高中數學深度備課的層級架構

王永生 張文燕 黃語

【摘 要】 ?“深度備課”是學校教學變革的應然要求.以人教A版《數學選擇性必修（第一冊）》“圓與方程”為例，從“基于課程標準的單元設計、立足教材的課時設計和指向學生的活動設計”三個方面形成了高中數學“深度備課”的層級架構.

【關鍵詞】 ?高中數學;深度備課;層級架構中國教育的素養時代已經來臨.如何通過學校育人方式的變革培養學生的核心素養？這是當下各級各類學校都需要做出回答的核心問題.課堂改變學校才能改變，而改變課堂的前提是備好課.高中數學深度備課是指在厘清備課的層級關系（單元、課時和活動）的前提下，深度研讀普通高中數學課程標準、教材、高考真題，并結合學情分析和教學資源，設計基于課程標準、能精準實現學生數學學科核心素養培養的學期課程綱要和單元（課時）教學方案的過程.因此，筆者認為，素養時代備課也應與時俱進，逐步走向專業化，即開展深度備課.有研究表明，開展深度備課需要架構好以下三個層級：基于課程標準的單元設計，立足教材的課時設計和指向學生的活動設計［1］.下面以人教A版普通高中教科書《數學選擇性必修（第一冊）》中“圓與方程”單元的備課為例，談談三個層級的具體做法.

1 ??基于課程標準的單元設計

長期以來，一線教師備課都很少考慮單元，更不關注課程標準.可素養時代，有學者認為在“核心素養—課程標準—單元設計—學習評價”這一環環相扣的教師教育活動的基本鏈環中，單元設計處于關鍵的地位，是撬動課堂轉型的重要支點［2］.

隨著新一輪課程改革的推進，素養時代單元設計將成為一線教師備課的新常態.那如何開展單元設計呢？這方面的研究較多.國外較為著名的是格蘭特·威金斯和杰伊·麥克泰提出的“理解為先（UbD）模式”［3］，其基本思想是“逆向設計三階段：明確預期學習結果、確定可接受的證據和規劃相應的教學過程” ［3］.以此為基礎，國內相繼提出“基于課程標準的教學設計”［4］和“深度學習的實踐模型”［5］等.《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》也給出了“主題教學設計”［6］的案例.這些設計的相同點是都含有“目標、過程和評價”三個關鍵詞.基于此，筆者認為，深度備課的第一層級應是進行基于課程標準的單元設計，這里的單元特指課程標準中科學內容的二級主題，是以系統化的學科為基礎所構成的“教材單元”（學科單元），設計時一般可遵循以下路徑.

1．1 梳理課程標準，確定單元學習目標

單元學習目標是指完成對所選擇單元的學習后，學生最終要達成的總目標.進行單元設計的首要任務是要明確將學生帶到哪里，即先確定單元學習目標.

課程標準是規定某一學科的課程性質、課程目標、內容目標、實施建議的教學指導性文件，提出了面向全體學生的學習基本要求，反映了國家對學生學習結果的期望.因此，單元設計的起點應是梳理本章內容在課程標準中的界定的表述，并據此確定單元學習目標.

案例1 ?“圓與方程”在課程標準中的相關表述（節選）［6］

“圓與方程”是人教A版普通高中數學教科書《選擇性必修（第一冊）》“平面解析幾何”主題下的二級主題.課程標準相關表述如下，其中的“內容要求”即為本單元的教學目標.

內容與要求：①回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標系中，探索并掌握圓的標準方程與一般方程;

②能根據給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關系;

③能用直線和圓的方程解決一些簡單的數學問題與實際問題.

1．2 研析高考試題，編制單元測試試卷

課標時代，教學的起點應為課程標準，終點則是高考試題，而中間過程則是教學應該有的使命和任務.如何才能知道學生是否已經達到課程標準的要求了呢？這就需要編制立足單元學習目標的單元測試試卷.等完成教學任務后，通過測試即可清楚學生學習的效果.可見，這是本單元學習的終結性評價，同時又是學期學習的過程性評價.編制高質量的單元測試試卷，這是一件非常專業的事情.為此，應先從研析高考試題入手.

案例2 ?五年高考課標全國卷對“圓與方程”的考查要點分析（以文科數學為例）

通過對高考試題的研析，基本能看清課程標準的顯性考查，據此可編制本單元的測試試卷.其一般程序是列出雙向細目表、逐一命制試題、組合試卷、審查試卷.下面就前兩個步驟舉例說明.

案例3 ?“圓與方程”單元測試試卷的命制

將單元學習目標①解構，可以分解出若干子目標，其中最重要的一個是根據已知條件求圓的方程.下面以此為例具體說明試題的命制.

試題命制可從分析高考試題入手，結合教材例習題進行改編.下面以上表中第17題的命制過程為例進行具體說明. 高考試題 ?（2011年高考遼寧卷第13題）已知圓C經過A（5，1），B（1，3）兩點，圓心在x軸上，則圓C的方程是 ?????.

教材例習題

1.（人教A版高中數學選擇性必修（第一冊）P88習題2.4第4題）圓C的圓心在x軸上，并且過點A（－1，1）和B（1，3），求圓C的方程.2.（人教A版高中數學選擇性必修（第一冊）P84例3）已知圓心為C的圓經過點A（1，1）和B（2，－2），且圓心C在直線l：x－y+1=0上，求圓心為C的圓的標準方程.

3.（人教A版高中數學選擇性必修（第一冊）P88習題2.4第3題）已知圓C的圓心在直線l：x－2y－1=0上，并且經過原點和A（2，1），求圓C的標準方程.

4.（人教A版高中數學選擇性必修（第一冊）P102復習參考題2第6題（3））求圓心在直線3x+y－5=0上，并且經過原點和A（3，－1）的圓的方程.

不難看出，這幾道題條件基本是圓心在一已知直線上，并且經過兩已知點.不同點是已知直線特殊（如x軸），或點特殊（如原點）.此外有些題是求圓的方程，而有些題是求圓的標準方程.但基本上都是考查用待定系數法或幾何法求圓的方程.

當然，這只是“根據條件求圓的方程”這一子目標的一類問題，但在教材中能有這樣的份量（一個例題三個習題），可見其重要性.在單元測試卷中為較好地考查此類問題，可分三個層次進行命題（易中難）.

第一層次跟高考試題和教材例習題一致，條件中有一個特殊，求圓的標準方程.

測試試題1 ?（容易題）求經過點A（1，1）和坐標原點，并且圓心在直線2x+3y+1=0上的圓的標準方程.

第二層次三個條件中沒有一個特殊，求圓的方程.

測試試題2 ?（中檔題）求過點 A（1，－1），B（－1，1），且圓心在直線x+y－2=0上的圓的方程.

由于是單元測試試題，應該有一定的綜合性，于是可充分考慮綜合考查單元學習目標①②，這是高考考查的主要方向，為此仍然與教材相結合，然后仿照命制試題.

教材例習題 ?5. （人教A版高中數學選擇性必修（第一冊）P103復習參考題第16題）求圓心在直線y=－2x上，并且經過點A（2，－1），與直線x+y=1相切的圓的方程.

仿此，第三層次保留圓心在已知直線上，并且與另一已知直線相切，求圓的方程.

測試試題3 ?（稍難題）求圓心在直線y=－4x上且與直線l：x+y－1=0相切于點P（3，－2）的圓的方程.

根據學生的學情和單元測試試卷的整體需要，可選擇相應的題進行測試.按照雙向細目表逐一命制好試題（一般都按易中難命制三道題）后，便可組合相應的測試試卷，一般分AB卷，一份用于測試，另一份用于跟進補償性訓練.

1．3 遵循學習規律，制定單元學習方案

按照課程標準的要求，明確了學生通過本單元的學習后要達到的目標，結合學生學習的規律，可按照循序漸近的原則，制定單元整體的學習方案，其課時目標和相互之間的關系如圖1所示.

單元整體課時計劃的制定基于課程標準所確定的單元目標.遵循學習的規律，以目標為導向進行整體設計.其中4.1、4.2和4.3為完成單元目標的核心部分，需要10課時.而4.0、4.4和4.5為達成單元目標的輔助部分，在整個單元學習的過程中其重要性不言而喻.可事實是為了趕教學進度，這幾個部分的落實質量相對較差.特別是序言課，一直以來都沒有得到重視，有的教師也沒有這個意識，而這恰恰是教學實施的一個盲區，必須引起足夠的重視. 2 ??立足教材的課時設計 教材又稱課本，它是依據課程標準編制的、系統反映學科內容的教學用書.課時設計必須立足教材，力爭實現用教材教，為此，應做好“明確課時學習目標、形成課時學習測驗和設計課時學習流程”三個方面的工作.

2．1 順應教材編排，明確課時學習目標

使用教材，應先掌握教材的編排方式.教材的編排方式一般有四種，即直線式、螺旋式、分支平行式和綜合式.課時設計的起點應從整體把握教材入手，通過順應教材編排，同時解構單元學習目標，最終明確課時學習目標.

案例4 ?“圓的標準方程（第一課時）”課時學習目標

“圓與方程”單元教材以螺旋式方式編排，其中圓的標準方程的概念最先安排，并貫穿單元始終.為此，理解、掌握并能靈活應用圓的標準方程的概念就顯得十分重要.而此目標的最終達成卻是螺旋式的，于是將單元學習目標①解構，其第一個子目標應是“理解、掌握并能靈活應用圓的標準方程的概念”.按照教材的編排，“圓的標準方程（第一課時）”的課時學習目標可確定為“形成圓的標準方程的概念；理解圓的標準方程的概念和簡單應用圓的標準方程的概念”.

2．2 整合教材資源，形成課后學習測試

為能檢查學生通過課堂學習后是否達成課時目標，需要優先制定評價標準，即課后學習測試，俗稱課后作業.教材是課堂教學的第一資源，是課程標準的顯性表現，一般都編排了足夠的習題.人教A版普通高中數學新課程標準實驗教科書（必修）配備了例題、練習、習題（AB組）和復習參考題（AB組）等供學習使用的測試題.這些例習題往往是高考命題的主要素材來源，為此，充分利用好這些測試題是課時設計必須重點考慮的問題.但是這些例習題卻又是螺旋式編排的，于是，需要整體把握教材，將教材資源充分整合，有序列出課內訓練和課后測試的試題.課后作業應與課時學習目標相匹配，最好要進行分層，按易中難設置.如教材所提供的資源不足，還得進行必要的補充. 案例5 ?“圓的標準方程（第一課時）”課后學習測試（節選）關于“圓的標準方程（第一課時）”的學習目標“形成圓的標準方程的概念”，其形成概念的過程即是“軌跡法”求曲線（圓）方程的方法，教材提供的習題已足夠，可分層安排課時學習測驗如下：

（A層）（人教A版高中數學選擇性必修（第一冊）P88習題2.4第7題）等腰三角形頂點A的坐標是（4，2），底邊一個端點B的坐標是（3，5），求另一個端點C的軌跡方程，并說明它是什么圖形？

（B層）（人教A版高中數學選擇性必修（第一冊）P88習題2.4第8題）長為2a的線段AB的兩個端點A和B分別在x軸和y軸上滑動，求線段AB的中點的軌跡方程.

（C層）已知點M（x，y）與兩個定點M1，M2距離的比是一個正數m，求點M的軌跡方程，并說明它是什么圖形（考慮m=1和m≠1兩種情形）.2．3 根據課型特點，設計課時學習流程

明確了課時學習目標，形成了目標指向的課后學習測試后，應根據課型的特點，學生的學習情況和教材的編排方式，設計出簡約的課時學習流程.仍以“圓的標準方程（第一課時）”為例，前面對教材的編排方式已進行了分析.而這一課時的定位應是概念學習課，按照數學概念課的學習過程，必須經歷“形成、理解和應用”三個階段，考慮到“圓的標準方程” 這一概念在此單元中的重要性，可設計如圖2的課時學習流程.

3 ??指向學生的活動設計

上一輪新課程改革要求轉變學生的學習方式，倡導自主學習、合作學習和探究學習.應當說，經過十多年的實踐，這一理念已深入人心.但把課堂還給學生，讓學生由被動學習向能動學習轉變，真正實現課堂的轉型，新一輪課程改革還有好長一段路要走.但無論如何，要讓學生變被動為能動，必須進行指向學生的活動設計，在課時目標的指引下，立足學生的實際，創造性地進行學習任務的設計，讓學生在任務的驅動下，通過自主、合作和探究，最終達成課時學習目標.

3．1 結合學生特點，設定活動學習目標

長期以來，課堂一直由教師所控制，還課堂給學生的關鍵是讓學生在課堂上能夠“動”起來.這樣的“動”卻不能是隨意的，而應當是指向一定目標的學習活動.可事實是，很多課堂學生要么亂動，要么不允許動.組織有意義的學習活動需要課前進行系統而又精心的設計.為此，需要充分結合學生的特點，圍繞課時學習目標，通過分解，依次設定相應的活動學習目標.

3．2 立足學習過程，制定活動學習評價

為使學習始終不偏離軌道，并隨時清楚活動的效果.這就需要立足整個學習過程，事先制定相應的活動學習評價.這樣的評價能促進學生對學習活動進行反思和自我監控，一般是整個課時的形成性評價，但又是該活動的終結性評價.其目的是檢測學習活動是否達成活動學習目標，以便及時進行教學改進，從而確保整個課時目標的有效達成.

3．3 合理創設情境，設計深度學習活動

學習活動不能是為了活動而活動，而應使學生充分參與其中，在增加學習體驗的過程中能促進學生對學習內容的深層次理解.但課堂學習的時間和空間畢竟有限，因此可以充分利用多媒體技術，合理創設學習活動的情境，使學生在情境中實現深度學習，這才是最有意義的學習活動設計.

下面結合前面的分析，就一個課時目標的達成進行相應學習活動的設計說明.

案例6 ?“圓的標準方程（第一課時）”學習活動設計（節選）

目標1：形成圓的標準方程的概念（課時目標）

活動1：（活動目標）圓的知識準備

情境創設：（1）視頻播放：中秋賞月；

（2）多媒體演示：若動點到定點距離為定長，描繪出動點的運動軌跡.

思考1：動點的運動軌跡是什么圖形？

任務1：請給圓下一個定義（描述性），并指出其要素.

活動2： （活動目標）形成圓的標準方程（已知軌跡求方程）

思考2：在平面直角坐標系中，如何確定一個圓呢？

任務2：如圖3，在平面直角坐標系中，圓C的圓心坐標為C（a，b），半徑為r，如何寫出圓的方程？

思考3：圓心在坐標原點，半徑長為r的圓的方程是什么？

思考4：用軌跡法（直接法）求曲線的軌跡方程的步驟有哪些？

活動3： （活動目標）求圓的標準方程（未知軌跡求方程）

思考5：已知點P（2，0），Q（8，0），點M與點P的距離是它與點Q的距離的 1 5 ，求點M的軌跡是什么圖形？

任務3：用《幾何畫板》探究點M的軌跡，并給出軌跡的方程.

檢測：（人教A版高中數學選擇性必修（第一冊）P89習題2.4第3題）已知點M與兩個定點O（0，0），A（3，0）的距離的比為 1 2 ，求點M的軌跡方程.

每一節課的教學都需要達成一個或幾個課時目標，而為了達成每一個課時目標，都需要進行一系列的學習活動的設計. 這些活動的設計需要指向學生，并依次達成各自的活動目標.活動設計指向學生，就是以學生的學習為中心，立足整個學習過程，為學生創造學習體驗的機會，并促進學生進行深度學習，同時引導學生進行自我反思和調控，最終在達成學習目標的過程中使學生學會學習.在素養時代，為使備課走向專業化，我們倡導實施深度備課，即從整體到局部，依次完成“單元、課時和活動”的三級設計.其中，單元設計應以課程標準為綱；課時設計應以教材為基；而活動設計則須以學生為本［1］.建立這樣的層級架構，只是為了提供一種備課的專業模式.同時，對于學科的差異性，可作適當的變通.但是在具體實踐時，還應有所側重.建議日常的集體備課應突出單元設計，而教師獨立備課時，則應加強對教材文本的研讀，并在指向學生的活動設計中可適當彰顯教師的個性和教學智慧.

參考文獻

［1］ ?駱波.初中物理深度備課的層級架構［J］.基礎教育課程，2017（01）：58-64.

［2］ ?鐘啟泉.基于核心素養的課程發展：挑戰與課題［J］.全球教育展望，2016（01）：3-25.

［3］ ??［美］格蘭特·威金斯， 杰伊·麥克泰.理解為先模式：單元教學設計指南（一）［Ｍ］.盛群力，沈祖蕓，柳豐， 等，譯． 福州：福建教育出版社，2018.1．

［4］ ?李鋒.基于標準的教學設計：理論、實踐與案例［M］.上海：華東師范大學出版社，2013.8.

［5］ ?劉月霞，郭華.深度學習：走向核心素養［M］. 北京：科學教育出版社，2018.11.

［6］ ?中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）［M］.北京：人民教育出版社，2018.1.

作者簡介

王永生（1974—），男，云南大理人，數學教育碩士，中學正高級教師，云南師范大學碩士研究生導師，大理大學碩士研究生導師；榮獲云南省“萬人計劃” 之“教學名師”、大理州首屆“白州教學名師 ”、大理市“名教 師”、優秀教師、先進教育工作者、優秀共產黨員、大理市“名師講學團成員”等稱號；云南省高中數學青年教師說課比賽一等獎獲得者；主要從事課程和教學論、中學教育教學管理、教師專業化發展和中小學數學教育教學的研究工作；發表文章 １１０ 多篇．

張文燕（1984—），女，中學高級教師，高中數學教研組長;從事數學教育研究17年.

黃語（1997—），女，云南保山人，中學二級教師.