以必要性分析之矛，攻含參恒成立之盾

盧陽　付思琦

含參恒成立問題因綜合性強，解法靈活而備受命題者青睞.筆者在教學過程中了解到學生對于參數分類依據的尋找不勝其煩，需要有較強的思維與觀察能力.解題時，常從已知條件中推出一些結論，這些結論就是題目的必要條件，若能再論證充分性的成立，則問題得以解決.我們將這個方法稱為必要性探路.本文以2022年高考題為例，賞析利用必要性解題的魅力.

2022年高考Ⅱ卷與全國Ⅰ卷出現了兩道相同背景的含參恒成立問題，對學生造成了較大困擾.兩題背景如下：

評析：兩題的關鍵都在于對參數進行分類討論.例1利用端點函數值的特殊情況，再結合必要性探路，便可快速得到分類依據，是前面所說的第二類背景；例2難度較大，需要對函數圖像進行大致猜測，考查了學生的邏輯推理與直觀想象能力，突破口依舊是利用“f（0）=0”的特殊性和必要性探路，屬于第一類背景的變式.

除了求參數范圍外，高考和聯賽還時常考查求參數的取值.這類問題依舊面臨著分類依據不易找，討論情況繁而多，解題過程雜而長的特點.如能合理利用必要性縮小討論范圍甚至直接求出參數值，那就能“化繁為簡”.

二、利用必要性求參數值

例3 （2022福建預賽題）如果對任意x，y，不等式4x2+y2+1≥kx（y+1）恒成立，求最大常數k.

分析：若x，y為正實數，則4x2+y2+1=2x2+y2+2x2+1≥22x（y+1），此時k=22，又因為當x=y=1時，易得k≤3，于是猜測k=3.

解：下面證明4x2+y2+1≥3x（y+1）對任意整數x，y均成立.

4x2+y2+1－3x（y+1）=（94x2－3xy+y2）+（74x2－3x+1）=（32x－y）2+（74x2－3x+1）①.令f（x）=74x2－3x+1=74（x－67）2－27，易得當x≤0或x≥2時，f（x）≥f（0）=1>0.所以當x≤0或x≥2時，①式的值大于0.又當x=1時，4x2+y2+1－3x（y+1）=y2－3y+2=（y－1）（y+2）≥0，對任意y∈Ζ都成立.因此，不等式4x2+y2+1≥3x（y+1）對任意整數x，y成立.

綜上，k最大為3.

評析：此題直接去求k的范圍，無論是直接討論還是分離參數，都顯得無從下手.若能枚舉一些特殊值代入不等式中，可得到一些必要條件，從而猜出k的最大值為3，進而把參數范圍的問題轉化為不含參數的證明題，難度大大降低.

例4 （2022泉州質檢）f（x）=（x－m）sinx+cosx，x∈0，5π4.（1）若m≤π2時，求f（x）的單調性；（2）若m=0時，f（x）+1≤a（x－π）恒成立，求a的值.

分析：這里只分析第（2）問.令g（x）=f（x）+1－a（x－π）=xsinx+cosx－ax+aπ+1，x∈0，5π4.又因為g（π）=0，所以g（x）≤g（π）在0，5π4上恒成立，于是x=π必為g（x）的極大值點，所以g′（x）=0為必要條件，得a=－π.

解：下面證明a=－π符合題意.令g（x）=xsinx+cosx+πx－π2+1，g′（x）=xcosx+π，g″（x）=cosx－xsinx.

①當x∈0，π2時，g′（x）>0，故g（x）在0，π2上遞增；當x∈π2，π時，g″（x）<0，則g′（x）單調遞增，進而g′（x）>g′（π）=0 ，得到g（x）在π2，π上遞增，于是g（x）在0，π上遞增，所以g（x）≤g（π）=0；

②當x∈π，5π4時，g″′（x）=－xcosx－2sinx>0，故g″（x）在π，5π4上遞增，又因為g″（π）=－1<0，g″（5π4）=π2（5π4－1）>0，所以存在x∈（π，5π4），使得g″（x1）=0，于是g′（x）在π，x1上遞減，在x1，5π4上遞增，又因為g′（x1）0，所以存在x2∈（x1，5π4）使g′（x2）=0，則g（x）在π，x2上遞減，在x2，5π4上遞增，因為g（π）=0且g（5π4）<0，所以g（x）≤0在π，5π4上恒成立.

綜上，a=－π符合題意.

評析：此題主要考查運用導數判斷函數的單調性，零點存在定理等基礎知識，考查抽象概括、推理論證、運算求解等能力.若對a進行分類，需要討論①a≥0，②－π