化歸思維下數學微專題教學初探*

北京師范大學淮安學校(223001) 楊興剛

進入高三,復習課成了課堂教學的主要課型,復習課的質量決定著學生數學思維的深度、方法的熟練度和數學素養的高度. 微專題教學是高三數學二輪復習課主要課型,開展微專題教學有利于學生在探究活動中不斷深化知識理解、積累解題經驗、強化模型識別、感悟數學思想和提升數學素養.G·波利亞曾經指出:“良好的組織使得所提供的知識容易用上,這甚至可能比知識的廣泛更為重要.”二輪專題復習以思想方法為主線設計微專題,通過“變式教學”設計習題串,讓學生跳出“題海戰術”,真正體會習題“變”中的“不變”,形成解決問題的模型思想,化歸試題的本質理解,提升自身的思維深度和數學素養.

1 化歸思維及微專題教學內涵

化歸思維的本質是轉化和歸結,是學生數學解題中常用的一種的思維方式. G·波利亞在《怎樣解題》中指出:“我們在解題時總是得益于以前曾解過的那些題目,應用它們的結果或者方法,或是我們在解答它們當中所獲得的經驗[1]. ”數學中的“化歸”方法,是指數學家們把待解決或未解決的問題,通過某種轉化過程,歸結到一類已解決或者比較容易解決的問題中去,最終求得原問題解答的一種手段和方法,即通過數學的內部聯系利用矛盾轉換,歸結為規范問題或可求解問題的思想方法[2].

“微專題”通常是指圍繞復習的重點和關鍵點設計的、利用具有緊密相關性的知識或方法形成的專項研究,或者結合學生的疑點和易錯點整合的、能夠在短時間內專門解決的問題集[3].

基于化歸思維的微專題教學設計,有利于培養學生習題的模型感知能力,體會多題歸一的思想統領性,強化解題經驗積累,培養敢于突破的自信心和決戰數學考場的決心. 化歸思維視域下的微專題教學本質上是培養學生轉化試題背景、挖掘思維共性、歸類思想主線、規范解題過程、總結解題經驗的過程.

2 化歸思維視域下的微專題教學策略

2.1 以教材為基,深化知識理解

教材不僅是學生知識習得、技能建構的起點,也是高考模考試題命題的源頭,是高三復習必須回歸的起點. 在復習課中,“以教材為基”不是對教材索然無味的解讀與重復,而是以教材為地基的思維深層次架構,教學要厘清問題的本質,體現數學的基本思想內涵和數學思維的建構過程,讓教材成為引領學生深耕細作的沃土.

數列的本質是一類特殊的函數,數列的研究對象是數學中或現實中具有遞推規律的事物,在日常生活中也有著廣泛的應用. 等差數列和等比數列是數列遞推關系中最基本的兩種關系,通過數列的學習,有利于增強學生發現規律、描述規律和應用規律解決問題的意識,將一般的遞推關系轉化為“等差、等比”的關系,化歸為等差、等比數列模型,增強利用等差、等比數列的通項和性質解決問題的能力,提升學生的數學建模能力,理解數列的函數本質.

案例(2022 湖北八市聯考)2022 年北京冬奧會開幕式中,當“雪花”這個節目開始后,一片巨大的“雪花”呈現在舞臺中央,十分壯觀. 理論上,一片雪花的周長可以無限長,圍成雪花的曲線稱作“雪花曲線”,又稱“科赫曲線”,是瑞典數學家科赫在1904 年研究的一種分形曲線. 如圖是“雪花曲線”的一種形成過程: 從一個正三角形開始,把每條邊分成三等份, 然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形,再去掉底邊,重復進行這一過程. 若第1 個圖中的三角形的周長為1,則第n個圖形的周長為若第1 個圖中的三角形的面積為1,則第n個圖形的面積為

評析此題由蘇教版高中數學選擇性必修第一冊第149頁“探究·拓展”第17 題改編而來,試題以2022 年北京冬奧會開幕式中的雪花為素材設計真實情境,既考查等比數列及求和的相關知識和從資料中提取信息的能力,又突出數學的真、善、美. 學生試題解答的關鍵是將圖形的分形過程理清楚,探尋圖形邊數、邊長的變化規律,將問題化歸為求等比數列的通項與等比數列的和來解決. 學生在試題求解的過程中,了解數學分形理論,感受數學的文化價值,體會數學應用的廣泛性,提升了自身的數學閱讀、信息提取、數學建模和數學應用能力.

2.2 以思想為線,把握數學本質

方法一般是指為獲得某種東西或達到某種目的而采取的手段與行為方式,解題方法的靈活應用客觀反映了學生數學解題能力與數學素養水平. 在高中數學中,同構可定義為相同的結構[4]. 同構法不僅體現了數學知識的統一性、對稱性、和諧性,而且運用同構法解題能夠培養學生發現規律、運用規律的化歸思維能力.

運用代數的方法研究平面幾何圖形的性質及它們的位置關系是解析幾何的本質,代數方法的靈活運用程度反映了學生的數學運算素養水平. 同構法在解析幾何運算中可以起到化繁為簡的良好效果.

案例(2022 年南通二模)已知雙曲線=1(a ＞0,b ＞0) 的左、右焦點分別是F1,F2,P(x1,y1),Q(x2,y2)是雙曲線右支上的兩點,x1+y1=x2+y2=3. 記ΔPQF1,ΔPQF2的周長分別為C1,C2,若C1-C2=8,則雙曲線的右頂點到直線PQ的距離為

評析此題由蘇教版高中數學選擇性必修第一冊第19頁“探究·拓展”第13 題改編而來,結合雙曲線的定義,靈活選擇同構法簡化運算,解決問題的意識,特別突出了化歸思維能力的考查. 學生試題解答的關鍵是利用幾何圖形關系將兩個三角形ΔPQF1,ΔPQF2的周長之差轉化為雙曲線定義應用問題,將等式x1+y1=x2+y2=3 化歸為確定一條直線的基本量“兩個點”,利用同構的方法即可得到經過P,Q兩點的直線方程為:x+y= 3,最后利用點到直線距離公式即可求得答案. 學生在試題求解的過程中,感悟數學概念和原理的重要性,正如李邦河院士所講“數學玩的是概念,而不是純粹的技巧. ”

2.3 以素養為本,培育高階思維

弗利德曼曾指出:“數學的邏輯結構的一個特殊的和最重要的要素就是數學思想. 整個數學科學就是建立在這些思想的基礎上,并按照這些思想發展起來的[5].”數學思想是數學的靈魂,是對數學事實與數學理論的本質認識,是數學文化的核心,沒有思想就沒有文化[6]. 數學試題千變萬化,但是數學思想在解題過程中起著統領全局的作用. 華羅庚先生就曾對數形結合思想賦詩一首:“數與形,本是相倚依,焉能分作兩邊飛. 數缺形時少直覺,形少數時難入微. 數形結合百般好,割裂分家萬事非. ”

圓錐曲線通過改變平面與圓錐軸的夾角,得到不同的截面,截面與圓錐面的交線可以得到橢圓、雙曲線和拋物線. 圓錐曲線由一個圓錐面被平面所截這一基本圖形統領全局,而用坐標系和方程思想研究圓錐曲線的幾何性質,體現了數形結合思想和方程思想在研究平面幾何曲線性質的基本路徑,體現了方程思想串聯“曲線概念—幾何圖形—建坐標系—求解方程—研究性質”的知識體系和數學模型建構過程.

案例如圖, 在棱長為1 的正方體ABCD-A1B1C1D1中,P為棱A1B1的中點,點Q在側面DCC1D1內運動,下列結論正確的是( )

A. 若BQ⊥A1C,則動點Q的軌跡是線段;

B. 若|BQ|=√則動點Q的軌跡是圓的一部分;

C. 若∠QBD1=∠PBD1,則動點Q的軌跡是橢圓的一部分;

D. 若點Q到AB與DD1的距離相等,則動點Q的軌跡是拋物線的一部分.

評析此題借助立方體,重點考查學生的空間想象能力、邏輯分析能力,將問題化歸為平面截空間幾何體,截面與空間幾何題表面交線問題,涉及到面面相交、平面與球面相交、平面與圓錐面相交等交線的形狀判斷,充分體現了學生的綜合能力和數學核心素養水平.

綜合法分析由于經過點B作已知直線AC1的垂線構成一個平面BC1D(三垂線定理), 因此平面BC1D與側面DCC1D1的交線DC1即為動點Q的軌跡; 由于空間內到點B的距離為定值的點是一個球面, 因此球面與側面DCC1D1的交線是圓, 動點Q的軌跡是該圓的一部分;由于經過點B與直線BD1夾角(cos ∠PBD1=)相等的直線構成一個以BD1為軸的圓錐面, 側面DCC1D1與軸BD1的所成角(∠BD1C)的余弦值為,由于∠BD1C小于∠PBD1,因此圓錐面與側面DCC1D1的交線是雙曲線, 動點Q的軌跡是該雙曲線的一部分; 過點Q分別作DD1,DC的垂線交DD1,DC于點M,E, 過點E作BC的平行線交AB于點F, 則QM,QF分別為點Q到直線DD1,AB的距離,由QM=QF=可得動點Q的軌跡是雙曲線的一部分.

分析法分析通過建立空間直角坐標系易判斷選項A,B 是正確的,選項D 是錯誤的;對于選項C,得到的方程是一般的二次曲線,則需要通過換元化簡得到雙曲線的標準方程,因此也是錯誤的.

3 化歸思維的微專題教學思考

數學化歸思想的發展,就是數學模型化的思想[7]. 化歸思維是解決數學問題常用的思維方式之一,體現了數學模型化的思想. 微專題將具有緊密相關性的知識或方法化歸成一個專項課題,可以有效促進學生的深度學習,加深對數學本質的理解,提高自身的數學思維能力,提高自身的數學素養.

借助化歸思維設計微專題復習,將試題的考查內容回歸到課本基本概念和原理,有利于提高學生閱讀教材的主動性,加深數學知識的理解;將試題的考查方法化歸為統一的解法,以點帶面、多題一解,有利于提高學生解題方法的熟練程度,感悟知識的內在聯系;讓學生在知識的學習中,感悟數學思想的統領性,深化問題的理解深度和廣度,培養學生綜合分析問題的能力,發展學生的數學素養.

化歸思維視域下的微專題教學有利于提高高考復習效率和解題訓練的針對性, 讓學生在數學思想主線的統領下,突破思維障礙,強化技能方法,實現以點帶面,專項針對性訓練,在解題的過程中訓練思維,深化理解,提升數學素養. 數學微專題的選題原則應體現基礎性、思想性和發展性,符合學生的認知規律和心理發展規律. 微專題教學是習題課的一種類型,數學習題課教學應著眼于數學核心素養選題,注重學生思維能力培養[8],讓學生在復雜的情境中展現思維、交流表達、合作探究,優化自己的思維,創造性地解決問題.