基于試題鏈的構建提升學生的分析能力
——以“圓周運動臨界問題”為例

張建軍

(中山市第一中學)

1 背景介紹

高考復習沖刺是學生對所學知識和思維能力內化的過程,是核心能力整合升華的過程。然而在升學壓力和時間緊迫的雙重壓力下,備考沖刺慢慢變成了頻繁考試和大量習題訓練為過程的模式,把學生引向多做題,就能考出好成績的誤區,進而一步步擠兌學生的學習精力,學生身心疲憊,疲于應付。高三復習沖刺階段,時間緊是現實的問題,這個階段教師的功能就更加的凸顯,教師要自己走向題海,多做題、多悟題,在題海中篩選出優秀題目,通過再創新,再情境化,形成有效的題型鏈條,把思維引導,能力訓練融入其中,讓學生少做題,做精題,有思考,從而提升學生的學習能力,提高沖刺效率。

2 構建試題鏈的策略

沖刺階段試題鏈的構建要著眼于核心知識,緊扣課程標準,兼顧一二輪復習中的盲點,做到精準、精細,把相關考點關聯在一起,形成有效的思維鏈條,從而提升學生分析問題、解決問題的能力。試題鏈的構建前提是依據核心考點篩選出極具代表性的原始題,這需要教師精心去篩選,原始題一般要滿足以下幾個特征：其一,必須是學生非常熟悉的情境,摒棄難、偏、怪的問題,體現基礎性;其二,必須緊扣新課程標準,是高考的核心考點;其三,必須具有代表性、拓展性,能演繹出多維的綜合性問題。原始題選定后,不斷地發掘其中的關聯知識,對其再拓展、再情境化,演繹出系列試題,達到事半功倍的效果。試題鏈的構建主要方法有三種,拓展原始題的設問,拓展原始題的情境條件,以及關聯知識的遷移。三種方式難度由淺入深,層層遞進,有章有序地引導學生產生思考。這里筆者以“圓周運動臨界問題”為例,在教學實踐的基礎上,從上述角度構建試題鏈。

2.1 拓展原始題的設問

【原題再現】豎直平面內有一長度為R的輕繩,輕繩一端固定于O點,另一端系一質量為m,可視為質點的小球,開始時靜止于A點如圖1所示,現給小球一個沿著水平方向的初速度v0,使小球在豎直面內做完整的圓周運動,重力加速度為g,則v0需要滿足的條件。

圖1 小球豎直面內圓周運動

【解析】若小球恰好能通過最高點B點做完整的圓周運動,速度為vB0,則

①

②

從A運動到B的過程中由動能定理可得

③

④

原始題的核心考點有兩個,一是圓周運動最高點的臨界條件,二是動能定理或機械能守恒定律的使用,是學生非常熟悉的基礎題型。這里可以在不改變題設的情況下,繼續發掘。

【拓展題1】在原題基礎上增加設問：(2)小球能做完整的圓周運動,A點和B點繩子的拉力和速度有關嗎?拉力大小的差值和速度有關嗎?請說明理由;(3)若小球能做完整的圓周運動,試猜想在哪兩個位置取到拉力差的最大值,并證明你的猜測。

增加設問(2)的解析：若在最低點A速度為vA,在最高點B速度為vB,在A、B兩點列出牛頓第二定律方程有

⑤

⑥

由⑤⑥可知,在A點和B點繩子拉力的大小和速度大小有關。

其中FTA和FTB分別表示在A、B兩點繩子中的拉力,由⑤式和⑥式可解得

⑦

再結合由A到B的動能定理可得

⑧

增加設問(3)的解析：學生給出猜測,在最低點和最高點是拉力差取得最大值的臨界位置

【證明過程】在小球運動到任意位置C時,與OA方向夾角為θ,運動到任意位置D時,與OA方向夾角為β,如圖2所示,在C點和D點的速度分別為vC和vD。

圖2 小球運動到C點和D點

從A點運動到C點,由動能定理可知

⑨

在C點受力分析,如圖3,根據牛頓第二定律列出向心力方程,可得

圖3 小球在C點受力分析

⑩

由⑨和⑩可解得

【拓展意圖】原始題的思維過程主要集中在最高點的臨界思維,以及功能轉換思維,經過對原始題的改編,拓寬了學生的思考過程,學生根據以往的知識很清楚拉力和速度有關,但是拉力的差值是否和速度有關,大部分學生存在疑問,對拉力差取最大值的臨界位置如何證明也存在疑問,這也是一二輪復習中存在的盲點。新設問題的分析過程,也正是兼顧到一二輪復習的盲點,考查學生圓周運動的分析能力。本道題的設問(3)具有一定的開放性,學生可能有不同的判斷和猜測,學生基于自己的判斷需提供證據,給出合理的論證,論證過程就是一個質疑和批判思維整合的過程,這也是《課程標準》中科學思維水平4的明確要求。

2.2 拓展原始題的情境條件

圖4 小球在B點離開圓周

(1)小球在離A點多高的位置脫離圓軌跡;

(2)小球運動過程中離A點的最大高度。

【解析】(1)假設小球恰好在B點脫離圓軌跡,OB和水平方向成θ角,速度為vB,則繩子拉力恰好為零,對小球受力分析如圖5所示,由此可知

圖5 在B點對小球受力分析

①

②

從A到B由動能定理可知

③

④

(2)小球在B點離開圓軌跡后,做斜上拋運動,B點豎直分速度為vy,如圖6所示

圖6 在B點速度分解

vy=vB·cosθ

⑤

從B點離開圓軌跡,上升到離B點的最大高度為h1

⑥

綜上所述,整個過程中離A點的最大高度為H

⑦

【拓展意圖】學生在一二輪復習中已經掌握小球能通過最高點的臨界條件,但是對不能通過最高點的情況卻疏于研究,常常認為小球速度減到零是脫離圓軌跡的臨界條件,也是小球運動到最高點的臨界條件,沒有真正理解小球脫離圓軌跡的臨界條件是繩子拉力恰好為零,到達最高點的臨界條件是斜拋運動的最高點。本道題的設計充分地考慮到高考對核心知識考察的綜合性要求,體現知識、能力、素養的考查。本道題有兩個設問,每個設問如果單獨拿給學生去練習,得到的解答過程幾乎是一樣的,學生認為脫離圓軌跡的地方就是最高點。改編題設計兩個設問,就是要學生在解題的過程中形成思維的碰撞,從而辯證地去分析自己解題過程的思維盲點,思考兩個設問中隱含的內在信息,達到自我思維糾錯,內化知識,提升能力的目的。

【拓展題3】豎直平面內有一長度為R的輕繩,輕繩一端固定于O點,另一端系一質量為m,可視為質點的小球,A點是小球靜止時的位置,現將小球拉到與水平方向成θ的B點,由靜止釋放,如圖7所示,重力加速度為g,求小球運動到A點時繩子對小球的拉力。

圖7 小球在B點靜止釋放情景

【解析】小球從B點由靜止釋放,首先做的是自由落體運動,運動到點B關于水平線的對稱點D,如圖8所示,速度為v1,由B到D的動能定理可得

圖8 小球在D點速度分解

①

②

在D點小球的速度因繩子張緊發生突變,保留沿著切線方向的速度vx,后做圓周運動

③

從D點運動到A點,速度為vA,由動能定理可知

④

⑤

在A點由牛頓第二定律列得向心力方程

⑥

將⑤式代入可得FTA=3mg+2mgsinθ-4mgsin3θ

【拓展意圖】學生經過拓展題2的學習后,大部分學生已經能夠掌握小球脫離圓軌跡的臨界判斷條件,但是隨著情境條件的改變,很多學生依然擺脫不了定勢思維,出現學和用脫節現象,知識不能有效地遷移。首先,本道題中學生往往潛意識地認為小球釋放后依然是沿著圓周運動,直接從釋放點到最低點使用動能定理求出速度,再求出拉力,完全忽略了小球在釋放位置,能沿著圓軌跡運動是有臨界條件的;其次,本道題中小球在D點也是個重要的臨界位置,是速度發生突變的臨界位置,需要進行運動的分解,這個知識點也是絕大部分學生的思維盲點。本道題和拓展題2相輔相成,讓學生在犯錯的過程中不斷地總結反思,思維過程不斷地得到訓練和完善,擺脫思維定式的束縛,消除知識理解的盲點。

2.3 原始題關聯知識的遷移

圖9 電場中的圓軌道

(1)A點和B點小球對軌道的壓力差;

(2)猜想小球對軌道壓力差的最大值是多大,在哪里取到,并給出證明。

【解析】(1)假設小球運動到B點時速度為vB,在A、B兩點分別列出向心力方程

①

②

由①式和②式可得

③

從A運動到B,由動能定理可知

④

由此可得

⑤

將⑤代入③可得

FNA-FNB=6mg

⑥

由牛頓第三定律可知,壓力差也為ΔF=6mg

(2)若小球在軌道內靜止時處于C點,此時OC和豎直方向夾角為θ,則C點為等效最低點,與之對應的D點為等效最高點,在C點取得壓力最大值,D點取得壓力最小值。在C點時有

⑦

由此可得,θ=37°,在C點重力和電場力的合力為F,如圖10所示

圖10 電場和重力的合力

⑧

在C到D列得向心力方程可得

⑨

⑩

由⑨式和⑩式可知

從C點到D點由動能定理可得

FNC-FND=6F=7.5mg

由牛頓第三定律得壓力差為7.5mg。

【拓展意圖】本道拓展題是對前面所復習知識的遷移和靈活應用,是將“學習探索情境”融入教學的實踐,考查學生依據必備知識分析新情境的能力。依據拓展題1的鋪墊,大部分學生能夠完成第一問的解答,但是對第二問的解答存在困難和盲點,部分學生依然認為A點和B點是取得壓力差最大值的臨界位置,沒有領悟到等效場的問題,這也是一輪復習中常常忽視的知識點。對本道題的解答,需要學生具有復雜圓周運動的分析能力,功能關系的綜合能力,等效思想的應用能力,對學生的要求很高。如果學生能理解到等效場的概念,其實本道題第二問完全可以類比拓展題1的第二問,壓力差為等效重力的六倍,從而完成知識的遷移和再拓展。

3 結語