學生復習回顧橢圓的定義(掌握方程和軌跡的相互轉換);

(2)問題3、4 是引導學生對代數式(兩點間距離之差的解讀,并復習方程化簡);

(3)問題5、6 是借助幾何畫板引導學生探究和總結出雙曲線的定義及條件;

(4)問題7 是強化學生對雙曲線定義的理解;

(5)問題8、9 是讓學生類比橢圓推導出雙曲線標準方程.

4 進行適度拓展,延伸學生的深度學習

新教材在三種圓錐曲線中都注意安排實際應用問題,并通過拓展性資源對“圓維曲線的光學性質及其應用”進行歸納總結,以落實“通過行星運行軌道、拋物運動軌跡等,使學生了解圓錐曲線的背景與應用”的要求,同時,教材特別注意發揮信息技術的作用,在正文中明確提出利用信息技術進行探究的要求,而且安排了利用信息技術探究圓錐曲線性質的欄目、拓展性材料等,另外,還安排了“文獻閱讀與數學寫作,解析幾何的形成與發展”,要求學生查閱與解析幾何有關的文獻,了解解析幾何形成與發展的過程,以及解析幾何對人類文明的主要貢獻,以體現本章內容在數學文化中的特殊作用. 所以適度拓展是教師基于對教材和學情的理解,是幫助學生提升能力、滋長智慧的重要環節,能讓學生的深度學習得到延伸.

結語,數學學科核心素養作為學生全面發展的實踐要求,在數學課堂教學中重視教材的深度分析、教學內容的深度設計、學生的深度參與和課后的深度拓展四個維度,通過創新數學課堂教學模式,幫助學生在數學學習上養成良好的習慣,從而將高中數學知識課堂教學轉換為學生深度學習課堂,幫助數學教師提高課堂教學效率,為學生全面發展提供保障.