三種“有初速度的雙棒”問題的歸類例析

2023-08-10 01:36:22劉萬強肖夢軍

教學(xué)考試(高考物理) 2023年3期

劉萬強肖夢軍

(湖北省松滋市第一中學(xué))

有初速度的兩導(dǎo)體棒在電磁感應(yīng)問題中,因安培力隨電流的變化而變化,運動情況較復(fù)雜,涉及電路、動力學(xué)、動量和能量多維度的知識綜合分析,能力要求高,試題的區(qū)分度好,成為命題者青睞的選題素材。本文把“有初速度的雙棒”問題分成三種情況,分別以電路、動力學(xué)、動量和能量四個角度進行歸類例析如下。

一、寬度恒定的導(dǎo)軌,一棒有初速度、一棒沒有初速度

【問題情境】如圖1所示,光滑平行金屬導(dǎo)軌,兩根完全相同的金屬棒ab、cd(質(zhì)量m、電阻R、長度l)導(dǎo)軌電阻不計。整個裝置處在豎直向下的強度為B的勻強磁場中,t=0時給ab一個向右的速度v0,試分析兩桿的運動、動量和能量變化過程(假設(shè)導(dǎo)軌足夠長,兩桿始終不相撞)。

圖1

圖2

【典例1】兩根足夠長的固定的平行金屬導(dǎo)軌位于同一水平面內(nèi),兩導(dǎo)軌間的距離為L。導(dǎo)軌上放置兩根導(dǎo)體棒a和b,俯視圖如圖3所示。兩根導(dǎo)體棒的質(zhì)量均為m,電阻均為R,回路中其余部分的電阻不計,在整個導(dǎo)軌平面內(nèi),有磁感應(yīng)強度大小為B的豎直向上的勻強磁場。導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌始終垂直接觸良好且均可沿導(dǎo)軌無摩擦地滑行,開始時,兩棒均靜止,間距為x0,現(xiàn)給導(dǎo)體棒a一水平向右的初速度v0,并開始計時,可得到如圖4所示的Δv-t圖像(Δv表示兩棒的相對速度,即Δv=va-vb。

圖3

圖4

(1)試證明：在0～t2時間內(nèi),回路產(chǎn)生的焦耳熱Q與磁感應(yīng)強度B無關(guān)。

(2)求t1時刻棒b的加速度大小。

(3)求t2時刻兩棒之間的距離。

【解析】(1)t2時刻開始,兩棒速度相等,由動量守恒定律有2mv=mv0

所以在0～t2時間內(nèi),回路產(chǎn)生的焦耳熱Q與磁感應(yīng)強度B無關(guān)。

此時棒b所受的安培力F=BIL

由牛頓第二定律得棒b的加速度大小

0～t2時間內(nèi),對棒b,由動量守恒有

而ΔΦ=BΔS=BL(x-x0)

二、寬度恒定的導(dǎo)軌,兩棒有相反初速度

【問題情境】如圖5所示,光滑平行金屬導(dǎo)軌,兩根完全相同的金屬棒ab、cd(質(zhì)量m、電阻R、長度l)導(dǎo)軌電阻不計。整個裝置處在豎直向下的強度為B的勻強磁場中,t=0時分別給ab、cd一個向右、向左的速度v1和v2,且v1>v2,試分析兩桿的運動、動量和能量變化過程(假設(shè)導(dǎo)軌足夠長,兩桿始終不相撞)。

圖5

圖6

圖7

【典例2】如圖所示,在水平面上有兩條足夠長的平行導(dǎo)電導(dǎo)軌MN、PQ,導(dǎo)軌間距離L=1.0 m,勻強磁場垂直于導(dǎo)軌所在的平面(紙面)向里,磁感應(yīng)強度的大小為B=1.0 T,兩根導(dǎo)體棒a、b放置在導(dǎo)軌上,并與導(dǎo)軌垂直,它們的質(zhì)量均為m=1 kg,電阻均為R=0.5 Ω,兩導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌接觸良好,與導(dǎo)軌間的動摩擦因數(shù)均為μ=0.2。t=0時,分別給兩導(dǎo)體棒平行導(dǎo)軌向左和向右的速度,已知導(dǎo)體棒a的速度v1=2 m/s,導(dǎo)體棒b的速度v2=4 m/s,重力加速度g=10 m/s2,導(dǎo)軌電阻可忽略,最大靜摩擦力略大于滑動摩擦力。

(1)求t=0時刻,導(dǎo)體棒a的加速度;

(2)求當(dāng)導(dǎo)體棒a向左運動的速度為零時,導(dǎo)體棒b的速率;

(3)已知導(dǎo)體棒a向左運動的速度為零后,b向右運動s=0.35 m速度變?yōu)榱?求該過程經(jīng)歷的時間t和導(dǎo)體棒b產(chǎn)生的焦耳熱。

【答案】(1)8 m/s2,方向水平向右 (2)2 m/s

(3)0.825 s,0.65 J

【解析】(1)t=0時刻,兩導(dǎo)體棒和導(dǎo)軌構(gòu)成回路,回路中的總電動勢為

E=BL(v1+v2)=6 V

根據(jù)閉合電路歐姆定律可知回路中的電流為

對導(dǎo)體棒a,根據(jù)牛頓第二定律可得

BIL+μmg=ma

解得a=8 m/s2

t=0時刻,導(dǎo)體棒a的加速度大小為8 m/s2,方向水平向右。

(2)在導(dǎo)體棒a、b運動時,兩導(dǎo)體棒受到的摩擦力大小相等,方向相反,根據(jù)左手定則可知兩導(dǎo)體棒受到的安培力也等大反向,兩導(dǎo)體棒組成的系統(tǒng)合力為零,滿足動量守恒,以向右為正方向,當(dāng)導(dǎo)體棒a向左運動的速度為零時,根據(jù)動量守恒可得mv2-mv1=mv3

解得導(dǎo)體棒b的速率為v3=2 m/s

(3)導(dǎo)體棒b的速率為v3=2 m/s時,回路的感應(yīng)電動勢為E′=BLv3=2 V

導(dǎo)體棒a受到的安培力為

由題意最大靜摩擦力略大于滑動摩擦力,則有

fmax>μmg=2 N

可知導(dǎo)體棒a的速度為零后,不再運動,從導(dǎo)體棒a的速度為零至導(dǎo)體棒b的速度為零的過程,導(dǎo)體棒b受到的安培力沖量為

對導(dǎo)體棒b根據(jù)動量定理可得

解得t=0.825 s

解得Q=0.65 J

三、寬度不同的導(dǎo)軌,一棒有初速度、一棒沒有初速度

【問題情境】如圖8所示,光滑平行金屬導(dǎo)軌,左端導(dǎo)軌寬度為l,右端導(dǎo)軌寬度是左端寬度的一半,兩根完全相同的金屬棒ab、cd(質(zhì)量m、電阻R、長度l)導(dǎo)軌電阻不計。整個裝置處在豎直向下的強度為B的勻強磁場中,t=0時給ab一個向右的速度v0,試分析兩桿的運動、動量和能量變化過程(假設(shè)導(dǎo)軌足夠長,兩桿始終不相撞,且始終在導(dǎo)軌上)。