不同教材中“因數與倍數”的例題比較
——以人教版、蘇教版和北師大版教材為例

浙江仙居縣安洲小學（317300） 方 芳

“因數與倍數”是“數與代數”板塊中的內容。《義務教育數學課程標準（2022 年版）》中對“因數與倍數”一課的“內容要求”是認識倍數和因數的含義，“學業要求”是掌握求一個數的倍數的方法、求一個數的因數的方法。雖然各版本教材都按照《義務教育數學課程標準（2022 年版）》中的要求進行編寫，但是具體的教學內容各有特色。

一、三個版本教材例題編排的結構比較

1.編排順序略有不同

人教版教材的“因數與倍數”一課編排在五年級下冊第二單元，蘇教版教材的“因數與倍數”一課編排在五年級下冊第三單元，北師大版教材的“倍數與因數”一課編排在五年級上冊第三單元。

通過比較發現，人教版教材先是從對9 個除法算式進行分類中引出因數和倍數的概念，再找出一個數的所有因數和找出一個數的所有倍數。這樣的編排體現了由具體到抽象，再由抽象到具體的理念，幫助學生掌握概念。

蘇教版教材是先從“每排擺幾個，擺了幾排”的問題中引出因數和倍數的意義，再給出求一個數的因數的方法和求一個數的倍數的方法，幫助學生積累數學活動經驗。

北師大版教材從生活情境中引出乘法算式，幫助學生初步建立倍數和因數的概念，讓學生探索求一個數的倍數的方法。

三個版本教材都是讓學生在乘法或除法算式中認識倍數和因數，理解倍數和因數是一組相互依存的概念。

2.單元編排主線各異

“因數與倍數”屬于數論的內容。人教版教材的單元標題是“因數與倍數”，這個單元包括因數與倍數的概念，找出一個數的因數，找出一個數的倍數，2和5的倍數的特征，認識偶數與奇數，3的倍數的特征，質數和合數的概念，制作100 以內的質數表，解決問題（探索和的奇偶性）。

蘇教版教材的單元標題是“因數與倍數”，這個單元包括因數和倍數的含義，找一個數的因數，找一個數的倍數，2、5和3的倍數的特征，質數和合數的含義，質因數的含義，分解質因數，認識公因數，認識公倍數，求兩個數的最大公倍數，求兩個數的最小公倍數。

北師大版教材的單元標題是“倍數與因數”，這個單元包括倍數與因數的含義，探究2、5 和3 的倍數的特征，找因數，認識質數、合數。

由此可以看到各版本教材的單元編排主要有兩個不同：第一是單元教學內容不同，人教版教材和北師大版教材把公因數和最大公因數、公倍數和最小公倍數的內容移到“分數的意義和性質”單元中，為學習約分和通分等知識服務；第二是知識側重點不同，人教版教材和蘇教版教材的單元標題都是“因數與倍數”，而北師大版教材的單元標題是“倍數與因數”。筆者從前測中發現學生了解有關倍數的知識較多，對因數的知識了解甚少，因此，北師大版教材的單元標題更符合學生的認知。

二、三個版本教材例題的引導語類別比較

例題是指教材中用來幫助學生探究并認識數學知識的題目。例題中的引導語不僅能激發學生的好奇心和探究欲，還能給學生提示，幫助他們找到正確的解題方向。

知識引導是通過卡通人物對話或氣泡圖等方式，告訴學生相關的數學知識。如北師大版教材出示運動會上兩個班同學的隊形后，出示“9×4=36（人）”和“5×7=35（人）”，要求分別計算出兩個班的人數。

方法引導是借助卡通人物對話或氣泡圖等方式，給學生提示。如蘇教版教材在“找出36 的所有因數”這道題目中出示了“想一想，怎樣找可以做到不重復、不遺漏”的提示語。

問題引導是通過提問的方式，引導學生思考問題。如蘇教版教材中“你能在右圖中表示出3 的倍數嗎”。

反思引導是在學生完成某道例題后，通過卡通人物對話或氣泡圖等方式，引導學生反思解題過程。如蘇教版教材中“回顧解決問題的過程，你有什么體會”。

為了清楚地看到三個版本教材中“因數和倍數”一課的引導語，并分析引導語的作用，筆者對三個版本教材中不同課時內容的引導語進行了梳理。

三個版本教材中“認識因數和倍數”內容的引導語類別見表1，“求一個數的因數的方法”內容的引導語類別見表2，“求一個數的倍數的方法”內容的引導語類別見表3。

表1 “認識因數和倍數”例題引導語的類別

表2 “求一個數的因數的方法”例題引導語的類別

表3 “求一個數的倍數的方法”例題引導語的類別

筆者分別統計了不同版本中各種例題引導語的使用頻率（見表4）和不同內容中各種例題引導語的使用頻率（見表5），以便能直觀地看到各種引導語的使用頻率。

表4 不同版本中各種例題引導語的使用頻率

表5 不同內容中各種例題引導語的使用頻率

從不同版本角度看，人教版教材和蘇教版教材中的引導語都涉及知識引導、方法引導、問題引導和反思引導，但北師大版教材中沒有使用反思引導。三個版本教材中使用頻率最高的是問題引導，其次是方法引導和知識引導。從不同內容角度看，“求一個數的因數的方法”課時使用引導語次數最多，其次是“求一個數的倍數的方法”。

三、三個版本教材例題的呈現方式比較

三個版本教材的例題呈現方式各有不同，具體表現在知識的導入和插圖的設計兩個方面。

1.三個版本教材例題導入都采用了“具體—抽象—具體”的思路

人教版教材先讓學生觀察除法算式并分類，概括出“是否有余數”的分類標準，再聚焦沒有余數的除法算式，說一說誰是誰的因數，誰是誰的倍數。學生先經歷從具體到抽象的推理過程，再具體學習求一個數的因數和求一個數的倍數。

蘇教版教材讓學生先用12 個同樣大的正方形拼成一個長方形，根據不同拼法寫出乘法算式，再結合算式說明因數和倍數的含義，感受因數和倍數的內在聯系，最后，找出36 的所有因數，用列舉的方法找出3 的倍數。在這個學習過程中，學生是從具體的算式抽象出因數和倍數的概念，運用概念創設了找因數和找倍數的具體活動。

北師大版教材先讓學生計算兩個班同學的人數，根據乘法算式提煉出倍數和因數的概念，再讓學生運用概念判斷因數和倍數，最后探索找7 的倍數的方法。在這個學習過程中，學生經歷了“具體—抽象—具體”的過程，不僅能掌握數學概念，還能發展推理能力。

2.三個版本教材例題中的插圖設計

三個版本教材的例題插圖都顏色鮮艷，富有童趣，能激發學生的學習興趣。根據插圖功能的不同，筆者將插圖分為裝飾型插圖、表征型插圖、組織型插圖和解釋型插圖。

裝飾型插圖是為了美化素材，提高學生的注意力和審美能力，但對數學學習沒有實質性作用。

表征型插圖能提供數學信息，幫助學生解決數學問題，如數學信息圖和數據圖表等。

組織型插圖能讓學生清楚地看到操作過程，如探究題中的實驗步驟。

解釋型插圖是用來說明解題過程的。

四種插圖的數量在三個版本教材例題中的分布情況見表6。

表6 三個版本教材例題中的插圖數量

三個版本教材中“因數與倍數”一課的插圖數量相差不大，大多采用表征型插圖和解釋型插圖。

綜上所述，三個版本教材在例題編排上大同小異，在例題引導語上各有千秋，教師要多使用表征型插圖和解釋型插圖，用生動活潑的圖片吸引學生的眼球，促進學生在提示中找到解題方向，更好地運用數學知識解決問題。