指向數學運算素養的高中數學教材例習題研究

王思凱 徐斌艷

【摘 要】 ?例習題應為學生數學運算素養的發展提供支持.依據普通高中數學課程標準構建數學運算素養分析框架，并選取人教A版和滬教版必修第一冊的例習題進行研究，發現兩版教材的例習題均重視數學運算素養的落實，在素養各維度及其水平、具體指標上呈現出若干鮮明特征，由此得到如何有效落實數學運算素養培養的教學啟示.

【關鍵詞】 ?數學運算；高中數學教材；例習題

1 ??研究緣起

數學教材作為數學課程標準的具體化，編寫以培養學生核心素養為特色的教材，是高中數學課程改革的主要亮點[1].《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱新課標）也強調教材編寫應凸顯內容和數學學科核心素養的相互融合[2].當前，依據新課標編寫的多版新編高中數學教材已投入使用，在強調以核心素養為抓手落實立德樹人根本任務的時代背景下，教材作為發展學生核心素養的重要教學資源，一個值得研究的問題是：高中數學教材是如何體現并落實數學核心素養的.運算是數學的“童子功”，通過數學運算對學生進行系統的思維訓練是數學育人的基本途徑之一[3，4].新課標明確提出數學運算素養，并列為六大數學核心素養之一，強調其在高中數學教學中的重要性.例習題作為教材的重要組成部分，是對課堂教學內容的應用、鞏固和深化，對于學生數學學科核心素養的培養不可或缺，應當為學生發展數學運算素養提供平臺和支撐.因此對高中數學教材中的例習題的數學運算素養表現情況進行研究，以期為教師深入理解并使用新教材開展教學以落實數學運算素養的培養提供建議. 2 ??研究設計 2.1 研究對象選取

選擇由人民教育出版社出版的普通高中教科書數學必修第一冊（A版）[5]（以下簡稱人教A版）和上海教育出版社出版的普通高中教科書數學必修第一冊[6]（以下簡稱滬教版），運用文本分析法和統計分析法，探討兩版教材例習題的數學運算素養表現情況.其中，人教A版的習題包括練習、習題和復習參考題；滬教版的習題包括練習、習題和復習題；兩版教材的例題均以“例”或“例X（X表示1，2，3，…）”呈現.另外，選取的教材內容聚焦必修課程的“主題一 預備知識”和“主題二 函數（不含三角函數）”.具體而言，人教A版包括“集合與常用邏輯用語”“一元二次函數、方程和不等式”“函數的概念和性質”“指數函數與對數函數”四章；滬教版包括“集合與邏輯”“等式與不等式”“冪、指數與對數”“冪函數、指數函數與對數函數”“函數的概念、性質及應用”五章.2.2 數學運算素養分析框架構建 首先，參照新課標關于數學運算素養的內涵描述及水平劃分，從情境與問題、知識與技能、思維與表達、交流與反思四個維度初步確立數學運算素養分析的具體指標，同時將每個維度劃分為三個水平；接著依據指標內容對隨機抽取15%左右的例習題進行預編碼，根據編碼結果與課題組成員商討，對指標進行調整說明，最終構建數學運算素養的分析框架.

為了便于后續數據編碼收集，分別用Aij，Bij，Cij，Dij（i=1，2，3;j=1，2）表示數學運算素養各維度下各個水平的具體表現，例如B12表示數學運算素養在知識與技能維度下水平一的第一種表現，具體如表1所示.

2.3 編碼及數據收集

第一步，根據表1對兩版教材的例習題進行編碼.若題目包含多道小題，則以小題為單位進行編碼；若符合數學運算素養某一維度的某一水平下的某一種表現，則計數為1，且只對最高水平層次下的表現計數.

第二步，利用EXCEL等軟件統計編碼數據，主要包括各版教材考查數學運算素養的例習題數量、素養各維度各水平下的具體表現的出現次數等.

下面分別以人教A版和滬教版的一道題目為例，闡述如何對題目進行編碼.

（人教A版）8（3）：討論函數y=x+ k x （k>0）在區間（0，+∞）上的單調性.

分析 ?此題是在含參數的函數背景下考查學生對判斷函數單調性方法“取值、作差、定號、下結論”的掌握，將函數單調性的證明轉化為計算并判斷f（x2）－f（x1）正負性的運算問題.由于運算過程涉及x1x2－k的符號判斷，需將區間劃分為（0， k ）和［ k ，+∞），再對每一個區間任取x1、x2（x1

（滬教版）例6：已知方程x2+x－3=0的兩個根為x1、x2，求下列各式的值：

（1）x21x2+x22x1；（2） x1－x2 .

分析 ?例6包含兩小題，需對每一小題進行編碼.以第（1）小題為例，是在一元二次方程背景下考查學生對韋達定理的掌握和應用，已明確給出數學運算問題：求代數式的值.求解需要先對代數式變形得到x1x2（x1+x2），再應用韋達定理得到x1+x2=－1和x1x2=－3，最后代入求值.因此，例6第（1）問在情境與問題維度是水平一的“創設熟悉的數學情境，讓學生了解運算對象”，知識與技能維度是水平一的“根據問題的特征形成合適的運算思路，解決問題”，思維與表達維度是水平一的“在運算過程中體會運算法則的意義和作用”，沒有體現交流與反思維度.

為保證編碼信度，挑選兩位參與分析框架研討的數學教育方向的研究生，對兩版教材中的例習題進行背靠背式的獨立編碼.兩位編碼者在正式編碼前均接受過根據表1分析例習題的培訓，對數學運算素養的指標內容有深入的認識和把握.全部編碼完成后，采用歸類一致性指數和編碼信度系數考查編碼的信度.其中，歸類一致性指數指編碼歸類相同數占歸類總數的百分比，即CA=2×S/（T1＋T2），S表示兩位編碼者歸類一致數，T1、T2表示每人的編碼總數.編碼信度系數公式為R=2CA/（1＋CA）[7-8].由此計算得到：CA=0.911，R=0.953，這表明編碼具有較好的信度.對于編碼不一致的例習題，兩位編碼者通過協商討論或征詢第三方的意見得到一致同意的編碼結果.

3 ??數據結果 3.1 考查數學運算素養例習題數的統計結果

如表2所示，滬教版考查數學運算素養的例習題的比例高于人教A版.其中，人教A版在例題、練習、習題上考查數學運算素養的比例較均衡，復習題考查數學運算素養的比例最多；滬教版在習題、復習題上考查數學運算素養的比例明顯高于其他兩類，練習考查數學運算素養的比例最少.

繪制兩版教材中考查數學運算素養的總題數在不同類型題目上的分布圖，得到圖1.整體而言，兩版教材考查數學運算素養的題數在各類型題目上分布不均，按照習題、練習、例題、復習題的順序遞減.

3.2 例習題在素養各維度水平上的分布情況

計算兩版教材中考查數學運算素養的例習題在各維度水平上的題數百分比，得到表3和表4.整體來看，兩版教材中考查數學運算素養的例習題均涉及情境與問題、知識與技能兩個維度，交流與反思維度最少，且各維度以水平一為主，水平三幾乎沒有.此外，人教A版在素養各維度水平一上的比例低于滬教版，但在水平二上的比例高于滬教版，尤其是情境與問題維度.

統計兩版教材分別考查情境與問題、知識與技能、思維與表達、交流與反思四個維度的例習題數，并計算相應百分比，得到圖2.總體而言，兩版教材例習題涉及情境與問題、知識與技能兩個維度的比例最高且兩者同時出現，交流與反思維度很少.而且，滬教版在各維度上的例習題百分比均高于人教A版.

3.3 例習題在素養指標上的分布情況

如圖3所示，兩版教材中考查數學運算素養的例習題在素養各指標上的分布主要集中在A11、B11、B12，其次是A12、A21、B21，其他指標較少或幾乎沒有.滬教版考查數學運算素養的例習題在A11、B12、D11指標上的題數百分比高于人教A版，但在A12、A21、A22、B11、B21指標上低于人教A版；其他指標上兩版教材沒有明顯差異.

4 ??研究結論 4.1 兩版教材注重數學運算素養的落實，關注學生運算素養基礎性的發展教材的例題和課后習題設計部分是數學運算素養實現的主要依托[9].兩版教材設置大量考查數學運算素養的例習題，以等式與不等式內容為例，借助等式或不等式的性質求解方程（組）和不等式（組），為學生數學運算素養的發展提供充足的機會，一方面重視數學或實際情境的創設要求學生理解運算對象和問題，另一方面強調學生對運算法則的掌握應用、運算思路的形成和運算方法的選擇.另外，水平一和水平二分別是高中畢業和高考的要求，水平三是作為大學自主招生的參考[2].根據新課標關于課程內容的設置，高中數學必修第一冊的知識以預備知識和函數主題為主，是整個高中數學課程學習的基礎.兩版教材的例習題對素養各維度的考查水平的分布符合新課標對高中畢業生的素養發展要求在水平一、二上的建議，大多以水平一為主，重在為學生運算素養的發展打基礎.4.2 兩版教材重視學生對運算對象的識別把握，提升數學運算問題的轉化能力

數學運算素養包含兩方面含義，一是用“數”或“量”表示研究對象的狀態、水平、指標等；二是通過數學運算具體地解決問題[10].前者是對運算對象的理解認識，后者的關鍵在于能將所要解決的問題轉化為數學運算問題.高中階段的運算對象由以往的數、式拓展到集合、函數等，兩版教材要求學生從具體情境中識別運算對象的題數比均在70%以上，以此幫助學生充分體驗并認識運算對象的含義.例如對于集合的運算，兩版教材賦予集合中的元素以表示直線上的點、三角形或幸福農場的汽車等數學或現實意義，學生須在把握集合所表示的具體含義的基礎上實現集合的交并補運算.數學運算問題指向運算目標，對運算思路的形成、運算方法的選擇等起引領作用.兩版教材均安排一定數量的例習題（人教A版26.16%；滬教版15.83%），提升學生數學運算問題的轉化能力和意識，例如將數式的大小比較轉化為作差問題，將函數奇偶性判斷轉化為f（x）和f（-x）的計算和比較，以此幫助學生積累從具體情境中將一般問題轉化為數學運算問題的經驗.

4.3 兩版教材強調學生對運算法則的理解應用，而且融數學思想于運算素養之中

運算通常被定義為運用相應的法則和公式對具體運算對象進行變形的演繹過程[11]，這不僅凸顯運算法則在運算中的地位，而且強調化歸、推理等數學思想在運算中的應用.兩版教材關于應用運算法則正確計算、體會法則意義和作用的例習題比例將近三分之一，對于n次方根、指數冪等運算法則，先以例題呈現法則的應用過程，讓學生體會其意義和作用，再借助習題、練習等鞏固學生對運算法則的理解和應用.數學運算是特殊的邏輯推理，兩版教材約有12%的例習題要求學生借助運算驗證數學結論或證明命題真偽，在運算過程中滲透演繹推理的思想.而且從B12和B21指標來看，兩版教材重視學生根據問題的特征探究解決問題的運算步驟，強調數學思想對運算思路設計和運算方法選取的指導作用.例如，滬教版“習題2.1”B組第3題可將a-b+c視作整體，再對x賦值為0直接求解代數式的值，較之根據等式恒成立的條件先求解a，b，c的值更簡便，體現了數學整體思想對運算過程的優化.4.4 兩版教材注重運算過程的程序化，關注信息技術在運算中的運用

運算程序是運算方法的具體化，是解決一類問題可操作的步驟，也是借助計算機和外界力量解決問題的路線圖[12].從B

21和C31指標來看，兩版教材均設置一定數量的例習題，要求學生應用或化用已有的解決一類問題的運算步驟解決問題，在問題解決過程中感悟程序思想的意義和作用（C22指標），例如用函數方法，借助一元二次函數圖象的直觀，求解一元二次不等式.而且滬教版會在題干表述上直接點明用函數的觀點解不等式，明確突出程序思想方法在運算過程中的應用.另外，信息時代的到來為學生數學學習方式的變革提供了可能，新課標也強調信息技術與課程內容的深度融合.兩版教材在程序化的運算過程中關注計算機等技術工具對運算的輔助作用，學生可以借助信息技術完成具體的運算過程，重在掌握算法思想在數學運算中的運用.以二分法求函數零點的近似值為例，關鍵在于運用二分法的思想設計如何求函數零點的一系列步驟，對于具體自變量的函數值可利用計算工具求解. 5 ??教學啟示

5.1 加強運算法則由來及其應用的過程性教學，促進學生建構對算理的精準理解

運算法則是實施運算的基礎，學生對數學公式、定理、性質等運算法則的理解直接制約著其數學運算能力的發展.有調查表明，超過一半的學生能記憶運算法則但不能在新情境中識別應用[13]，很大程度上就在于學生沒有獲得對運算法則的本質理解，即法則背后蘊含的算理.運算法則是關乎算什么以及怎么算的回答，而算理是關于為什么要這樣算以及怎樣算得好的回答[14].兩者分別是對運算“知其然”和“知其所以然”層面的揭示，運算法則的掌握是理解算理的前提.學生對算理的認識必須回到對運算法則在“知何由以知其所以然”層面的解釋，即對運算法則由來的推導梳理.數學概念是數學運算的前提和基礎，運算法則建立在相應的數學概念之上[15].學生只有完整經歷概念的建構過程才能獲得對運算法則的精準理解.以指數冪的運算性質為例，保持運算性質不變是指數冪拓展的合理性的關鍵，教師應引導學生經歷從整數指數冪到有理數指數冪，再到實數指數冪的拓展過程，建立實數指數冪的概念，從而類比得出指數冪的運算性質.另外，法則應用的教學應置于具體教學場景之中，教師通過創設情境，以問題驅動學生思考什么情況下需要運用哪些法則，運用法則能對運算起到怎樣的效果，如此學生才能將法則遷移到新的情境中探索運算思路，切忌以解題訓練代替算理分析講解[16].

5.2 重視數學思想對運算的指導作用，在感悟通性通法中培養學生的計算思維

數學思想是運算之魂，是解決運算合理性的基本策略的源泉，是優化運算過程和選擇運算方法的指導原則[17].教師應超越運算在“術”層面的操作學習，即運算技能的訓練，引導學生體驗運算在“道”層面的深度思考，即運算過程所反映的數學思想，促使運算教學由技能傳授走向素養習得，真正實現“道”與“術”的有機統一.運算思路的探究分析是數學運算教學的核心環節，教師帶領學生在明確運算對象的基礎上，經歷執果索因、由因導果雙向循環的探究過程，充分發揮數學思想對運算的指導作用.具體而言，教師可以設計問題（串）驅動學生的思考過程，諸如：已知條件有哪些？得到結論需要什么條件？與已知條件是什么關系？條件和結論如何轉化？解決主要途徑有哪些？等等[18]，在探尋運算方向的過程中體會轉化與化歸思想的導向功能，在選擇運算方法并形成運算思路的過程中感悟數形結合、分類討論、整體化歸等思想方法的指引作用.此外，信息時代的到來為我們利用計算機輔助問題的解決提供了可能，程序化思想（或算法）是實現這一目的很好的抓手[19]，主要表現為運算中的通性通法.通過及時總結借助運算處理解決一類問題的步驟，如從函數角度解一元二次不等式的一系列步驟，并以程序框圖的形式呈現，不僅能幫助學生實現知識的遷移應用，達到“做一題會一類通一片”的目的，而且對通性通法的追求可以激活學生的數學思維，在嘗試有序思考問題的過程中培養計算思維，形成規范化思考問題的品質.

5.3 強化運算過程監控與運算結果反思環節，幫助學生更好積累運算經驗

數學運算素養的習得不以片面追求運算速度為目的，而應在“算得對”的基礎上從“算得快”走向“算得好”，關注運算過程中思維的訓練與經驗的生成.事實上，學生數學運算素養的發展是四個維度共同作用的結果，其中“思維與表達”反映的是數學的認知活動，幫助學生學會數學地思考；“交流與反思”涉及數學素養的元認知和情感層面，要求學生主動監控、檢驗、調整和評估自己的思維過程[11].然而兩版教材中例習題的數學運算素養在上述兩個維度體現不夠，相關研究也表明學生在測試中表現出較弱的思維與表達[20].這就要求教師在運算教學中時刻強化學生對運算過程的監控，以問題導向幫助學生及時調整運算策略，尋求過程最優化的運算方法.運算問題的解決并不意味著運算思維活動的結束[17]，對運算結果的檢驗是數學運算必不可少的環節.雖然教材中例習題涉及的交流與反思很少，但教師可以設計學生展示、同伴交流等課堂活動，在借助運算及其結果闡釋問題的過程中促使學生深入思考運算過程及結果的合理性和嚴謹性.經驗的積累是學習體驗獲得結構化改造的過程，學生只有親身經歷完整的運算活動，及時監控與反思運算過程及結果，才能逐漸積累運算經驗并不斷修正再生，內化為數學運算素養.

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作者簡介 ?王思凱（1995—），男，浙江仙居人，博士研究生；主要研究數學教材.

徐斌艷（1964—），女，上海人，教授，博士生導師;主要研究數學課程與教學.