巧用例子，讓概念教學(xué)彰顯數(shù)學(xué)本質(zhì)
——以“倒數(shù)的認(rèn)識(shí)”為例

江蘇南京市棲霞區(qū)靖安小學(xué)（210057） 李子豪

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識(shí)的重要組成部分，對(duì)數(shù)學(xué)概念的掌握程度直接影響著后續(xù)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)。近些年概念教學(xué)越來越受到重視，越來越多的研究者開始研究影響概念學(xué)習(xí)的因素。例子在這些因素當(dāng)中占有一個(gè)很重要的地位。從狹義的角度來說，概念教學(xué)中的例子主要是正例和反例；從廣義的角度來說，在教學(xué)中所使用的每一道例題都屬于例子。概念教學(xué)以明確概念的內(nèi)涵和外延作為主要目標(biāo)，這就意味著在概念教學(xué)中需要使用一定數(shù)量的例子。心理學(xué)的研究也表明，學(xué)習(xí)者傾向于把例子作為獲得信息的主要來源。那么，如何在概念教學(xué)中合理地使用例子成為一個(gè)亟須解決的問題。本文以“倒數(shù)的認(rèn)識(shí)”一課為例進(jìn)行探索。

表1呈現(xiàn)了三個(gè)版本教材關(guān)于“倒數(shù)”的編排。

表1 三個(gè)版本教材中的“倒數(shù)”

從表1 可以看出，為了給分?jǐn)?shù)除法做鋪墊，“倒數(shù)”都被編排在分?jǐn)?shù)乘法和分?jǐn)?shù)除法之間，只有北師大版教材把“倒數(shù)”編排在五年級(jí)。從呈現(xiàn)方式的來看，人教版教材和北師大版教材均采用相同的呈現(xiàn)方式，即直接利用乘積是1 的例子來引入，而蘇教版教材雖然沒有這樣做，但是指向性也非常明確。這些引入方式固然有開門見山的好處，但是否在概念引入的環(huán)節(jié)顯得太過“著急”和“直接”了？怎樣使用這些例子才能更好地讓學(xué)生經(jīng)歷概念的發(fā)生和發(fā)展過程？

【教學(xué)片段一】巧用生成的例子引入概念

師（出示一些分?jǐn)?shù)，略）：這里有一些分?jǐn)?shù)，現(xiàn)在，請(qǐng)你們每次從這些分?jǐn)?shù)中選2 個(gè)并算出它們的乘積，我說停的時(shí)候就停，看看誰寫得多。開始！

（學(xué)生開始計(jì)算）

師（出示三位學(xué)生寫的算式，略）：請(qǐng)觀察這些算式，哪些比較特殊？為什么？

師：數(shù)學(xué)家也覺得這樣的算式比較特殊，對(duì)乘積是1 的兩個(gè)數(shù)給出了名稱——乘積是1 的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)。怎樣理解“互為”這兩個(gè)字？能結(jié)合這個(gè)例子來說一說嗎？

師：很好。如果甲、乙兩個(gè)數(shù)滿足“甲×乙=1”，那我們就說甲的倒數(shù)是乙，反過來也可以說乙的倒數(shù)是甲。現(xiàn)在，誰來照樣子說一說和這兩道算式中哪些數(shù)互為倒數(shù)？

教師對(duì)教材的引入方式做了一點(diǎn)改變，沒有直接讓學(xué)生去尋找乘積是1 的兩個(gè)數(shù)，而是讓學(xué)生在一定的時(shí)間里自由計(jì)算，這樣做的目的有兩個(gè)。

其一是讓學(xué)生經(jīng)歷概念的發(fā)生和發(fā)展過程。直接點(diǎn)明乘積是1 固然有直入主題的好處，但是從數(shù)學(xué)史的角度來說，倒數(shù)概念的產(chǎn)生源于分?jǐn)?shù)除法的需要，也就是說，倒數(shù)源于運(yùn)算，是在運(yùn)算過程中產(chǎn)生的。而在有限的時(shí)間里，學(xué)生為了能寫出更多的算式自然會(huì)發(fā)現(xiàn)一些“好算”的算式，這樣不僅能夠復(fù)習(xí)前面所學(xué)的分?jǐn)?shù)乘法，還能夠讓學(xué)生經(jīng)歷倒數(shù)概念產(chǎn)生的原始活動(dòng)，從而對(duì)倒數(shù)概念有初步的認(rèn)識(shí)，同時(shí)，學(xué)生自主生成的這些例子也成為概念教學(xué)的重要資源。

其二是讓學(xué)生經(jīng)歷概念分類的過程。認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為，概念是分類的產(chǎn)物，是分類活動(dòng)在學(xué)習(xí)者頭腦中的表征，學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)概念就是希望通過一定的規(guī)則對(duì)具有明顯特征的事物進(jìn)行分類。在上述教學(xué)片段中，當(dāng)教師詢問學(xué)生“請(qǐng)觀察這些算式，哪些比較特殊”的時(shí)候就是讓學(xué)生經(jīng)歷分類的活動(dòng)，通過這樣的分類活動(dòng)，學(xué)生容易從整體上把握概念，對(duì)概念的內(nèi)涵有一個(gè)初步的認(rèn)識(shí)，有利于提升學(xué)生的概括能力。

【教學(xué)片段二】選用合適的正反例明確概念

“倒數(shù)”概念具有兩個(gè)本質(zhì)屬性——乘積是1和兩個(gè)數(shù)，也存在一個(gè)無關(guān)屬性——數(shù)的類別。而“互為”體現(xiàn)了兩個(gè)數(shù)之間的一種關(guān)系，這種關(guān)系在說法上就需要注意。心理學(xué)研究表明，概念的正例所傳遞的信息最有利于概括，而概念的反例所傳遞的信息最有利于辨別。迄今為止，有大量的理論和實(shí)踐研究表明概念的正反例在概念的建立和辨別階段具有不可替代的作用，正反例在概念教學(xué)中的作用被一致認(rèn)可。那么，如何在概念教學(xué)中選用合適的正反例呢？

筆者認(rèn)為，在概念教學(xué)中所使用的正反例應(yīng)該“互相匹配”，這里“互相匹配”的意思是所選用的正例和反例應(yīng)該僅僅在概念的某一個(gè)本質(zhì)屬性上發(fā)生變化，而在其他的本質(zhì)屬性和無關(guān)屬性上保持一致。變易理論認(rèn)為，如果人們要識(shí)別出事物的某個(gè)屬性，那么這個(gè)事物就必須在保持其他屬性不變的前提下讓那個(gè)屬性在某個(gè)維度上發(fā)生變異，這樣那個(gè)屬性才能被識(shí)別出來。比如，第1 題的三個(gè)選項(xiàng)在數(shù)的類別、運(yùn)算結(jié)果和參與運(yùn)算的數(shù)的數(shù)量上保持一致，僅僅在運(yùn)算的類別上發(fā)生了變化，通過這道選擇題，學(xué)生馬上就能識(shí)別出倒數(shù)概念的一個(gè)本質(zhì)屬性，即乘積是1。第2 題的三個(gè)選項(xiàng)在運(yùn)算類別、運(yùn)算結(jié)果和數(shù)的類別上均保持一致，僅僅是參與運(yùn)算的數(shù)的數(shù)量不一樣，這道選擇題再一次讓學(xué)生識(shí)別出倒數(shù)概念的另一個(gè)本質(zhì)屬性，即倒數(shù)是兩個(gè)數(shù)之間的關(guān)系。這三道選擇題起到了明確概念的內(nèi)涵和及時(shí)評(píng)價(jià)的作用。

【教學(xué)片段三】利用有梯度的例子深化概念

師：你是怎么找到它們的倒數(shù)的？

生1：交換它們分子和分母的位置。

師：大家同意生1的說法嗎？

生（齊）：同意。

生2：我是把它作為一種檢驗(yàn)的手段，看看它們倆的乘積是不是1。

師：一個(gè)真分?jǐn)?shù)或者假分?jǐn)?shù)，交換它的分子和分母的位置，再跟原來的數(shù)相乘，結(jié)果怎樣？

生（齊）：肯定是1。

師：真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)的倒數(shù)可以怎么找？

生3：直接交換分子和分母的位置。

師：有沒有疑問或補(bǔ)充的？

生5：帶分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)部分不能是假分?jǐn)?shù)，得是真分?jǐn)?shù)。

師：還有嗎？

師：那正確的答案是什么？

這個(gè)階段不僅是讓學(xué)生掌握找倒數(shù)的技能，也是在幫助學(xué)生厘清概念的外延、深化對(duì)概念的理解。教師首先讓學(xué)生嘗試找真分?jǐn)?shù)或假分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，在解決這個(gè)問題之后才讓學(xué)生嘗試找整數(shù)、帶分?jǐn)?shù)和小數(shù)的倒數(shù)。從知識(shí)的難度上，體現(xiàn)了由易到難的順序；從例子的呈現(xiàn)方式上，先呈現(xiàn)概念最中心的正例，即原型，再逐漸由里往外，出示一些變式后的例子。真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)是倒數(shù)概念的原型，概念的原型具有該概念最多、最典型的特征，能讓學(xué)生在短時(shí)間內(nèi)最大限度地表征概念，所以先呈現(xiàn)真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)能讓學(xué)生對(duì)于“找倒數(shù)”迅速地形成一定的認(rèn)識(shí)。但是原型攜帶的概念特征會(huì)誤導(dǎo)學(xué)生，這在找?guī)Х謹(jǐn)?shù)的倒數(shù)中就體現(xiàn)了出來，有學(xué)生受負(fù)遷移影響，直接把帶分?jǐn)?shù)的分子和分母交換了位置，這就需要及時(shí)糾正。

在概念教學(xué)中用例子幫助學(xué)生形成觀念時(shí)，要緊緊圍繞概念的定義。上述教學(xué)片段中，無論是真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)，還是帶分?jǐn)?shù)，學(xué)生檢驗(yàn)自己找的倒數(shù)對(duì)不對(duì)都是用概念的定義去驗(yàn)證，這與教學(xué)目標(biāo)是相符的：我們希望學(xué)生在判斷一個(gè)刺激物是否屬于該概念時(shí)使用的是概念的定義，而不是拿它與概念的原型做對(duì)比后觀察相似程度，因?yàn)楹笳咄鶗?huì)得到錯(cuò)誤的答案。

在概念教學(xué)中還要明確所使用的每一個(gè)例子的目的，如上述的真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)，使用它們的目的不僅是讓學(xué)生學(xué)會(huì)找倒數(shù)的方法，還需要通過對(duì)比讓學(xué)生掌握相應(yīng)的寫法。

【教學(xué)片段四】搭配綜合性的例子應(yīng)用概念

師：請(qǐng)同學(xué)們?cè)谧鲞@四組題的時(shí)候一邊找倒數(shù)一邊思考有沒有什么規(guī)律。

生1：第（1）組，真分?jǐn)?shù)的倒數(shù)是假分?jǐn)?shù)；第（2）組，假分?jǐn)?shù)的倒數(shù)是真分?jǐn)?shù)；第（3）組，幾分之一的倒數(shù)是幾；第（4）組，幾的倒數(shù)是幾分之一。

師：你們同意嗎？

生（齊）：同意！

師：他說“假分?jǐn)?shù)的倒數(shù)是真分?jǐn)?shù)”，大家同意嗎？

生2：我不同意。

師：為什么？

師：其實(shí)，關(guān)于倒數(shù)的規(guī)律不止于此，比如在同號(hào)情況下，一個(gè)數(shù)越大，它的倒數(shù)越小；一個(gè)數(shù)越小，它的倒數(shù)越大。

萊什和蘭多認(rèn)為：評(píng)價(jià)學(xué)生對(duì)于概念的理解，要從四個(gè)方面著手，即感知、表征、聯(lián)結(jié)和應(yīng)用。也就是說，教師選用的例子不僅要包含多個(gè)有聯(lián)系的知識(shí)點(diǎn)，還要有一定的推理層次，能綜合考查學(xué)生對(duì)于相應(yīng)概念的理解。

總之，教師在概念教學(xué)的過程中不能濫用例子，在概念引入、概念明確、概念深化和概念運(yùn)用的環(huán)節(jié)都要積極地使用例子，但要遵循一定的原則和邏輯，只有會(huì)用例子、善用例子，數(shù)學(xué)課堂才會(huì)因“例”而精彩！