巧用平均速度解決動(dòng)量、能量問題

鄭海燕

(新疆昌吉州第二中學(xué))

物理學(xué)是研究物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的最基本、最普遍的規(guī)律及物質(zhì)的構(gòu)成、物質(zhì)間相互作用的一門科學(xué)。自然界中物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)和構(gòu)成及其相互作用是極其復(fù)雜的,但他們之間存在著各種各樣的等同性,為了認(rèn)識(shí)復(fù)雜的物理規(guī)律,我們往往從事物的等同效果出發(fā),將其轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的、易于研究的物理事物或規(guī)律,這種方法就是等效替代法。

【例1】如圖1甲所示,一塊長(zhǎng)度為L(zhǎng)、質(zhì)量為m的木塊靜止在光滑水平面上。一顆質(zhì)量也為m的子彈以水平速度v0射入木塊。當(dāng)子彈剛射穿木塊時(shí),木塊向前移動(dòng)的距離為s,如圖1乙所示。設(shè)子彈穿過木塊的過程中受到的阻力恒定不變,子彈可視為質(zhì)點(diǎn)。則子彈穿過木塊的時(shí)間為( )

圖1

解法一：(用動(dòng)量和能量的觀點(diǎn))

子彈穿過木塊過程,子彈和木塊組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒,以v0的方向?yàn)檎较?有

mv0=mv1+mv2

由動(dòng)量定理得-Fft=mv1-mv0

由動(dòng)量定理得Fft=mv2

這種解法涉及4個(gè)未知數(shù)和5個(gè)方程,如果我們?cè)诓莞寮埳向?yàn)算,將會(huì)發(fā)現(xiàn)計(jì)算過程很煩瑣,要得出答案很不容易,大多數(shù)學(xué)生要解很久,而且未必能得出正確結(jié)果,計(jì)算量很大,非常考驗(yàn)學(xué)生的耐心和運(yùn)算能力。

解法二：(平均速度法)

因?yàn)樽枇愣ú蛔?所以子彈和木塊均做勻變速運(yùn)動(dòng),

相較于解法一,平均速度法只有3個(gè)未知數(shù)和四個(gè)方程,且方程形式非常簡(jiǎn)單,表達(dá)式中無二次項(xiàng),計(jì)算方便簡(jiǎn)捷,能快速解決問題,表面看是動(dòng)量和能量問題,實(shí)則只用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式。這種解法快又準(zhǔn)。

【例2】如圖2所示,有一質(zhì)量為m1=3 kg的長(zhǎng)木板靜止在光滑的水平地面上,木板的左端有質(zhì)量為m2=1 kg的物塊。用水平向右的恒力F作用在物塊上,一段時(shí)間后撤去恒力F,最終物塊和木板的共同速度v共=2 m/s,整個(gè)過程中系統(tǒng)產(chǎn)生的熱量為8 J,恒力F的沖量大小為I,撤去恒力F時(shí)木板的速度為v,則( )

圖2

A.I=8 N·s B.I=16 N·s

解法一：(圖像法)如圖3

對(duì)系統(tǒng)用動(dòng)量定理I=(m1+m2)v共=8 N·s,故A正確;設(shè)在t1時(shí)刻撤去拉力F,m2的速度為v2。在t2時(shí)刻共速。

在t1～t2段,由牛頓第二定律可知-a2=3a1

所以v2-2=3×(2-v)即v2=8-3v

在0～t2,m2相對(duì)m1的位移為

Δx=(4-2v)t2

解法二：(平均速度法)

對(duì)系統(tǒng)用動(dòng)量定理,有

I=(m1+m2)v共=8 N·s,A正確;

由能量守恒可知,拉力F的功

已知Q=8 J,得W=16 J

又因?yàn)镮=Ft1;W=Fx2(x2為0～t1內(nèi)m2的位移)

再對(duì)系統(tǒng)在t1～t2段用動(dòng)量守恒得

m1v+m2v2=(m1+m2)v共=8 N·s

通過兩種解法對(duì)比,不難看出平均速度法,思路直接,過程簡(jiǎn)捷,能以較快的速度解決問題。

【例3】(2022·全國(guó)乙卷·25)如圖4,一質(zhì)量為m的物塊A與輕質(zhì)彈簧連接,靜止在光滑水平面上:物塊B向A運(yùn)動(dòng),t=0時(shí)與彈簧接觸,到t=2t0時(shí)與彈簧分離,第一次碰撞結(jié)束,A、B的v-t圖像如圖5所示。已知從t=0到t=t0時(shí)間內(nèi),物塊A運(yùn)動(dòng)的距離為0.36v0t0。A、B分離后,A滑上粗糙斜面,然后滑下,與一直在水平面上運(yùn)動(dòng)的B再次碰撞,之后A再次滑上斜面,達(dá)到的最高點(diǎn)與前一次相同。斜面傾角為θ(sinθ=0.6),與水平面光滑連接。碰撞過程中彈簧始終處于彈性限度內(nèi)。求:

圖4

圖5

(1)第一次碰撞過程中,彈簧彈性勢(shì)能的最大值;

(2)第一次碰撞過程中,彈簧壓縮量的最大值;

(3)物塊A與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)。

【解析】(1)當(dāng)彈簧被壓縮最短時(shí),彈簧彈性勢(shì)能最大,此時(shí)A、B速度相等,即t=t0時(shí)刻,根據(jù)動(dòng)量守恒定律有

mB·1.2v0=(mB+m)v0

根據(jù)能量守恒定律有

(2)解法一：(利用數(shù)學(xué)積分的思想求解)

同一時(shí)刻彈簧對(duì)A、B的彈力大小相等,根據(jù)牛頓第二定律F=ma

可知同一時(shí)刻aA=5aB

則同一時(shí)刻A、B的瞬時(shí)速度分別為

vA=aAt

根據(jù)位移等速度在時(shí)間上的累積可得

sA=vAt(累積)

sB=vBt(累積)

又sA=0.36v0t0

解得sB=1.128v0t0

第一次碰撞過程中,彈簧壓縮量的最大值

Δs=sB-sA=0.768v0t0

這種方法較為抽象,如果對(duì)積分概念模糊不清就會(huì)難以理解。像這種有兩個(gè)變量的積分更無從了解,也就無法切入。對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的要求和數(shù)理結(jié)合能力的要求都很高。

解法二：(圖像法)如圖6

圖6

圖中上部陰影部分為s1,下部陰影部分為s2,最大壓縮量Δs

則Δs=s1+s2

由題意和圖像可知

s2=5s1

s2=v0t0-0.36v0t0=0.64v0t0

得Δs=0.768v0t0

此解題方法巧妙利用數(shù)學(xué)函數(shù)圖像特點(diǎn),但是也用到了積分概念,雖然抽象,切入點(diǎn)生疏,但總體較為容易接受,畢竟速度時(shí)間圖像學(xué)生非常熟悉,已熟知圖像面積表示位移大小,斜率表示加速度大小。

解法三：(平均速度法)

已知mB=5m,由系統(tǒng)動(dòng)量守恒得

得Δs=sB-sA=0.768v0t0

這種方法最為巧妙,不偏僻,不生疏,平均速度乘以時(shí)間等于位移,這個(gè)關(guān)系學(xué)生耳熟能詳,大多數(shù)學(xué)生都能掌握理解。不僅簡(jiǎn)化了運(yùn)算,也簡(jiǎn)化了對(duì)物理過程的理解。

(3)物塊A第二次到達(dá)斜面的最高點(diǎn)與第一次相同,說明物塊A第二次與B分離后速度大小仍為2v0,方向水平向右,設(shè)物塊A第一次滑下斜面的速度大小為vA′ ,設(shè)向左為正方向,根據(jù)動(dòng)量守恒定律可得

mvA′ -5m·0.8v0=m·(-2v0)+5mvB′

根據(jù)能量守恒定律可得

聯(lián)立解得vA′=v0

設(shè)在斜面上滑行的長(zhǎng)度為L(zhǎng),上滑過程,根據(jù)動(dòng)能定理可得

下滑過程,根據(jù)動(dòng)能定理可得

聯(lián)立解得μ=0.45

從以上示例可以看出在處理物體運(yùn)動(dòng)的問題時(shí),借助平均速度公式,可以降二次方程為一次方程,以簡(jiǎn)化運(yùn)算,極大提高運(yùn)算速度和準(zhǔn)確率。這種應(yīng)用等效替換法把陌生的、復(fù)雜的物理現(xiàn)象或物理過程在保證效果、關(guān)系相同的前提下,轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的、熟悉的物理現(xiàn)象、物理過程來研究,從而認(rèn)識(shí)研究對(duì)象本質(zhì)和規(guī)律的方法,是物理學(xué)中重要的思維方法和解題技巧。因此教師在平時(shí)的教學(xué)中應(yīng)多積累不同的解題方法,以一題多解的形式呈現(xiàn)給學(xué)生,不僅激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,發(fā)展思維,還對(duì)學(xué)生的思維品質(zhì)、應(yīng)變能力、邏輯嚴(yán)密性等有提升作用,以培養(yǎng)學(xué)生多角度、深層次思考并解決問題的能力,發(fā)展“舉一反三” “因小見大” “聞一以知十”等智慧。而且通過一題多解學(xué)生對(duì)物理過程的理解更深入,才能融會(huì)貫通從中尋找到最優(yōu)解題方法,對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的高階思維有著促進(jìn)作用。從長(zhǎng)遠(yuǎn)來看,未來的人才競(jìng)爭(zhēng)就是今天的教育競(jìng)爭(zhēng),思考并踐行先進(jìn)教學(xué)理念和方法,為學(xué)生的全面發(fā)展和個(gè)性發(fā)展搭建平臺(tái),給學(xué)生提供浩瀚的思維發(fā)展空間,為學(xué)生的終身學(xué)習(xí)發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ),著力提高學(xué)生學(xué)習(xí)能力、實(shí)踐能力、創(chuàng)新能力,是每一位教師的使命。教師應(yīng)該義不容辭地直面挑戰(zhàn)、砥礪前行。