巧用多邊形定則快速解決高考疑難問題

鐘用庭

(海南省文昌中學)

高中物理的力學問題,是高考的一大熱點和難點。關于力學問題的解法,一般常用平行四邊形定則,而力的多邊形定則卻很少被用到。然而實際上多邊形定則和上述方法相比,其優勢在于更加簡潔、高效、直觀,也容易被學生快速掌握與應用,尤其適用于某些疑難選擇題的快速解答,省去了繁雜的計算分析過程。現將此類高效解法舉例介紹如下。

平行四邊形定則

根據平行四邊形定則,合力和兩個分力必然構成一個封閉的矢量三角形,如圖1所示。

圖1

多邊形定則

由三角形定則可以推廣到多個力的合成情況：由共點O順次首尾相連作出各力的圖示,然后由共點O向最后一個力的末端所引的圖示即為要求的合力,如圖2,3所示。

圖2

圖3

下面將舉例說明多邊形定則法的優越性：

一、多邊形定則的優越性之一——簡潔直觀

【例1】如圖4,水平地面上有一楔形物體b,b的斜面上有一小物塊a;a與b之間、b與地面之間均存在摩擦。已知楔形物體b靜止時,a靜止在b的斜面上。現給a和b一個共同的向左的初速度,與a和b都靜止時相比,此時可能 ( )

圖4

A.a與b之間的壓力減少,且a相對b向下滑動

B.a與b之間的壓力增大,且a相對b向上滑動

C.a與b之間的壓力增大,且a相對b靜止不動

D.b與地面之間的壓力不變,且a相對b向上滑動

【常規解法】a和b有一個共同的向左的初速度,且b與地面之間有摩擦,所以a和b所受的合外力水平向右,a所受的合外力同樣水平向右。若a、b相對靜止,當a受到的摩擦力方向沿斜面向上時,對a進行受力分析,如圖5。

圖5

a和b原來靜止,a受重力、支持力、摩擦力三力平衡,根據平衡條件可知,豎直方向FNcosα+fsinα=G。當a和b相對靜止,并且共同向左做減速運動,合外力為F,摩擦力f等于0時,如圖6所示。此時豎直方向合外力為零;FN′ cosα=G,解得FN′ >FN,故a與b之間的壓力增大,故A錯誤;當a受到的摩擦力方向沿斜面向下時,此時有兩種情況：第一種情況,假設物塊a、b恰好仍相對靜止,f達到最大靜摩擦力時,對a進行受力分析,如圖7,豎直方向加速度為零,豎直方向G+fsinα=FN′ cosα,由牛頓第二定律得,水平方向有FN′ sinα+fcosα=F,F=ma,解得FN′ >FN。故a與b之間的壓力增大,此時物體a、b相對靜止,故C正確;第二種情況,當加速度a繼續增大時,此時物塊a相對于b就會發生向上滑動,故B正確;對整體研究,在豎直方向上,若兩物體相對靜止,豎直方向上沒有加速度,則b與地面之間的壓力等于兩物體的重力之和,保持不變;若物塊a相對向上滑動,則a具有豎直向上的分加速度,即對整體的牛頓第二定律可知,系統處于超重狀態,b與地面之間的壓力將大于兩物體重力之和,故D錯誤,故選BC。

圖6

圖7

【多邊形定則解法】如圖8所示,可以設F合1=ma1,F合2=ma2,F合3=ma3。隨著加速度a的增大,物塊a和b之間的作用力F不斷增大,A錯誤;當a、b間的作用力由F0增大到F1時,摩擦力為0;再增大到F2時,摩擦力反向達到最大靜摩擦力。當加速度a>a2時,比如a=a3,物塊a沿著b的斜面向上滑動(只要物塊a的加速度不在水平方向上就會發生相對滑動),所以BC正確;當物塊a相對b向上滑動時,F3和fmax的合力的豎直分量F3y>mg,根據牛頓第三定律,b與地面之間的壓力會增大,所以D錯誤。

圖8

【答案】BC

【點評】本題得分率很低,因為常規解法繁瑣冗長,在短時間內極易出錯或無從下手,并且很多雜志書刊很少采用此題,即使沿用此題,給出的解法也不十分完美,甚至是錯誤的。由此可見,在本題中多邊形定則法簡潔明了地得出了a、b之間的壓力變化規律和a物體的運動狀態關系,給解答此類問題提供了較為清晰、準確的解題思路。

二、多邊形定則優點之二——發現瑕疵

【例2】如圖9,水平地面上有一楔形物塊a,其斜面上有一小物塊b,b與平行于斜面的細繩的一端相連,細繩的另一端固定在斜面上。a與b之間光滑,a和b以共同速度在地面軌道的光滑段向左運動。當它們剛運行至軌道的粗糙段時 ( )

A.繩的張力減小,b對a的正壓力減小

B.繩的張力增加,斜面對b的支持力增加

C.繩的張力減小,地面對a的支持力增加

D.繩的張力增加,地面對a的支持力減小

【常規解法】在光滑段運動時,物塊a及物塊b均處于平衡狀態,對a、b整體受力分析,受重力和支持力,二力平衡。對b受力分析。如圖10所示,受重力mg、斜面的支持力FN、繩子的拉力F,根據共點力平衡條件,有

圖10

Fcosθ-FNsinθ=0

①

Fsinθ+FNcosθ-mg=0

②

由①②兩式解得F=mgsinθ,FN=mgcosθ,當它們剛運行至軌道的粗糙段時,減速滑行,系統有水平向右的加速度,此時有兩種可能;

當物塊a、b仍相對靜止,豎直方向加速度為零,由牛頓第二定律得到

Fsinθ+FNcosθ-mg=0

③

FNsinθ-Fcosθ=ma

④

由③④兩式解得F=mgsinθ-macosθ,FN=mgcosθ+masinθ,即繩的張力F將減小,而a對b的支持力變大;再對a、b整體受力分析豎直方向重力和支持力平衡,水平方向只受摩擦力,故地面對a支持力不變;若物塊b相對于a向上加速滑動,繩的張力顯然減小為零,物塊b具有向上的分加速度,是超重,因此a對b的支持力增大,斜面體和滑塊整體具有向上的加速度,也是超重,故地面對a的支持力也增大。綜合上述討論,結論為繩子拉力一定減小;地面對a的支持力可能增加;a對b的支持力一定增加,故ABD錯誤,故選C。

【多邊形定則解法】如圖11所示,當a、b物體向左減速運動時,加速度越大,a、b之間的作用力F越大,繩子拉力越小,直到繩子的拉力為0;加速度再增大,b物體相對a沿著斜面向上滑動,比如在作用力F3,合力為ma3時,b物體相對a向上滑動,當加速度由a1變為a2、a3時,繩子拉力一定減少,a對b的支持力一定增大,即ABD選項均是錯誤的。只有當b相對a向上滑動時,a與b之間的彈力的豎直分力才大于mg,比如F3的豎直分力大于mg,所以C選項只有在滿足b物塊相對于a沿著斜面向上滑動這個條件下才正確。

圖11

【答案】C

【點評】此類問題具有較大的區分度,全國各地高考往往每隔幾年就會出現這種題型。很多學生用常規解法經常出錯,而多邊形定則較好地解決了這一問題。只要掌握了多邊形定則方法,可以大大提高學生的正確率。另外從這個多邊形定則作圖法當中,只有加速度大于a2,物體b才沿著斜面上滑,才有地面對a的支持力這一情況出現,因此從圖中也能比較容易發現本題C選項的瑕疵。

三、多邊形定則優越性之三——解答綜合性難題

【例3】水平地面上放有三角形物塊A,物塊A的斜面光滑,用輕彈簧和擋板C將物塊B連接在斜面上,如圖12所示,A、B一起向右做加速運動。某時刻發現連接C、B的輕彈簧長度變短,則下列判斷正確的是 ( )

圖12

A.物塊A的加速度一定變大

B.輕彈簧對B一定存在沿斜面向上的彈力

C.物塊B對斜面的壓力一定變小

D.物塊B對斜面的壓力可能變大

【常規解法】系統的加速度向右,則合力向右。輕彈簧長度變短,則物體B受到向右的合力變小,故加速度變小,故A錯誤;若經彈簧原來和變短后仍處于伸長狀態,則彈簧的彈力沿斜面向下,故B錯誤;物塊B受重力mg、斜面支持力FN,和彈簧的彈力F,垂直斜面方向,FN-mgcosθ=masinθ(θ為斜面角),加速度變小,則FN變小,故C正確,D錯誤。故選C。

【多邊形定則解法】如圖13所示,當彈簧處于壓縮狀態,彈力為FT1,加速度為a1,合力為ma1;彈簧越短,FT1越大,F1越小,合力ma1越小(如圖13所示,F1′ 、FT1′ 、ma1′ ),所以A選項錯誤;當加速度為a2的時候,彈簧的彈力FT2=0,所以B選項錯誤;當彈力為FT3時,彈簧處于伸長狀態,彈簧越短,FT3越小,F3越小,合力ma3越小(如圖13所示,F3′ 、FT3′ 、ma3′ ),所以根據彈簧處于壓縮和伸長這兩種情況,C選項正確,D選項錯誤。

圖13

【答案】C

【點評】在日常考試中,有關彈簧的題目與斜面結合難度很大,學生往往一頭霧水。而多邊形定則法能夠幫助學生清晰地認識到彈簧什么時候伸長,什么時候縮短,對彈簧的狀態有個直觀的認識。通過運用多邊形定則法可以簡單明了的解決這類綜合性難題,更易讓學生理解物理定則的本質。

四、結束語