三法一體 有序提升

朱旭平 徐旭琴

人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材六年級上冊“雞兔同籠”一課，以獨(dú)立的方式呈現(xiàn)了解決這一問題的三種方法，分別是猜想列表法、假設(shè)法、列方程法。如果再深入分析這三種方法的內(nèi)在特點(diǎn)及思考根源，可以發(fā)現(xiàn)它們并不是孤立的教學(xué)點(diǎn)，而是存在著內(nèi)在的有機(jī)聯(lián)系。筆者以具體的教學(xué)實(shí)踐為例，來談?wù)勛约旱乃伎肌?/p>

【教學(xué)過程】

一、化繁為簡

1.出示用古文表述的雞兔同籠問題：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？

師：這就是著名的雞兔同籠問題，是大約一千五百年前，我國古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中記載的一道數(shù)學(xué)趣題。讀一讀，這道題的意思你明白嗎？

2.根據(jù)學(xué)生回答，用白話文表述的雞兔同籠問題：籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)，有35個(gè)頭，從下面數(shù)，有94只腳。雞和兔各有幾只？

師：這個(gè)問題你能解決嗎？感覺有點(diǎn)難度，我們可以先從簡單的問題入手。

3.出示簡單的雞兔同籠問題：籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)，有8個(gè)頭，從下面數(shù)，有26只腳。雞和兔各有幾只？

[評析：從《孫子算經(jīng)》引入雞兔同籠問題，并對這一問題進(jìn)行語言表述上和數(shù)量多少上的簡化，旨在傳遞雞兔同籠問題的數(shù)學(xué)文化氣息，滲透解決較復(fù)雜數(shù)學(xué)問題所經(jīng)常運(yùn)用的化繁為簡的思想，有助于學(xué)生把握數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展的脈絡(luò)，初步感受問題中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想。]

二、猜想提升

1.解讀題意。根據(jù)第一個(gè)條件“從上面數(shù)，有8個(gè)頭”，猜一猜，有幾種可能？根據(jù)學(xué)生的回答，有序地整理成下表，想一想，你們是怎么猜的？如果兔有x只，雞有幾只呢？

…2.哪一種可能是對的呢？要根據(jù)哪一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)去判斷？（根據(jù)雞兔一共有26…只腳）你會(huì)計(jì)算每種情況雞兔的總腳數(shù)嗎？根據(jù)學(xué)生計(jì)算呈現(xiàn)表2。

師：都算對了嗎？你是怎樣算的？每只雞有2只腳，只數(shù)×2=腳數(shù)，每只兔有4只腳，只數(shù)×4=腳數(shù)。哪一種情況是對的？誰來解釋一下？有3只雞，5只兔，列出算式是2×3+4×5=26只腳。

教師總結(jié)：我們用列表的方式，找到了正確答案：雞有3只，兔有5只。

3.教師指著表格中用未知數(shù)x…表示的數(shù)，提問：誰來說說2（8-x）+4x…表示什么意思？只有當(dāng)它的值等于26時(shí)候，求出的x值是正確的。你能根據(jù)剛才的思考，用列方程的方法來解決這道題嗎？根據(jù)學(xué)生回答，課件呈現(xiàn)用方程解決問題的過程。

解：設(shè)籠子里的兔為x只，那么雞為（8-x）只。

[評析：猜想列表法與方程法具有相關(guān)性，可以說方程中的未知數(shù)及含有未知數(shù)的式子是猜想列表中數(shù)量及用數(shù)量計(jì)算腳數(shù)的一種模型。具體分為兩個(gè)方面：一方面根據(jù)題中的一個(gè)條件（共有8個(gè)頭）進(jìn)行有序的猜想并形成表格，這種總數(shù)量不變，而其中的兩部分?jǐn)?shù)量互變的函數(shù)思想已轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟練的猜想技能，進(jìn)而根據(jù)內(nèi)在關(guān)系將猜想列表提升為用未知數(shù)模型表達(dá)這兩部分?jǐn)?shù)量；另一方面是讓學(xué)生用腳數(shù)去驗(yàn)證，計(jì)算方法是雞頭數(shù)×2+兔頭數(shù)×4=總腳數(shù)，這一方法在含有未知數(shù)的等式中就更加清晰地呈現(xiàn)出來。在這兩個(gè)方面提升的基礎(chǔ)上，用方程解決雞兔同籠問題就水到渠成了。]

三、規(guī)律揭示

1.仔細(xì)觀察表2，你還發(fā)現(xiàn)了什么？從左往右看，1只雞換作1只兔，就多了2只腳，從右往左看，1只兔換作1只雞，就少了2只腳。然后在電腦上用圖的變化進(jìn)行定型（見圖1）：雞兔互換1只，腳數(shù)相差2。

2.如果先猜雞兔只數(shù)分別是8、0，怎么調(diào)整到3、5呢？學(xué)生指著表格說，1只雞換作1只兔就多2只腳，2只雞換作2只兔就多4只腳，3只雞換作3只兔就多6只腳，4只雞換作4只兔就多8只腳，5只雞換作5只兔就多10只腳，這樣腳數(shù)就是26只，調(diào)整了5次，然后在電腦上用圖的變化來鞏固學(xué)生的思考。（見圖2）

3.怎樣才能一步就想到將5只雞換作5只兔呢？雞、兔只數(shù)分別是8、0，總腳數(shù)是16只。而要求總腳數(shù)是26只，那16只腳到26只腳總共還少了10只腳，1只雞換作1只兔，就增加2只腳，而10里面有5個(gè)2，因此是5只雞換作5只兔，增加了5個(gè)2只腳，即增加了10只腳，這樣就得出兔是5只，雞是3只。接著用算式規(guī)范學(xué)生的思考：假設(shè)籠子里都是雞，2×8=16（只）腳，26-16=10（只）腳，4-2=2（只）腳，10÷2=5（只）兔，8-5=3（只）雞。

4.運(yùn)用假設(shè)法。如果假設(shè)籠子里都是兔，該怎么計(jì)算？用算式完整地表示出來。假設(shè)籠子里都是兔，4×8=32（只）腳，32-26=6（只）腳，4-2=2（只）腳，6÷2=3（只）雞，8-3=5（只）兔。然后讓學(xué)生指著算式說思考過程。

5.兩種假設(shè)法進(jìn)行歸納比較，總結(jié)出假設(shè)法的解題方法與經(jīng)驗(yàn)：都是用總相差的腳數(shù)除以每只相差的腳數(shù)。要注意：開始假設(shè)都是雞的，先求出的是被換的兔的只數(shù)；開始假設(shè)都是兔的，先求出的是被換的雞的只數(shù)。

[評析：假設(shè)法是對猜想列表中內(nèi)在規(guī)律的挖掘與提煉，其中需要實(shí)現(xiàn)兩個(gè)方面的提升。一是觀察表格發(fā)現(xiàn)1只雞和1只兔互換，相差的腳數(shù)是2，進(jìn)而提升到幾只雞和幾只兔互換，相差的腳數(shù)是幾個(gè)2；二是在順向觀察的基礎(chǔ)上，進(jìn)而提升為逆向思考“怎樣才能一步就得到5只雞換作5只兔呢？”并能用算式記錄思考過程，從而形成解決問題的方法。]

三種解決問題的方法是相關(guān)聯(lián)的，皆出于學(xué)生對問題猜想的原生態(tài)思考。本教學(xué)正是著力于三種方法之間的聯(lián)系，將一般以孤立零散的方式進(jìn)行的教學(xué)提升到以整體聯(lián)系的方式進(jìn)行教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生整體聯(lián)系的思考方式，有利于改變學(xué)生為學(xué)方法而學(xué)方法的不良狀態(tài)。