高中數學“學生說題”實施探索

陳莉莉 李海軍

【摘 要】 ?“學生說題”促使學生暴露思維過程，是讓學生主動參與到學習的全過程中去的一種有效方式.通過同學間交流、教師點評，促進學生思維能力的提升.在實踐的基礎上，以“學生主體”為原則，從制定原則、制定計劃到“學生說題”說什么、怎么指導“學生說題”進行說題的具體實施.并且從對實施的反思中提出了如何突破瓶頸.

【關鍵詞】 ?高中數學;傳統教學；學生說題；小組評價

在日常的教學過程中常常會碰到這樣的困惑：為什么有些類型的問題我們做過多次透徹的分析，同類型的問題也多次練習，可是有些同學還是表現出不理解，不明白其中緣由，下次稍作變動，還是再錯.和學生交流，學生表示課堂上老師講的似乎都聽懂了，可一到自己做題時，尤其是有難度的題，就感覺束手無措，無從下手了.相反，那些在課堂上發表自己意見的同學，在考試時碰到類似的問題時，解題條理相對清晰多了.

在傳統的教學中學生學習的過程是一個知識的傳授→接受→反復訓練→熟練掌握→領悟的單向發展過程.在這一過程中，學生總是被動、機械地模仿，學習缺乏主動性，而被動機械接受的方法往往很難提升學生學科思維品質.要提升學生的學科思維品質，首先得要學生自愿、主動地投入到學習中去，以積極進取的心態去構建知識體系.而“學生說題”正是要求學生“學會如何學習”的過程，也是讓學生體驗自己做一個發現者、研究者、探索者的過程.于是筆者嘗試用說題的方式去激活主體，暴露思維，提升品質.

1 ??“學生說題”的實施

“學生說題”并不是說不要老師的指導，相反對老師的指導提出了更高的要求，要求老師積極引導學生學會“說題”.為了“學生說題”能激活主體，暴露思維，體驗成功，筆者分以下幾個步驟實施.

1.1 制定原則（1）全面參與原則

組織學生說題不能只為追求氣氛，應根據不同層次的問題，選擇不同程度的學生全面參與進來，使每個學生都能享受到成功的喜悅，共同提高［1］.（2）點評的激勵性和針對性原則學生說題并不像教師說題那樣嚴謹、精辟、全面，所以教師在學生說題后的點評必須及時，而且要盡量用肯定的、激勵的語言，增強學生說題的信心.同時點評要有針對性，使學生在說題的過程中有所收獲.

1.2 制定計劃“學生說題”要有目的、有計劃、有組織、有針對性地進行，不能有隨意性、無的放矢，更忌備課不充分時讓學生課堂說題.于是筆者擬定了以下整體規劃：

（1）第一階段，讓成績較好、表達能力較強的同學說題，起著示范模仿的作用，目的是培養學生良好的思考問題的習慣和思維品質.（2）第二階段，分成若干個小組，使每位同學在小范圍內嘗試說題.加強審題、說題訓練，使絕大多數學生能快速理清條件、問題及其關系，準確地找到題眼，逐步培養良好的審題習慣.

（3）第三階段，把部分習題課適當交給學生，要求學生把每天批好的作業中錯誤的問題在小組內消化解決，教師試圖從講評作業中解脫出來.

希望通過這三個階段的訓練，培養學生在學習過程中獨立思考的習慣，提高學生的表達能力，形成自主合作式的探究性學習，增強學生的反思意識，從而提高學習能力.1.3 “學生說題”說什么“學生說題”的內容是“學生說題”的核心所在，“學生帶著什么樣的教材走向教師”是教師激活主體，培養學生能力，提升學生思維品質的保證.要想提高“學生說題”的有效性，教師必須對“學生說題”的內容進行設計.

（1）說題目的條件，挖掘隱含條件就是要說清題目的已知條件和問題，要求學生找準題眼和關鍵詞.尤其要讓學生學會排除干擾和挖掘題中隱含條件，通過挖掘“已知條件”和“隱含條件”來了解學生的思維偏差并幫助他們糾正偏差.

案例1 ?（找準題眼，題目會說話）在 R 上定義的函數f（x）是偶函數，且f（x）=f（2－x），若f（x）在區間［1，2］上是減函數，判斷f（x）在區間［－2，－1］和區間［3，4］上的單調性.

這是作業中的一個題目，只有近50%的同學做對，于是安排了一位中等程度的周同學說題.

S1：條件有（1）f（x）是偶函數；（2）f（x）=f（2－x）；（3）f（x）在區間［1，2］上是減函數.所求為判斷f（x）在給定區間上的單調性.由條件f（x）=f（2－x）得到圖象關于直線x=1對稱，基于這個條件的考慮，把f（x）是偶函數轉化為圖象關于y軸對稱，兩者一結合，可以作出如圖1所示的圖象.可以發現，這個函數的周期為2.由圖象就不難得出答案.

師：反思這個題目，關鍵還是要找準題眼：條件f（x）=f（2－x）暗示我們要用圖象的對稱來解決問題，正所謂“題目會說話”，只要用心去分析條件和所求，就能聽懂題目“說”的“話”.（2） 說解題的框架

這是說題的重點，是學生在認真、仔細、嚴謹地審題后，在充分思考的基礎上，說出解題的大致思路，也就是解題的框架.這就像我們寫作時的提綱一樣重要.但是有很大一部分學生見到題就不假思索拿來就做，這樣的學生是把數學解題變成了體力勞動.感覺就像腳踩“西瓜皮”，最終解決了——運氣；碰壁了——放棄！通過對“學生說題”中說題框架的訓練，培養學生細致地審題，認真地思考從何處下手、向何方前進的習慣.欲速則不達，磨刀不誤砍柴工，這一思維的習慣一定要慢慢培養.

案例2 ?（草讀一遍別下筆，條件目標需熟悉）在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，cosB=－ 5 13 ，cosC= 4 5 .

（1）求sinA的值；（2）設△ABC的面積S△ABC= 33 2 ，求邊a的長.

這是一次單元測試中的題目，很多同學在做第2問時花費了很長時間，包括平時數學成績還不錯的同學考后都表示“算砸了”.還有部分同學算了半天也計算不出結果，最后心慌，放棄.其中高一（11）班的葉同學條理很清楚，便安排她備課說題.

S2：第2問同學們不難想到把△ABC的面積轉化為兩邊ac的乘積.要求邊a，怎么辦呢？根據方程思想，關鍵是要找到與邊a邊c這兩邊有關的另外一個等式.到哪里找這個等式呢？已知三角去求兩邊關系，想到用正弦定理得到.

這樣就不難得到解題的大致框架：第一步，轉化面積得到ac的關系式；第二步，通過正弦定理找邊a邊c的另一個關系式；第三步，聯立方程即可解出a.（板書解題過程）

師：這題其實并不難，可是為什么我們同學做得不是很好呢？因為很多同學草草看一遍題目就去做題，結果越算心越慌，以致最終放棄.我們在做題時要認真分析條件和結論，把題目都分析透了，才能得到解題的框架，從而從容地解出這個題目.所以審題的慢，是為了后面答題的快！用學生的“嘴”說出老師所“想”，這就要求教師大膽地把課堂交給學生，聽學生所“思”，聽學生所“想”，從而無形中告訴同學們，其實你們也可以，你們也很棒！（3）說讀題后的直覺

在數學學習中，許多問題求解思路的發現，往往是依靠數學直覺提供的猜想.直覺思維來自對已有成果的深刻認識和冷靜審查，需要廣博的知識、敏銳的觀察、豐富的聯想、恰當的類比、合理的延拓以及標新立異的勇氣和膽識.在平時的數學學習與數學應用中應有意識地培養，做到將直覺與理性相結合，直觀地感知問題，理性地分析問題，最后科學地解決問題［2］.

案例3 ?（直覺引領，理性分析）在一次考試中有這樣一道題：若直線 x a + y b =1通過點M（cosα，sinα），則（ ?）.

A.a2+b2≤1 ??B.a2+b2≥1

C. 1 a2 + 1 b2 ≤1 ??D. 1 a2 + 1 b2 ≥1

本題的正確率不到30%，安排了班里數學比較好的朱同學來說這個題.

S3：這是選擇題的最后一題，很多同學一看這個題目就暗示自己“我做不出來的”，結果思考也變得不積極.其實看到條件M（cosα，sinα），直覺告訴我點M（cosα，sinα）的坐標與單位圓有關.沿著這條思路往下想，點M在單位圓x2+y2=1上.直線 x a + y b =1通過點M（cosα，sinα），就可以轉化為直線 x a + y b =1和圓x2+y2=1有公共點.所以圓心到直線的距離小于或等于半徑，即得到： 1 ???1 a ?2+ ?1 b ?2 ?≤1.整理可得到： 1 a2 + 1 b2 ≥1.

數學直覺不受邏輯思維的約束與限制，使人的認知結構向外無限擴展，具有反常規的獨創性.在數學課堂教學中，要對數學直覺加以滲透，培養學生數學發現、數學探究能力.引導學生在反思的基礎上，調動自己的全部知識經驗進行理性地分析［2］.（4）說解題的“錯因”學生的數學學習過程是一個自主構建自己對數學知識的理解的過程.他們帶著自己原有的知識背景、活動經驗和理解走進學習活動，并通過自己的主動活動，包括獨立思考、與他人交流和反思等，去建構對數學的理解［3］.因此，學生答錯了也不見得是件不好的事，錯誤不過是學生在數學學習過程中所做的某種嘗試，是非常正常的.當學生出現錯誤時，教師要給學生足夠的時間和機會去發現、表達、糾正，從而使學生主動構建知識.

案例4 ?（失敗乃成功之母）已知兩個等差數列{an}，{bn}的前n項和分別為Sn，Tn，若對于任意的正整數n，都有 Sn Tn = 2n 3n+2 ，則 a6 b6 = ????.這是一次限時訓練中的一道題，有近25%的同學答案是 2 3 ，于是我安排了其中一位張同學來說說她解這道題的心路歷程.

S4：我當時是這樣解決的：因為{an}，{bn}都是等差數列，它們的前n項和都是關于n的二次函數且都沒有常數項，而且題目條件中是一個比值形式，所以我想當然地認為n約掉，于是我便設Sn=2nk，Tn=（3n+2）k，則a6=S6－S5=2k，b6=T6－T5=3k，所以 a6 b6 = 2 3 .老師安排我說題，我去問了答案同樣是 2 3 的幾個同學，她們的解答過程和我類似， a6 b6 = S6－S5 T6－T5 = 2×6－2×5 3×6+2－3×5－2 = 2 3 .

我調查了一下班里我們這樣做的同學有16人.這樣做錯在哪里呢？我們先來看正確的解法：設Sn=2n2k，Tn=（3n+2）nk，

a6 b6 = S6－S5 T6－T5 = 2×62k－2×52k （3×6+2）×6k－（3×5+2）×5k = 22k 35k = 22 35 .我們看到了，其實a6=S6－S5，S6中的n為6，S5中的n為5，其實是不能提出公共的n的，也就不能約了，這就是錯因所在.和我一樣的同學要注意了，做題不能太想當然.師：反思這一題目，我有兩點感想：（1）做題不能想當然，要仔細深入地思考；（2）做錯之后的反思很重要.我想同學們做錯題目時要多思考，才不至于在同一個地方摔跤.“失敗是成功之母”，只有反思失敗，失敗才能成為成功“之母”.

只有讓學生大膽說出自己的想法，教師才能發現他們錯誤的根源所在，教學才能有的放矢.事實上做錯了不要緊，重要的是讓學生知道自己錯在哪里，并且糾正這種錯誤［4］.

（5）說題目的變式學生說題目變式的過程，既是應用知識的過程，同時也是認識產生飛躍的過程.這一環節給了學生自由發揮的空間，有助于培養學生的創新能力與實踐能力.所以這一環節的展示意味著學生的說題已有較高的水平.筆者認為對于一些表達能力好、基本功扎實的學生，老師也可以放手嘗試.雖然不是每一次嘗試都能成功，但經過這樣的嘗試，學生對知識的理解和對知識的遷移能力一定會越來越出色. 案例5 ?已知定點A（1，－3），點P為圓C：（x－3）2+y2=4上的動點.

（1）求點P與定點A的距離的最大值；

（2）求點P到直線x－y+5=0的距離的最小值；

（3）求直線AP的斜率的最小值.

這是在講直線和圓的位置關系中的一個作業題，同學們的答題情況整體不錯.筆者認為此題還有點意猶未盡，于是安排了班里思維活躍的陳同學說說對這道題的想法，可不可以有一些變式.下面選取他說題的片段：

S5：我把題目條件改成已知實數x，y滿足方程（x－3）2+y2=4.其本質和原題的條件是一樣的.再把（1）求點P與定點A的距離的最大值改成：求（x－1）2+（y+3）2的最大值；把（3）求直線AP的斜率的最小值改成求 y+3 x－1 的最小值.這兩題的改編應該不難，這樣一改以后，就變成了一個純代數問題.關于第2題的改編我費了一番腦筋.把（2）變成求 x－y+5 的最小值.

雖然我只是在語言上給予了翻譯，把幾何語言翻譯成了代數語言，但是正是這種簡單的翻譯使我明白一個道理：數形其實是不分家的.老師平時經常強調數形結合，要能夠很好地數形結合關鍵還是要學會翻譯.就像用形來解決數的問題，要找到式子的幾何意義一樣.

如果學生能對題目中的條件分析、變式與引申，由學生說出本質的異同，是提高學生分析問題、解決問題的好途徑.

2 ??“學生說題”教師要思考的幾個問題

適合學生的才是最好的，“學生說題”也是如此.為了使說題能順利開展，安排學生說題前教師必須思考的幾個問題：

（1）選什么題

說題不能搞題海戰術，見一題說一題，要選擇有代表性、針對性的題目.根據教學內容選擇不同的題型，但一般要選擇有思維含量的習題.

（2）怎樣讓學生說

教師可以在前一天布置一些思維含量較高的題目，然后第二天在上課前讓學生給老師演示說題.如果教師一開始就放手讓學生說題，學生往往會冷場，造成既浪費時間，又嚴重挫傷學生的自信心.所以在說題開始時，應選一些基礎的、簡單的題目，在教師的指導下讓學生說.

（3）讓怎樣的學生說

說題前要進行摸底，因為如果一開始就讓一些基礎差、表達能力弱的同學說題往往會事倍功半，所以一開始教師可以讓基本功扎實、語言表達能力強的學生來說題，增強學生的自信心.再慢慢以點帶面，保證人人參與.一旦絕大多數學生都適應了這樣的學習氛圍，就預示著“學生說題”取得了成功.

（4）什么時候說

一開始可以讓學生對著老師進行預演說題，教師進行適時點評并給予一定的建議，然后說得比較好時，可以讓其在課堂的講臺前“當老師”，給同學進行分析講解，讓其體驗成功的喜悅.

（5）說多長時間以及多少人說

實施初期，可以在課堂5分鐘左右讓學生說題，2-3人說，如果實施較好可以在習題課或復習課多讓學生說，還可以讓學生即興說題，說錯時教師及時進行點撥.“學生說題”要逐步深入、螺旋上升.切忌急于求成，一蹴而就.要盡量從學生的認知水準出發，選一些思維含量相對較高的題目讓學生進行展示.

3 ??“學生說題”的瓶頸

在實施“學生說題”的過程中，特別是即興說題的課堂，那些學習能力相對薄弱的同學表現得雖然和開始相比積極了些，但還是不能成為主角.特別是要求說題目變式時，他們的思維更是像受到了禁錮一般打不開.其次，在“學生說題”實現到一定階段時，筆者想放手大部分錯誤不是特別集中的作業的講評，把訂正作業交給每個小組，但是一旦失去了教師的檢查，有些小組的“說題”就不能像在課堂里那樣認真對待，作業的訂正在個別小組就打了折扣.針對以上兩個方面，筆者想先在小組學習上深入研究，借鑒其他成功的案例，做出有效的小組評價.

“學生說題”就是在學生經過認真、仔細、嚴謹地審題后，在充分思考的基礎上，讓學生把審題、分析、解答以及對習題的變式、拓展按一定準則說出來，能讓學生主動參與到學習的全過程中去，促使學生暴露整個思維過程，然后通過同學間交流、教師點評，自我反思來提升思維品質，可以改變學生只聽老師講的被動的學習局面，從而提升學生的數學素養.

參考文獻

［1］ ?殷偉康.“說題”，數學課堂因你而精彩[J].中國數學教 育，2010（11）：6-8.

［2］ ?范金泉．例說數學直覺的養成與運用[J].中學數學月刊，2013（11）：8-10.

［3］ ?李學平.倡導猜想 促進創新[J].數學學習與研究，2011（07）：58-59.

［4］ ?汪志強.如何“說題”，數學習題課教學才更有效[J].數學教學通訊，2010（12）：31-33.

作者簡介 ?陳莉莉（1981—），女，吉林白城市人，中學一級教師;研究方向是高中數學教育教學;發表論文多篇.李海軍（1978—），男，吉林鎮賚縣人，中學高級教師;研究方向是高中數學教學.