“關聯氣體”問題解題“三步曲”

王棟然

(寧夏回族自治區銀川市第九中學)

多個理想氣體相互聯系所構成的系統稱為“關聯氣體”系統,關聯氣體在高考熱學大題中有著較高的考查頻率。對于關聯氣體問題的解決,有著相對固定的三個思維步驟：

①分別對各部分理想氣體列出理想氣體狀態方程;

②列出壓強關聯方程;

③列出幾何關聯方程。

下面通過幾道高考真題來例析在關聯氣體問題中如何利用這“三步曲”有效解題。

一、“活塞類”關聯氣體問題

(一)單一活塞類關聯氣體問題

圖1

【試題分析】本題通過活塞將上下兩部分定質量氣體關聯起來形成“關聯氣體”。設活塞再次平衡后,活塞上方氣體的體積為V1,壓強為p1;下方氣體的體積為V2,壓強為p2。如圖2所示。

圖2

第一步曲——分別對各部分理想氣體列出理想氣體狀態方程

根據題中條件“導熱材料”“外界溫度保持不變”可知上下兩部分氣體都發生等溫變化,根據玻意耳定律

①

②

第二步曲——列出壓強關聯方程

設活塞上方液體的質量為m,活塞受力平衡

p2S=p1S+mg

③

第三步曲——列出幾何關聯方程

因為汽缸總容積保持不變,根據幾何關系可得

④

⑤

(二)雙活塞類關聯氣體問題

圖3

將環境溫度緩慢改變至2T0,然后用氣泵從開口C向汽缸內緩慢注入氣體,求A汽缸中的活塞到達汽缸底部后,B汽缸內第Ⅳ部分氣體的壓強。

【試題分析】兩個活塞將氣體分為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四部分,其中Ⅱ、Ⅲ氣體作為定質量整體與定質量的Ⅳ氣體構成“關聯氣體”。設當A中的活塞到達汽缸底部時Ⅱ、Ⅲ中氣體的壓強為p1,此時Ⅳ內的氣體壓強為p2。設此時Ⅱ、Ⅲ中氣體體積為V1,Ⅳ中體積為V2。

第一步曲——分別對各部分理想氣體列出理想氣體狀態方程

根據“缸壁導熱”以及環境溫度變化為2T0可知,缸內氣體體積、壓強、溫度均變化。根據理想氣體狀態方程

①

②

第二步曲——列出壓強關聯方程

右邊輕質活塞受力平衡p1S=p2S

③

第三步曲——列出幾何關聯方程

Ⅱ、Ⅲ中氣體最終全部壓入右缸,根據體積關系V1+V2=V0

④

(三)連桿活塞類關聯氣體問題

圖4

(ⅰ)此時上、下部分氣體的壓強;

(ⅱ)“H”形連桿活塞的質量(重力加速度大小為g)。

圖5

第一步曲——分別對各部分理想氣體列出理想氣體狀態方程

題中說明“整個過程溫度保持不變”,所以兩部分氣體均發生等溫變化,根據玻意耳定律

①

②

第二步曲——列出壓強關聯方程

對豎直放置的“H”形活塞進行受力分析,列出平衡方程

p1S=mg+p2S

③

第三步曲——列出幾何關聯方程

由于“H”形活塞內的氣體總體積不變,所以根據幾何關系可得

④

二、“液柱類”關聯氣體問題

【例4】[2018·全國Ⅲ卷·33(2)]如圖6,在兩端封閉、粗細均勻的U形細玻璃管內有一股水銀柱,水銀柱的兩端各封閉有一段空氣。當U形管兩端豎直朝上時,左、右兩邊空氣柱的長度分別為l1=18.0 cm和l2=12.0 cm,左邊氣體的壓強為12.0 cmHg。現將U形管緩慢平放在水平桌面上,沒有氣體從管的一邊通過水銀逸入另一邊,求U形管平放時兩邊空氣柱的長度。在整個過程中,氣體溫度不變。

圖6

【試題分析】左右兩段定質量氣體,通過汞柱構成“關聯氣體”。設U形管兩端豎直朝上時,左、右兩邊氣體的壓強分別為p1和p2。U形管水平放置時,兩邊氣體壓強為p1′ 和p2′ ,此時原左、右兩邊氣體長度分別變為l1′ 和l2′ 。如圖7所示。

圖7

第一步曲——分別對各部分理想氣體列出理想氣體狀態方程

由題中條件“在整個過程中,氣體溫度不變”可知管中氣體發生等溫變化,根據玻意耳定律

對左邊氣體p1l1=p1′l1′

①

對右邊氣體p2l2=p2′l2′

②

第二步曲——列出壓強關聯方程

開始時,根據力的平衡條件

p1=p2+ρg(l1-l2)

③

U形管水平放置時,兩邊氣體壓強相等

p1′ =p2′

④

第三步曲——列出幾何關聯方程

由于管長不變,水銀柱長度也不變,所以兩段氣體的總長度(體積)不變,由幾何關系得

l1′ -l1=l2-l2′

⑤

聯立①②③④⑤式得l1′ =22.5 cm,l2′ =7.5 cm

三、解題策略總結

關聯氣體問題因其研究對象多且相互聯系,一直都是學生學習的難點,本文提出的解題“三步曲”可以有效地幫助學生形成嚴謹有條理的解題思路。通過以上幾道高考真題,不難發現,在應用解決關聯氣體問題的“三步曲”時應當注意以下幾個方面：

第一步曲,對各部分理想氣體分別列出理想氣體狀態方程時要先準確判斷出氣體發生怎樣的變化,這樣才能選擇正確的氣體實驗定律來列出方程。例如“導熱缸壁”或“玻璃管”+“環境溫度不變”,就說明氣體發生等溫變化,應該選擇玻意耳定律。在列方程的時候,要大膽設出壓強、體積、長度等未知參量,這些參量在第二、三步曲的方程中都可以被使用。

第二步曲,列出壓強關聯方程實際上就是平衡方程。對活塞類問題來說,應當把活塞作為研究對象,根據力的平衡條件,判斷出活塞兩側的關聯氣體的壓強關系,計算時要注意活塞的質量是否考慮。對液柱類問題來說,應當把汞柱作為研究對象,根據力的平衡條件,判斷出與汞柱兩液面接觸的關聯氣體的壓強關系,解題時用cmHg作為單位可以簡化運算。