打破認知，讓學生“下定義”
——特級教師吳正憲“因數與倍數”教學片段賞析

浙江臺州市路橋區路北街道中心小學（318050） 林鼎奇

“因數”的定義是a×b=c，a和b稱為乘數，乘數也稱為因數。“倍數”的定義是已知兩個數a，b（a是整數，b是正整數），要求兩個整數q，r，使q，r滿足以下條件：a=bq+r（0≤r＜b），a稱為被除數，b稱為除數，q稱為不完全商（簡稱商），r稱為余數；當r=0時，稱a被b整除，此時b為a的因數，a為b的倍數。

《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》是由兩排飛機的數量引出乘法算式2×6=12，說明2和6 是12 的因數，12 是2 的倍數，也是6 的倍數，再引出3×4=12，說明3 和4 也是12 的因數，12 是3 和4的倍數，同時還補充說明“在研究因數和倍數的時候，我們所說的數指的是整數（一般不包括0）”。

《義務教育教科書·數學》是通過讓學生觀察一組除法算式并分類，引導學生把除法算式根據商的結果分成整數和非整數這兩類，從而總結出“在整數除法中，如果商是整數且沒有余數，就說被除數是除數和商的倍數，除數和商是被除數的因數”，并以除法算式12÷2=6 為例，說明12 是2 和6 的倍數，2和6是12的因數。

因數和倍數的含義體現了兩者相互依存的關系。學生根據已有經驗認為乘法算式中的乘數叫因數，在除法算式中有誰是誰的幾倍，就認為因數和倍數是單獨存在的。面對這種認知沖突，教師在教學中如何幫助學生重新建立因數和倍數的概念？筆者在特級教師吳正憲的“因數與倍數”課堂中找到了答案。

一、課堂實錄與賞析

1.根據已有經驗，初步感知此非彼

師：同學們，這節課我們要學習“因數與倍數”。在過去的學習中，你們在哪里見過因數和倍數？能舉個例子嗎？

生1：我們學乘法的時候，乘法算式里有因數，比如6×2=12，6 和2 都是因數。在除法算式里有倍數，比如12÷3=4，12是3的4倍。

師：這是你心目中的因數和倍數。我也來舉個例子，比如一本書6元，2本書多少錢？如果一本書2.5 元，2 本書多少錢？在這兩個乘法算式中，因數又是哪個呢？

生2：6×2=12，6 和12 是因數，2.5×2=5，2.5 和2是因數。

師：今天我們對因數和倍數又有什么新的規定呢？這里有12人，我們用12顆磁鐵表示，你能將它們分組嗎？分的過程，我們一起用算式記錄下來。

生3：我把12 人平均分成了4 組，每組有3 人，算式是12÷4=3（人）。我把12 人平均分成了3 組，每組有4 人，算式是12÷3=4（人）。我把12 人平均分成了2 組，每組有6 人，算式是12÷2=6（人）。我把12人平均分成了6組，每組有2人，算式是12÷6=2（人）。我把12 人平均分成了12 組，每組有1 人，算式是12÷12=1（人）。我把12 人分成1 組，每組有12人，算式是12÷1=12（人）。

師：很好，一口氣說出了那么多算式。如果有12 人，每組5 人，可以分成幾組？用你學過的知識表示。

生4：12÷5=2……2，可以分成2組，還多2人。

【賞析】著名教育家蘇霍姆林斯基說過：“每一個學生是一個完全脫俗的、獨一無二的世界。”學生進入數學課堂時不是一張白紙，而是帶著對數學知識獨特的感知。因此，教師不能把學生當作知識的容器，往學生頭腦中灌輸各種知識。吳老師尊重學生的認知規律，她沒有回避學生對因數和倍數的已有認識，而是與學生聊天，充分了解學生的理解水平，一方面是為了幫助學生初步感知今天這節課學習的因數和倍數與以前學過的知識不一樣，另一方面是讓學生寫出更多除法算式，為建立因數和倍數的含義做好準備。

2.打破已有認知，在總結中下定義

師：比如12÷4=3，我們可以說12 是4 的倍數，4是12 的因數，也可以說12 是3 的倍數，3 是12 的因數。比如2×6=12，我們可以說2 是12 的因數，12 是2 的倍數，也可以說6 是12 的因數，12 是6 的倍數。接下來有幾個問題，什么是倍數，什么是因數？因數和倍數之間有怎樣的關系？每個同學先獨立思考，想的時候可以借助算式，然后說一說你的想法。

沖突1：辨析乘除法中都有因數和倍數。

生1：我們小組認為只有在除法中才有因數和倍數，比如25÷5=5，25是5的倍數，5是25的因數。

生2：我不同意，我認為在乘法中也有因數和倍數。比如5×7=35，7 是35 的因數，35 是7 的倍數，5 是35 的因數，35是5的倍數，它們也有因數與倍數。

生3：我覺得這樣是不對的，因為5是因數，7也是因數，它們乘起來就是積。

生4：剛才吳老師舉的例子，比如2×6=12，可以說2 是12 的因數，12 是2 的倍數，也可以說6 是12的因數，12 是6 的倍數。這個算式不就是乘法嗎？為什么你認為要在除法里才有因數和倍數？

師：在過去的經驗中，你認為乘法里有因數，除法里有倍數。今天我們給倍數和因數新的規定，在乘法和除法里都有因數和倍數。

【賞析】吳老師通過呈現哪些算式里有因數和倍數關系，以及怎樣描述因數和倍數等，引導學生在比較中認識因數和倍數的含義。當學生面對因數和倍數的新定義時，他們產生了認知沖突，有的學生還是認為乘法中有因數，除法中有倍數。為了讓學生體會到乘除法中都有因數和倍數，吳老師組織學生進行說理辯論，讓他們在有理有據地爭論中打破舊認知，重建新認識。

沖突2：辨析因數和倍數必須是整數。

生5：我們小組認為，如果除法算式里有余數和小數，就沒有因數和倍數，商必須是整數且沒有余數的才有因數和倍數。

生6：我有不同意見。如果是小數除以一個整數，比如10.5÷5=2.1，我想說明有小數的除法也可以算出倍數。

生7：剛才吳老師說像2.5×2=5 中是沒有因數和倍數的，你的算式里有小數，怎么說它有因數和倍數呢？

師：因數和倍數必須是什么樣的數？

生8：整數。

【賞析】吳老師在舉例時明確告知學生2.5×2=5這樣的算式是沒有因數和倍數的。不過有學生沒有建立因數和倍數的新認知，認為小數除法中是有因數和倍數的。吳老師組織學生展開辯論，最終讓學生深刻體會到因數和倍數必須是整數。

沖突3：辨析因數和倍數結果是整數倍。

生9：我來舉個例子，5÷2=2.5，5 和2 雖然都是整數，但是它們沒有倍數關系。

師：為什么？

生9：比如2×6=12，12 是2 的6 倍。5÷2=2.5，雖然5 和2 是整數，但是2.5 是小數，所以它們沒有倍數關系。

師：不管乘法還是除法里，一個數都要是另一個數的……

生10：整數倍。

師：誰能再來舉幾個例子？

生11：比如2×8=16，8 和16 都是整數，16 是8的2倍，可以說16是8的倍數，8是16的因數。

師：老師也來舉個例子，因為1.2÷0.6=2，所以1.2是0.6的2倍，對嗎？

生12：不對，1.2和0.6不是整數。

【賞析】學生的思考是逐步深入的，他們在不斷打破原有認知，重建因數和倍數的新定義。此時，學生已經從上一環節關注兩個數必須是整數，轉移到關注兩個數的運算結果。一開始，學生認為除法算式的結果不能有余數，隨著吳老師的追問，他們想出了整數倍，即乘法和除法的結果必須是整數，不能是小數。

沖突4：辨析因數和倍數是相互依存的。

師：12是倍數，這樣的說法對嗎？

生13：不對，要說12 是誰的倍數，比如12 是6的倍數，12是4的倍數……

師：因數和倍數是成對出現的。

【賞析】數學概念的學習不僅要通過正向的舉例，讓學生看到成立的因數和倍數的關系，還要通過反向的舉例，讓學生看到不成立的因數和倍數的關系。在這個教學環節中，吳老師巧妙地通過判斷“12 是不是倍數”，讓學生感受到因數和倍數是成對出現的，它們相互依存，不能單獨存在。

3.借助豎線模型，有序找出因數

師：同學們，請找一找36的因數。

（有的學生找了4個，即12、4、3、9；有的學生找了7個，即3、36、1、9、6、4、12；有的學生找到了6、9、12、3、2、18、36、1、4）

師：同學們寫得有點亂。這樣，我借助一條豎線，豎線左邊寫1，右邊36，接下來該怎么寫？

生14：2和18，3和12，4和9，6和6。

師：我們一起找36的倍數，36的1 倍是36，2倍是72……它的倍數越來越大，它的倍數找不全，但是因數的個數能找全。這個例子告訴我們什么？

生15：一個數的因數個數是有限的，它的倍數個數卻是無限的。一個數最小的因數是1，最大的因數是它本身。

師：我們學習數學要學會有序思考。

【賞析】在這個教學環節中，學生嘗試找一個數的因數，剛開始他們都在無序地找，出現了找不全的局面。這時，吳老師借助豎線，不僅帶領學生體會了有序思考的魅力，還讓學生自己發現了因數和倍數的奧秘。

二、對數學概念教學的啟示

皮亞杰的認知發展理論中的觀點是，個體的認知發展是在認知不平衡時通過同化或順應來達到認知平衡，認知不平衡有助于學生構建自己的知識體系。吳老師在教學“因數與倍數”一課中利用當前知識與學生已有認知之間的矛盾，讓學生經歷了“認知沖突—打破已有認知—建立新的認知”的過程，建立了因數和倍數的含義，并運用概念探究找一個數的因數和找一個數的倍數的方法。

其實，許多數學概念的教學都可以像吳老師那樣充分利用課堂中學生的認知沖突。比如，學生在學習“萬以內數的認識”一課時，他們發現數到9999 就不能再數了，這時教師要在認知沖突中引導學生利用十進制創造新的計數單位。又如，在學習“軸對稱圖形”一課時，有的學生在“平行四邊形是否是軸對稱圖形”這一問題上產生了分歧，此時教師要把全班學生分成“贊同派”和“反對派”，讓學生在舉例說理中深刻理解軸對稱圖形的本質，并判斷一個平面圖形是否是軸對稱圖形。又如，在學習“加法交換律”后，有的學生猜想在減法、乘法和除法中是否有交換律，也有的學生聯想到三個加數、四個加數，甚至更多個加數相加是否都能用加法交換律計算，此時，教師就要讓學生在認知沖突中展開驗證活動。

總之，教師在開展教學活動時充分利用教育學和心理學中的原理，結合數學教材和學生學情，才能讓學生在思考和理解中學習數學概念，讓學生把數學想明白、做出來，從而掌握數學思維方法。